ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Электростатика

1 (ЦТ 2001 г.Тест 9. А19). Проводящий шар радиуса R имеет положительный заряд + q . Если на расстоянии 2R от центра шара поместить точечный отрицательный заряд –2q , то потенциал в центре шара

Типичная ошибка при решении происходит из неверного толкования формулировки: «поле внутри проводящего шара отсутствует». Из этого утверждения делается ошибочный вывод: обе характеристики поля: и напряженность, и потенциал – равны нулю. В действительности в этом случае нулю равна лишь напряженность поля, т.к. свободные заряды перестают перемещаться по поверхности проводника тогда, когда вектор в любой точке поверхности перпендикулярен ей. Поверхность проводника в этом случае является эквипотенциальной. Работа перемещения пробного заряда в объеме, ограниченном поверхностью, равна нулю, т.к. равна нулю действующая на заряд сила; из этого следует, что потенциальная энергия заряда при перемещении от точки к точке не изменяется: электрический потенциал в объеме, ограниченном проводящей поверхностью, постоянен и равен потенциалу на самой поверхности. Изменение напряженности и потенциала заряженной сферы с расстоянием от центра заряда можно проиллюстрировать графиками (см. рис.).

Решение

Потенциал, создаваемый сферически симметрично распределенным зарядом q в центре шара, такой же, как на его поверхности и равен φ 1 = q /4 πε 0 R ; потенциал, создаваемый в этой же точке точечным зарядом –2q , расположенным вне сферы на расстоянии 2R от ее центра, равен φ 2 = – 2 q /4 πε 0 2 R ; потенциал в центре шара – результат суперпозиции двух полей, т.е. φ = φ 1 + φ 2 = q /4 πε 0 R –2 q /4 πε 0 2 R = 0 .

При выполнении тестовых заданий удобно сделать запись как можно более короткой. Например, в данном случае достаточно одного общего уравнения φ = q /4 πε 0 r .

Т.к. точечный отрицательный заряд вдвое больше заряда, распределенного на сфере и находится от центра сферы вдвое дальше, из записанного уравнения видно, что потенциалы обоих зарядов равны по величине и противоположны по знаку, следовательно, результирующий потенциал равен 0.

2 (ЦТ 2001 г. Тест 11. А 19).

Внутри шарового металлического слоя, внутренний и внешний радиусы которого соответственного равны R и 2 R , на расстоянии R/ 2 q . Потенциал в центре сферы равен…

Решение

Затруднения вызывает построение картины распределения зарядов на поверхностях шарового слоя.

Благодаря электростатической индукции на внутренней поверхности сферы появляется заряд – q , а на наружной +q . Потенциал в центре сферы

;

;

;

– ответ 1.

Подобная же задача – А 19 в тесте № 12, 2001 г. :

Внутри шарового металлического слоя, внутренний и внешний радиусы которого соответственно равны 2R и 4R , на расстоянии R от центра находится точечный положительный заряд q . Потенциал в центре сферы равен ….

Ответ:

3 (ЦТ 2000 г.Тест... А19). Металлический шар радиусом R 1 , имеющий потенциал φ 1 , окружают незаряженной сферической проводящей оболочкой радиусом R 2 . Найдите потенциал шара после того, как он будет на некоторое время соединен с оболочкой?

Решение

Потенциал заряженного шара

.

Если заряженный шар касается внутренней поверхности оболочки, заряды, стремясь расположиться на возможно больших расстояниях друг от друга, переходят на оболочку. Напряженность поля внутри оболочки становится равной 0, потенциал поля в точках оболочки и внутри нее равен

(но не 0! См. предыдущую задачу), где

. Таким образом, потенциал оболочки и находящегося внутри нее и соединенного с нею шара равен

– ответ.

Правильный ответ –1 .

4 (ЦТ 2000 г. Тест… А19). Металлический шар радиуса R 1 , имеющий потенциал φ 1 , окружают сферической проводящей оболочкой радиуса R 2 . Чему будет равен потенциал шара, если заземлить оболочку?

Решение

Наиболее частая ошибка состоит в том, что не учитывается потенциал поля, созданного зарядами, наведенными на оболочке при ее заземлении.

Первый вариант решения . Потенциал на поверхности шара, созданный зарядом шара

, равен

. После заземления оболочки на ней появляется индуцированный заряд

, который на оболочке и внутри нее создает потенциал

.

Суперпозиция исходного поля шара и поля, созданного наведенным зарядом оболочки, дает на поверхности шара потенциал

– ответ .

Второй вариант решения . Можно в рассуждениях исходить из того, что потенциал оболочки после заземления равен 0, как этопринято в технике (заземленная оболочка принимается за начало отсчета потенциальной энергии), из этого условия находится величина и знак наведенного заряда. Потенциал оболочки φ 2 складывается из потенциала, обусловленного наведенным на ней зарядом q 2 и потенциалом поля шара φ 1 :

,

q 1 = – q 2. .

Находим потенциал шара после заземления оболочки:

(1).

Из

найдем

, подставляем в (1), получаем ответ :

.

У этого варианта решения есть минусы:

– в ранее решенных задачах отсчитывали потенциал (потенциальную энергию) от точки, бесконечно удаленной от заряда, что имеет ясный физический смысл; логично всегда использовать одно и тоже начало отсчета;

– решение получилось более громоздким.

5 (ЦТ 2001 г. Тест 3. А19). Тонкое закрепленное кольцо радиуса R равномерно заряжено так, что на единицу длины кольца приходится заряд +γ . В вакууме на оси кольца на растоянии l от его центра помещен маленький шарик, имеющий заряд +q . Если шарик освободить, то в процессе движения он приобретет максимальную кинетическую энергию, равную

1)	2)	3)
4)	5)

Решение

По закону сохране-ния энергии E = U , где U – энергия взаимодей-ствия точечного заряда и кольца.

Типичная ошибка: при решении этой задачи считают, что в силу симметричности распределения заряда по кольцу можно «стянуть» его в центр кольца и находить потенциал поля, созданного кольцом в месте нахождения заряда, как потенциал поля точечного заряда:

. Однако так поступать нельзя, поскольку симметрия заряда не пространственная, а плоскостная. В действительности следует разбить кольцо на малые элементы, которые можно считать материальными точками, определить потенциал поля каждого такого точечного заряда в месте нахождения заряда +q и просуммировать результаты:

Энергия взаимодействия кольца с зарядом и максимальная кинетическая энергия заряда равны, согласно закону сохранения энергии:

– ответ.

Подобным же образом находится потенциал при решении задачи А 19 из теста № 8 ЦТ 2001 г.:по тонкому проволочному кольцу радиуса 3 см равномерно распределен заряд 10 –9 Кл. Определите разность потенциалов между центром кольца и точкой, находящейся на оси кольца на расстоянии 4 см от центра. Ответ : 120 В.

6 (ЦТ 2000 г. Тест 3. А 20).Если металлический шар радиуса R 1 , заряженный до потенциала φ 1 , соединить тонкой проволокой с незаряженным металлическим шаром радиуса R 2 , то общий потенциал соединения окажется равным

1)	2)	3)
	2)	3)
4)	5)

7 (ЦТ 2001г. Тест 2. А 19). Какую работу надо совершить, чтобы три одинаковых точечных положительных заряда q , находящихся в вакууме вдоль одной прямой на расстоянии a друг от друга, расположить в вершинах равностороннего треугольника со стороной a /2.

Среди школьных задач по физике особняком стоят те, которые связаны с концентрическими проводящими сферами. Эти сферы могут быть заряжены, заземлены, могут находиться в поле внешних зарядов и т. д., вариаций много. В школьном курсе физики эти задачи являются одними из самых сложных. Не в последнюю очередь, конечно, непонимание данного материала связано с неспособностью учителей объяснить его грамотно и доступно. Итак, попробуем разобраться, что это за проводящие сферы и с чем их едят.

Потенциал внутренней сферы φ 2 определяется известным соотношением:

Тогда общий потенциал φ in на поверхности внутренней сферы равен:

Потенциал на поверхности внешней сферы также складывается из двух потенциалов: внутренней сферы φ’ 1 и собственно внешней сферы φ’ 2 .

Потенциал внутренней сферы φ’ 1 на расстоянии R от ее центра определяется известным соотношением:

Формула, определяющая потенциал внешней сферы φ’ 2 на ее поверхности, также хорошо известна:

Тогда общий потенциал на поверхности внешней сферы равен:

Решение. До соединения сфер проводником заряд первой был равен:

После соединения часть заряда с внутренней сферы перетекло на внешнюю. Ток прекратился в тот момент, когда потенциал шара стал равен потенциалу внешней оболочки. Удобнее поэтому искать не потенциал шара, а равный ему потенциал внешней оболочки. В соответствии с результатами, полученными в предыдущей задаче, этот потенциал определяется выражением:

где q 1 и q 2 — заряды шара и внешней оболочки после соединения их проводником соответственно. По закону сохранения заряда q = q 1 + q 2 . После несложных преобразований получаем:

Начнем с рисунка к решению задачи:

После заземления проводящей оболочки весь положительный заряд, образовавшийся на ней вследствие явления электростатической индукции, стекает на землю. На ней остается только отрицательный заряд, поскольку он притягивается к положительному заряду внутренней сферы

Решение. Зная потенциал шара в начальный момент времени и его радиус, можно найти заряд на нем:

Вследствие явления электростатической индукции на внешней оболочке должно произойти разделение заряда. Отрицательный заряд перетечет на внутреннюю поверхность оболочки, положительный — на внешнюю (см. рисунок). Это же явление возникало и в предыдущих задачах, но мы не принимали его во внимание. Почему? В условии задач было указано, что оболочка тонкая, и такое «разбегание» зарядов не приводило к сколько-нибудь существенному изменению конфигурации электростатического поля.

В этой задаче учет данного явления важен, поскольку оболочку заземляют. После заземления положительный заряд с оболочки стечет на землю, останется лишь отрицательный q 2 , поскольку он притягивается к положительному заряду q 1 внутренней сферы. Потенциал заземленной оболочки станет равен потенциалу земли, то есть нулю. В этой связи и в соответствии с результатом, полученным при решении первой задачи, получаем равенство:

Используя выражение для расчета потенциала внутренней сферы подобной системы, полученное в первой задаче, находим окончательно требуемый потенциал шара:

Опыт показывает, что редко кто понимает решение этих задач во всех деталях с первого раза. Обычно приходится долго и настойчиво разъяснять ученикам все те мелочи, без осознания которых решение сводится к пустым преобразованиям буквенных выражений с целью получения приведенного в конце учебника ответа. Понять физическую сущность этих задач и научиться применять полученные знания в будущем не просто. Однако в этом и состоит основная методическая ценность данной темы в школьном курсе физики. Лучшим помощником в ее изучении непременно станет профессиональный репетитор, грамотный наставник, который сможет придумать понятное именно вам объяснение и ответит на все возникшие вопросы. Кстати, если таковые имеются, вы можете задать их ниже в комментариях.

Сергей Валерьевич

7.1. Имеются два электрода в виде концентрических сфер с радиусами a (внутренняя) и b (внешняя). Такая система называется шаровым конденсатором. Найдите потенциал любой точки поля между электродами.

7.2. Вычислите потенциал электрического поля диполя.

7.3. Найдите потенциал поля системы зарядов, находящихся в объеме с линейными размерами l , на расстояниях .

7.4. Изобразите потенциальную диаграмму системы из двух заряженных сфер.

7.5. Вычислите потенциал поля шара радиусом a , равномерно заряженного по объему: а) внутри шара; б) вне шара. Изобразите график

, гдеr – расстояние от центра шара. Решите задачу путем интегрирования уравнения Пуассона в сферических координатах, а также используя связь между напряженностью поля и потенциалом.

7.6. По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен заряд q . Исследовать зависимость потенциала электрического поля на оси кольца от расстояния до его центра. Найти напряженность как градиент потенциала.

7.7. Сфера радиуса , равномерно заряженная зарядом, окружена тонкой концентрической сферой радиуса. Какой заряднадо сообщить внешней сфере, чтобы потенциал внутренней сферы относительно бесконечности обратился в нуль? Зарядтакже равномерно распределен по его поверхности.

Решение задач

и, следовательно, изменяется в пространстве так же, как и в случае поля точечного заряда, откуда следует, что разность потенциалов между внутренней сферой и какой – либо точкой поля, удаленной на расстояние r от центра конденсатора, равна

.

Разность потенциалов между электродами (сферами) будет равна

.

Из этих двух формул следует

.

Измерив между электродами, можно вычислить потенциал любой точки поля.

7.2. Пусть система зарядов

находится в объеме с линейными размерами l. Найдем потенциал поля, создаваемого этой системой зарядов на расстояниях r, больших по сравнению с l. Выберем начало координат O внутри объема, который занимает система зарядов, и определим положение зарядов с помощью радиусов – векторов(на рисунке ___ показан один из радиус – векторов

заряда). Потенциал в точке, определяемой радиус – вектором, равен

.

Так как

, то можно положить, что

(символом мы обозначили единичный вектор). Тогда

.

Воспользуемся формулой

при

.

Теперь мы можем записать

Первый член этого выражения есть потенциал поля точечного заряда величиной

. Второй член такого же вида, как выражение, определяющее потенциал поля диполя. Роль электрического момента диполя играет величина

,

которую называют дипольным электрическим моментом системы зарядов.

7.3. Если поле создано несколькими зарядами, то потенциал этого поля равен сумме потенциалов полей, созданных отдельными зарядами

Здесь – потенциал результирующего поля в рассматриваемой точке относительно бесконечности,– расстояние от этой точки до

заряда, а суммирование производится по всем точечным зарядам.

Рассматриваемое поле обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, будет одной и той же, а вектор лежит в этой плоскости. Положение точки M относительно диполя будем характеризовать с помощью радиус – вектора, либо с помощью полярных координат r и

. Положение заряда

относительно центра диполя определим вектором, а заряда

– вектором

. Очевидно, что

, где– плечо диполя. Расстояния от зарядов

и

до выбранной точки M обозначим соответственнои. Так как

, то можно положить, что

Потенциал в точке, определяемой радиус – вектором , равен

.

Произведение

, разность

. Следовательно,

,

где

– электрический момент диполя.

Из этой формулы видно, что потенциал поля диполя определяется его электрическим моментом. Сравнивая потенциал поля диполя с потенциалом поля точечного заряда, видно, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее , чем потенциал поля точечного заряда.

Из рисунка ___ видно, что

. Поэтому

.

7.4. Пусть внутренняя сфера, радиус которой , имеет положительный заряд, а внешняя с радиусом– отрицательный заряд

, причем

.

Вне сфер потенциал будет равен

,

так как его создают совместно обе сферы (потенциал есть работа внешних сил, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля). Работа по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в область между сферами будет равна сумме двух работ:

(работе против сил, действующих со стороны внешней сферы на пути из бесконечности до ее поверхности) и

(работе против поля внутренней сферы), т.е.

.

Внутри меньшей сферы потенциал будет постоянен и равен

.

График, построенный по первой и второй формулам, изображен на рисунке ____1.

Если заряды сфер будут равны по величине и противоположны по знаку, т.е.

(такая система называется сферическим конденсатором), то потенциал во внешней области обращается в нуль, а между обкладками равен

.

Получается график, изображенный на рисунке ___2.

Если внутренняя сфера имеет отрицательный заряд, а внешняя – положительный, то график переворачивается и выглядит так, как изображено на рисунке ____3.

7.5. Интегрирование уравнения Пуассона в сферических координатах. Введем сферическую систему координат ,,

, приняв за начало отсчета центр шара. Уравнение Гаусса в дифференциальной форме (уравнение Пуассона), определяющее потенциал поля, принимает вид

где

.

Вследствие сферически симметричного распределения зарядов, потенциал зависит только от расстояния r и не зависит от углови

, т.е.

. Поэтому уравнение Пуассона упрощатся и принимает вид

.

Здесь через

обозначен потенциал внутри шара, а через

– вне шара. Интегрируя эти уравнения, находим

,

.

Постоянные A, B, C, D должны быть определены из следующих граничных условий.

1) Потенциал дожжен оставаться конечным при

, откуда непосредственно следует, что

.

2)

при

, откуда следует, что

.

3) Потенциал электростатического поля является непрерывной функцией координат, поэтому необходимо, чтобы

.

4) Нормальная составляющая вектора не должна испытывать скачка при прохождении через поверхность шара, т.е.

при

, так как поверхностная плотность заряда на поверхности шара равна нулю. Последнее условие эквивалентно требованию

.

Из последних двух условий находим

,

.

Искомые потенциалы окончательно запишем в виде

,

.

Из этих формул видно, что вне шара потенциал поля аналогичен полю точечного заряда.

Изобразим график

.

Пусть

,

. Найдем объемную плотность заряда

и отношение

.

Теперь можно записать, что потенциал внутри сферы

Составим таблицу

Потенциал вне сферы

.

Теперь строим график

.

Связь между напряженностью и потенциалом.

Зависимость напряженности электростатиического поля от расстояния до центра шара внутри шара имеет вид (см. решение задачи 1.5.4.)

,

т.е. внутри шара напряженность поля растет линейно с расстоянием от центра. При

,

, при

она достигает максимума и становится равной

.

При

напряженность поля зависит от расстояния как напряженность поля точечного заряда.

Изменение потенциала в поле заряженного шара

Потенциал поля внутри шара

,

где – потенциал точки на поверхности шара (потенциал поля точечного заряда), равный

.

Окончательно получим

.

Учитывая, что объемная плотность заряда

,

можно записать

,

т.е. мы пришли к той же формуле, что и при решении задачи путем интегрирования уравнения Пуассона.

1.7.6. Потенциал результирующего поля в точке A

,

есть потенциал поля, созданного зарядом

элемента кольца

.

есть линейная плотность заряда, r – расстояние от элемента

до указанной точки. Из двух последних формул имеем

.

Результирующий потенциал

Из геометрических соображений следует, что

.

Следовательно,

.

Напряженность поля

.

Анализ выражений

и

показывает, что в центре кольца (

) потенциал имеет максимальное значение, а напряженность поля обращается в нуль.

При

и потенциал, и напряженность стремятся к нулю.

При

производнаяобращается в нуль, следовательно, в этой точке напряженность поля максимальна, а на графике

(см. рис. ____) будет точка перегиба. График

расположен в 1-й и 3-й четвертях, т.е.

,

. Это значит, что при переходе через центр кольца (

) векторменяет свое направление на противоположное.

График

расположен в 1-й и 2-й четвертях, т.е. по обе стороны от кольца в точках, лежащих на его оси, потенциал положителен.

На примере решения этой задачи можно убедиться, что при изменении начала отсчета потенциала разность потенциалов между двумя любыми точками не меняется. Не меняется и весь характер зависимости потенциала от расстояния. Например, если выбрать начало отсчета в центре кольца, т.е. если предположить, что

, то потенциал любой точки, лежащий на оси кольца, равен

.

Эта формула может быть легко получена на основании принципа суперпозиции.

Если начало отсчета потенциала выбрано в центре кольца, то потенциал поля, созданного элементарным зарядом

в точке A, можно представить в виде

.

Интегрируя это выражение по всему кольцу, получим формулу

.

График зависимости

, не меняя своего характера, смещается вниз параллельно самому себе на величину

(пунктирная линия на рисунке _____2). При

потенциал стремится к значению

.

7.7. Потенциал численно равен работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля (в нашем случае, с поверхности внутренней сферы) в бесконечность, т.е.

,

где – результирующая напряженность поля во всех точках интервала интегрирования.

В интервале

поле создается только зарядом внутренней сферы. Вектор, независимо от величины и знака заряда, направлен по радиусу от центра. При перемещении единичного положительного заряда отдосилы поля совершают положительную работу. При

, т.е. за пределами второй сферы работа сил поля отрицательна и, следовательно, векторнаправлен по радиусу к центру сферы. В точках

поле определяется алгебраической суммой зарядов на обеих сферах. Заряддолжен быть отрицательным и по величине должен быть больше заряда. Так как векторыи

коллинеарны (либо антиколлинеарны при

), то скалярное произведение

можно заменить произведением

(в случае, когда эти два вектора направлены противоположно, напряженность поля должна считаться отрицательной). В формуле

подынтегральная функция

терпит разрыв в точке

. Поэтому интеграл нужно разбить на два интеграла в пределах отдои отдо

:

.

При

напряженность

,

а при

.

Подставив эти выражения в соответствующие интегралы, получим

.

Интегрируя и приводя подобные члены, получим

.

Так как по условию задачи

, то

.

График зависимости

изображен на рисунке ____.

Проанализируем полученный график.

Согласно условию задачи, при заданном значении потенциал на поверхности внутренней сферы

. При

потенциал постоянен и равен потенциалу на поверхности, следовательно, графиком на участке от

до

является прямая линия, совпадающая с осью абсцисс. При

вектортерпит разрыв. Так как

, то на графике точка

(так же, как и точка

) представляют особые точки. На участке

векторнаправлен по радиус – вектору. Поэтому, по мере удаления от поверхности внутренней сферы потенциал убывает до некоторого значения

. На участке

векторнаправлен навстречу радиус – вектору, поэтому, по мере удаления от поверхности внешней сферы потенциал возрастает, и при



. Несмотря на то, что в точках

и

вектортерпит разрыв, функция

является непрерывной.