Практическое изучение метода анализа иерархий
Теоретические сведения
Метод анализа иерархий, разработанный и опубликованный в 1970 году американским математикомСаати , относится к классу критериальных . Он получил очень широкое распространение и в настоящее время продолжает активно применяться - см., например, (задача составления оптимального производственного плана нефтепереработки), (задача оценки недвижимости).
На первом этапе применения метода предусматривается структурирование проблемы в виде иерархии или сети . Иерархия строится с вершины (целей - с точки зрения управления), через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому низкому уровню (который обычно является перечнем вариантов выбора).
Иерархия считается полной , если каждый элемент заданного уровня функционирует как критерий для всех элементов нижестоящего уровня. В противном случае иерархия - неполная . Нетрудно понять процесс определения весов в случае неполной иерархии, так как используются приоритеты соответствующего элемента, по отношению к которому производится оценка, т. е. иерархия может быть разделена на подиерархии , имеющие общим самый верхний элемент.
Для объяснения метода анализа иерархий рассмотрим пример, иллюстрирующий иерархическое представление задачи. Предположим, что перед нами стоит задача выбора автомобиля из совокупности, члены которой (модели автомобилей) обозначаются как А, Б, В и Г.
Определив на первом (высшем) уровне общую цель - «Автомобиль» - на втором уровне находятся пять факторов или критериев, уточняющих цель, и на третьем (нижнем) уровне находятся четыре автомобиля - кандидата, которые должны быть оценены по отношению к критериям второго уровня.
В качестве критериев, определяющих наш выбор, используются такие критерии:
Стоимость
Вместительность салона и багажника
Экономичность (расход горючего)
Ходовые качества
Следующим шагом метода после выполнения шага иерархического или сетевого воспроизведения проблемы производится установление приоритетов критериев и оценка каждого вариантов альтернативы по критериям. В методе анализа иерархий элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них характеристику. Проведем парные сравнения, приводящие к матричной форме. Сравнивая набор составляющих проблемы друг с другом, получаем следующую квадратную матрицу:
Очевидно, что эта матрица имеет свойства обратной симметричности, т. е.
где индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.
Пусть А 1 , А 2 , А з , ..., А n - множество из n элементов и w 1 , w 2 w 3 , ..., w n - соответственно их веса, или интенсивности. С использованием метода анализа иерархий вес, или интенсивность, каждого элемента сравниваются с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели. Сравнение весов можно представить квадратной таблицей, в которой числа могут быть расположены следующим образом
Если w 1 , w 2 , w 3 ..., w n неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, оцениваемых численно по некоторой шкале, а вслед за чем решается проблема нахождения компонент w .
Для фиксации результата сравнения пары альтернатив может использоваться, в частности, шкала, предложенная автором метода:
1 - равноценность
3 - умеренное превосходство
5 - сильное превосходство
7 - очень сильное превосходство
9 - высшее (крайнее) превосходство
Значения 2,4,6,8 используются для обозначения промежуточной между перечисленными значениями степени превосходства.
Если элемент i важнее элемента j , то в клетку заносится положительное целое (от 1 до 9); в противном случае - обратное число (дробь). Относительная важность любого элемента, сравниваемого с самим собой, равна 1; поэтому диагональ матрицы (элементы от левого верхнего угла до нижнего правого) содержит только единицы. Симметричные клетки заполняются обратными величинами, т. е. если элемент А воспринимается как «слегка более важный» (3 на шкале) относительно элемента Б, то считаем, что элемент Б «слегка менее важен» (1/3 на шкале) относительно элемента А.
Когда проблемы представлены иерархически, матрица составляется для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подобные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждого варианта альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня. Матрица составляется, если записать сравниваемую цель (или критерий) вверху и перечислить сравниваемые элементы слева и сверху.
В примере потребуется построить шесть таких матриц.
Одна матрица создается для второго уровня иерархии, например,
и пять матриц - для третьего уровня, например,
Вместительность:
Экономичность:
Ходовые качества:
Дизайн:
Стоимость:
Сравниваемые попарно элементы - это возможные варианты выбора автомобиля. Сравнивается, насколько более желателен или хорош тот или иной автомобиль для удовлетворения каждого критерия второго уровня. Получаем пять матриц суждений размерностью 4х4, поскольку имеется пять критериев на втором уровне и четыре автомобиля, которые попарно сравниваются по каждому из критериев.
Из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня. Находим относительную силу, величину, ценность, желательность или вероятность каждого отдельного объекта через «решение» матриц, каждая из которых обладает обратносимметричными свойствами. Для этого нужно вычислить множество собственных векторов для каждой матрицы, а затем нормализовать результат к единице, получая тем самым вектор приоритетов. Вычисление собственных векторов заменяется более простым приближенным вычислением приоритетов каждого критерия в виде среднего геометрического. Для этого элементы в каждой строке перемножаются и из каждого произведения извлекается корень n -й степени, где n - число элементов (вариантов альтернативы). Полученный таким образом столбец чисел нормализуется делением каждого числа на сумму всех чисел. Таким образом, можно определить не только порядок приоритетов каждого отдельного элемента, но и величину его приоритета. Для нашего примера имеем:
Для матриц третьего уровня:
Вместительность:
Экономичность:
Ходовые качества:
Дизайн:
Стоимость:
Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. Это дает составной, или глобальный, приоритет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отношению к нему как, к критерию и расположенных уровнем ниже. Таким образом, для вычисления веса каждого варианта на третьем уровне необходимо найти сумму произведений веса каждого варианта по каждому критерию на величину приоритета данного критерия:
В условиях рассматриваемого примера имеем:
Весьма важным является так называемый индекс согласованности , который дает информацию о степени нарушения численной (кардинальной, ) итранзитивной (порядковой) согласованности. Для улучшения согласованности рекомендуется произвести поиск дополнительной информации и пересмотр данных, использованных при построении шкалы. В других процедурах построения шкал отношения нет структурно порожденного индекса. Вместо традиционно используемых при построении ординальных шкал (при использовании значений 0,1,2 для выражения предпочтений), как уже было отмечено выше, в матрицах парных сравнений метода используются обратные величины.
Индекс согласованности в каждой матрице и для всей иерархии может быть приближенно получен вычислениями вручную. Сначала суммируются элементы каждого столбца суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца - на вторую компоненту и т. д. Затем полученные числа суммируются. Если обозначить эту сумму как , то для индекса согласованности (ИС) имеем:
где n - число сравниваемых элементов.
Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из шкалы 1/9, 1/8, 1/7,..., 1,2, ...,9. Средние согласованности для случайных матриц (CC - случайная согласованность) имеют такие значения:
Отношение согласованности (ОС) получим, разделив ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка.
Для матрицы первого уровня данного примера имеем:
ИС=(5,29-5)/4=0,07
ОС=0,07/1,12=0,066
Для матриц третьего уровня:
Приемлемой считается величина ОС порядка 10% или менее. В некоторых случаях можно допустить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих пределов, то нужно повторно исследовать задачу и проверить свои суждения.
Г.А. КАЛАБУХОВ, заместитель руководителя Управления Федерального агентства кадастра объектов недвижимости по Воронежской области, кандидат экономических наук наук
Ю.Н. ГАЛКИНА, заместитель начальника отдела формирования, инвентаризации, организации ведения кадастра и оценки объектов недвижимости Управления Федерального агентства кадастра объектов недвижимости по Воронежской области, доцент кафедры экономика строительства Воронежского государственного архитектурно строительного университета, кандидат экономических наук
Процессы принятия решений в различных сферах деятельности бывают во многом аналогичны. Кроме того, во многом схожи и сопутствующие проблемы. Поэтому необходим метод, позволяющий по универсальным правилам оказывать поддержку принятия решений и соответствующий естественному ходу мышления лиц, принимающих решения. Обобщая опыт принятия решений в экономике, социальной сфере, на производстве и в других сферах человеческой деятельности , можно высказать ряд эмпирических требований к свойствам метода, призванного обеспечить поддержку процесса принятия решения.
1. Метод должен соответствовать естественному ходу человеческого мышления. Следует иметь в виду, что математические способы, положенные в основу метода, не должны заменять человеческий ум и опыт в интерпретации реального мира.
2. Метод должен служить универсальной систематической основой принятия решения, позволяющей ставить процесс принятия решений на поток.
3. Метод должен позволять решать проблему принятия решений с учетом ее реальной сложности и других сопутствующих проблем.
4. Метод должен предполагать обоснованный и понятийный способ рейтингования возможных решений. Иначе процесс принятия решений может носить неопределенный характер, а потенциальные возможности могут оказаться нереализованными.
5. Метод должен учитывать как имеющуюся количественную информацию, так и качественную информацию о предпочтениях лица принимающего решения, что чрезвычайно важно для экономики, управления, социальной сферы.
6. Метод должен учитывать тот факт, что часто (особенно для масштабных задач) имеется множество решений. Как следствие несистематический процесс принятия решений несет в себе неопределенность, сказывающуюся на качестве решений. Кроме того, для выбора лучшего решения далеко не всегда удается построить логическую цепочку рассуждений, когда из двух вариантов можно выбрать только один и компромиссы недопустимы. Поэтому для обеспечения ясности необходим механизм количественного ранжирования (установки приоритетов) для возможных решений.
7. Метод должен учитывать тот факт, что, как правило, имеется множество мнений и стилей принятия решения. В процессе выработки единого решения возможны конфликты. Поэтому нужны механизмы достижения согласия.
Для реального процесса подготовки принятия решения необходимо решить следующие задачи.
1. Выявить наиболее противоречивые этапы создания модели для поддержки принятия решения:
а) является ли рассматриваемый набор решений полным;
б) учтены ли все группы факторов, влияющих на выбор наиболее приоритетного решения;
в) определены ли существенные влияния главного критерия, факторов и альтернатив друг на друга;
г) известны ли сравнительные оценки того, как сильно влияют главный критерий, факторы и альтернативы друг на друга, имеются ли противоречия в оценках;
д) имеются ли альтернативные мнения по рассматриваемой проблеме, насколько они различаются.
2. Разбить большую задачу о принятии решения на ряд малых задач (провести анализ), что позволит распределить работу по подготовке принятия решения. Представить в понятной форме схему взаимодействия факторов, влияющих на формирование приоритетов решений, и самих решений (провести синтез), т. е. составить схему задачи принятия решения.
3. Оценить и минимизировать противоречивость данных, использующихся для определения приоритетов рассматриваемых решений.
4. Предварительно установить условия, при которых по найденному рейтингу приоритетов возможных решений можно сделать выбор лучшего решения.
5. Выяснить, все ли мыслимые варианты решений и факторов, влияющих на выбор решений, являются существенными или некоторые из них можно не рассматривать. Это весьма важно в ситуациях, когда рассматриваются проблемы большого масштаба или проблемы стратегического планирования.
6. Оценить устойчивость данных, полученных в результате применения метода анализа иерархий. В реальной ситуации практически невозможно гарантировать, что имеющиеся данные или представления о проблеме являются абсолютно точными. Поэтому необходимо проверить в какой мере изменяются приоритеты решений, если данные или схема принятия решения претерпят незначительные изменения.
7. Учесть, что обычно по рассматриваемой проблеме имеется множество мнений. Это приводит к необходимости выбора решения при наличии нескольких реальных схем принятия решения и нескольких наборов правдоподобных данных.
8. Организовать числовую обработку имеющейся качественной информации.
В рамках метода анализа иерархий нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации принятия решения, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, с помощью определения их приоритетов. Таким образом, метод позволяет учитывать человеческий фактор при подготовке принятия решений.
Формирование модели принятия решения в методе анализа иерархий - достаточно трудоемкий процесс. Сбор данных для поддержки принятия решения осуществляется главным образом с помощью процедуры парных сравнений. Результаты парных сравнений могут быть противоречивыми. Метод предоставляет большие возможности для выявления противоречий в данных. При этом возникает необходимость пересмотра данных для минимизации противоречий. Процедура парных сравнений и процесс пересмотра результатов сравнений часто являются трудоемкими. Однако в итоге лицо, принимающее решение, приобретает уверенность в том, что используемые данные и результаты являются вполне приемлемыми.
Схема метода совершенно не зависит от сферы деятельности, в которой принимается решение. Поэтому метод является универсальным, его применение позволяет организовать систему поддержки принятия решения. Модель, составляемая с помощью метода анализа иерархий, всегда имеет кластерную структуру. Метод позволяет разбить большую задачу на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.
Данный метод предоставляет удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач, в том числе для оценки земельных участков. Метод отражает естественный ход человеческого мышления. Он не только позволяет выявить наиболее предпочтительное решение, но и количественно выразить степень предпочтительности посредством рейтингового метода.
Условия обоснованного применения метода
1. Важным требованием, обеспечивающим обоснованность использования метода, является квалифицированность экспертов, принимающих участие в создании структуры модели принятия решения, подготовке данных и в интерпретации результатов, т. е. их способность давать правильную, непротиворечивую информацию. Эксперт должен быть осведомлен о степени развития земельного рынка, ориентироваться в ценовых приоритетах. Во многом обоснованность решения, принятого в результате оценки земельного участка с помощью иерархического анализа, связана:
а) с полнотой учета факторов, влияющих на формирование стоимости земельного участка;
б) с полнотой учета связей между целью оценки, факторами и возможными вариантами оценки;
в) с адекватностью формулировок критериев для парных сравнений тем целям, которые преследуют ся для построения модели оценки.
2. Модели, основанные на строгом иерархическом принципе, являются полилинейными и предполагают использование взвешенного суммирования для вычисления приоритетов в оценке земельного участка. При этом взаимная зависимость однотипных факторов, от которых зависят приоритеты решений, выясняется или путем парных сравнений, или не учитывается вовсе (например, доступность общественного транспорта или количество видов общественного транспорта для земель под жилую застройку). Таким образом, если учитываются сильно коррелирующие факторы, то соответствующая модель должна как минимум иметь обратные связи. Учет обратных связей позволяет установить опосредованные связи между однотипными факторами (через факторы других типов). Метод наиболее подходит для случаев, когда основная часть данных основана на предпочтениях лица, принимающего решения, т е. потенциального покупателя для данного земельного участка.
3. Результаты, полученные с помощью иерархических моделей (без обратных связей), являются статичными.
4. Сбор данных об оцениваемом и сравниваемых земельных участках и минимизация содержащихся в них противоречий могут подчас проводиться долго. При этом может оказаться, что в наборе данных не явно учитывается их разброс во времени (например, типичные земельные участки были проданы задолго до даты оценки). Это обстоятельство может привести к искажению результатов при моделировании быстро меняющихся ситуаций. Метод дает более реалистичные результаты при моделировании медленно меняющихся ситуаций, для принятия стратегических решений.
В методе анализа иерархий нет строгих правил создания моделей принятия решения. Вопрос о том, в какой мере модель соответствует ситуации принятия решения, остается открытым. Метод анализа иерархий позволяет лишь систематизировать процесс принятия решений, упорядочить процесс извлечения знаний из имеющейся информации. Поэтому для создания моделей принятия решения нужны опытные специалисты. Степень доверия к результатам, полученным с помощью метода анализа иерархии, часто совпадает со степенью доверия к экспертам, принимавшим участие в конструировании структуры модели, и сборе данных.
Существует следующая последовательность действий при оценке земельного участка с помощью метода анализа иерархий.
1. Определение набора возможных (альтернативных) решений и цели оценки (например, для продажи, для залога и т. п.).
2. Определение групп факторов, оказывающих влияние на формирование стоимости земельного участка.
3. Формирование уровней: первый (вершина) - главная цель (главный критерий) оценки; нижний - возможные варианты оценки (стоимости сравниваемых земельных участков); промежуточные - группы однотипных факторов, влияющих на оценку (месторасположение, транспортная доступность и т. п.). Сформированная многоуровневая структура модели дает предварительное представление о рейтинговом методе решений. На ней показаны узлы (цель, факторы, решения), сгруппированные по типам.
4. Выяснение структуры влияния между целью, факторами и решениями. При этом вначале необходимо выделить пары уровней, один из которых оказывает влияние на другой. Затем выяснить, между какими именно узлами выделенных уровней есть связи.
5. Анализ кластерной структуры модели принятия решения. При необходимости внесение корректив: добавление/удаление узлов и связей.
6. Внесение данных для кластеров: проведение сравнения для узлов каждого кластера и для кластеров, имеющих общую вершину или введение соответствующих векторов приоритетов.
7. Оценка качества данных (достаточность, согласованность, достоверность). При необходимости корректирование данных.
Если оказывается, что в масштабе модели данные недостаточно согласованы или недостаточно достоверны, целесообразно провести выборочное корректирование данных.
После того, как построена схематическая структура модели, отражающая ситуацию оценки, необходимо провести анализ структуры. При этом главным образом рассматриваются всевозможные пути, образованные связями. Эти пути, как правило, направлены от вершины модели (цель оценки) через узлы промежуточных уровней (через факторы, влияющие на стоимость земельного участка) к узлам нижнего уровня (к альтернативам). Т. е. каждый путь соответствует отдельной логической цепочке выбора альтернативы.
После того, как сформирована, проанализирована и откорректирована структура модели принятия решения, она наполняется данными. Готовая структура модели (все узлы, сгруппированные в уровни, и направленные связи между ними) всегда рассматривается как система кластеров. В соответствии с этим существуют два вида данных: данные для узлов кластера, данные для кластеров, подчиненных одному узлу (имеющих общую вершину). Оба вида данных можно получить, задав напрямую соответствующие векторы приоритетов, или с помощью парных сравнений. В последнем случае по результатам парных сравнений методом собственного вектора рассчитываются векторы приоритетов. Таким образом, подготовка данных связана с выбором того или иного способа получения данных. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. Процедуры сравнения для кластеров с общей вершиной и для узлов одного кластера не имеют принципиальных различий.
Схема процедуры сравнений
1. Дан ряд однотипных земельных участков (кластеры с общей вершиной или узлы одного кластера).
2. Задан критерий сравнения объектов (формулировка критериев для парных сравнений связана с названием вершины, в нашем случае, по стоимости).
3. Подбор шкал для проведения сравнений.
4. Выбор способа сравнений.
5. Подбор определенного количества пар объектов. В градациях выбранной шкалы для каждой пары необходимо отметить, в какой мере один узел предпочтительнее другого по заданному критерию сравнения. Независимо от вида шкалы результаты парных сравнений имеют числовое выражение. Числовой результат парного сравнения двух объектов интерпретируется как экспертная оценка отношения их приоритетов (весов).
6. При необходимости парным сравнениям ставится в соответствие процентная оценка достоверности.
7. На основе результатов сравнений построение матрицы сравнений.
8. Соблюдение условия , или вычисление вектора приоритетов сравниваемых объектов. В результате применения традиционного способа сравнений оказывается заполненной наддиагональная часть матрицы (i≤j). Поддиагональную часть матрицы сравнений заполняем отношениями обратной симметрии вида
9. В результате применения способа сравнения обычно оказывается, что в матрице заполнена первая строка (известны элементы i-го вида). Построение первого столбца матрицы сравнений осуществляется способом отношений обратной симметрии. Деление каждого элемента полученного столбца на сумму его элементов и получение искомого вектора приоритетов.
10. Вычисление среднего значения достоверности проведенных сравнений и относительной согласованности сравнений, характеризующей степень их противоречивости.
11. Если сравнения признаны недостаточно согласованными или недостаточно достоверными, то проводится корректирование сравнений.
Показатели согласованности для системы в целом
Допустим, пронумерованы все уровни и узлы каждого уровня. Тогда каждому узлу можно поставить в соответствие пару натуральных чисел (i, j), где i - номер уровня, которому принадлежит данный узел; j - порядковый номер данного узла в уровне. Каждому кластеру можно поставить в соответствие три натуральных числа (i, j, k), где i - номер уровня, которому принадлежит вершина кластера; j - порядковый номер узла вершины данного кластера в уровне; k - номер уровня, в котором находится кластер. В этом случае вершине модели соответствует значение (1,1). Обозначим: - индекс согласованности для кластера (i, j, k), ( = 0, если для кластера (i, j, k) вектор приоритетов получен без проведения сравнений или с помощью способа сравнений с эталоном); &ndash случайный индекс для кластера (i, j, k).
Относительная согласованность для кластера (i, j, k) (если - индекс согласованности узла (i, j) без учета его приоритета в модели. Вклад набора данных для кластера (i, j, k) определяется показателями . Эти показатели можно использовать для определения кластеров, которые вносят наибольший вклад в противоречивость данных в масштабах всей модели. После этого проведение процедуры согласования можно построить по выборочному принципу. Уменьшение при изменении данных (например, при реализации процедуры согласования) свидетельствует об уменьшении противоречий в данных. При этом: а) повышается устойчивость результатов по отношению к малым изменениям данных или к незначительным изменениям структуры модели, б) уменьшаются искажения, возникающие при вычислении методом собственного вектора приоритетов узлов кластеров.
Оценка стоимости земельного участка методом иерархий относится к одной из разновидностей массовой оценки, в основе которой лежит принцип сравнения заданного земельного участка с типичными, уже проданными земельными участками.
Оценка какого-либо конкретного земельного участка - очень трудоемкая работа. Для определения стоимости методом анализа иерархий выбраны шесть незастроенных земельных участков, предоставленных для индивидуального жилищного строительства из земель поселений. Шесть земельных участков были проданы в период с 8 по 15 января 2005 г. Данные для расчета стоимости незастроенного земельного участка приведены в таблице 1.
Таблица 1
Исходные данные для расчета стоимости незастроенного земельного участка методом иерархий
Цель - определение стоимости предложенного земельного участка. Каждый из вариантов имеет свои преимущества и недостатки. Прежде всего рассматривается сочетание стоимости и комфорта. Следовательно, главными критериями первой иерархии являются стоимость и комфорт. Приоритеты между критериями устанавливаются по степени их влияния на выбор варианта. В данном случае предполагается, что стоимость и комфорт имеют равные приоритеты. Выбор можно представить в виде иерархии, которая состоит из уровней: выбор, критерии, варианты. Стрелки (связи) означают влияние одного узла на узел в другом уровне (рисунок 1).
Рисунок 1 – Основная иерархия оцениваемого варианта
Внешний комфорт жилого помещения, которое будет построено на данном земельном участке, складывается из престижности района, доступности общественного транспорта и близости остановки, расположения дома. Поэтому внешний комфорт для земельного участка можно представить в виде иерархии (рисунок 2).Рисунок 7 – Иерархия числа видов транспорта
Рисунок 8 – Иерархия общего числа маршрутов
Иерархия стоимости земельных участков представлена на рисунке 9.
Рисунок 9 – Иерархия стоимости земельных участков
Приоритеты между критериями устанавливаются по степени их влияния на выбор варианта. Развитость инфраструктуры можно представить в виде следующей иерархии (рисунок 10).
Рисунок 10 – Иерархия развитости инфраструктуры
На основе заданных характеристик земельных участков строим матрицу сравнений или вычисляем вектор приоритетов сравниваемых земельных участков. В результате применения традиционного способа сравнений оказывается заполненной наддиагональная часть матрицы (i≤j). Поддиагональную часть матрицы сравнений заполняем по способу отношений обратной симметрии. Первый столбец матрицы сравнений строим таким же образом. Затем делим каждый элемент полученного столбца на сумму его элементов и получаем искомый вектор приоритетов.
В итоге, после проведенных расчетов выполняется процедура сравнений. Результатом расчетов являются итоговые приоритеты для иерархии лучший вариант для покупателя и иерархии стоимость (таблица 2).
где - стоимость каждого из сравниваемых земельных участков; - итоговые приоритеты (коэффициенты).
Таблица 2
Расчет стоимости незастроенного земельного участка
Основные выводы
Имеется три стандартных метода оценки недвижимости: затратный, доходный и сравнения продаж, которые не дают возможности провести однозначную оценку недвижимости, поэтому в работе была предпринята попытка построения синтетического метода оценки недвижимости на базе метода анализа иерархий. Основное применение метода - поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингового метода альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, можно перечислить возможности данного метода. Метод позволяет:
- унифицировать и заменить работу экспертов-оценщиков, а также понизить издержки на выплату заработной платы высококвалифицированным специалистам в риэлторских конторах, агентствах недвижимости;
- строить модели экспертного консилиума для оценки недвижимости, а также дополнительные иерархии для оценки компетентности экспертов;
- решать многокритериальные задачи оценки, устанавливать различные веса приоритетов и находить общую целевую функцию оцениваемого объекта;
- использовать процедуру для вычисления таких сложных характеристик, как отношение выгоды к затратам.
Таким образом, в методическом отношении наибольший интерес представляет массовая оценка всей территории города или крупной его части, процедурно предшествующая индивидуальной оценке и осуществляемая с помощью тех средств, которыми располагает коллектив специалистов, выполняющий массовую оценку. Индивидуальная оценка должна проводиться на основе массовой оценки. В ней принимает участие большое число специалистов, выполняющих оценочные работы по каждому земельному участку в отдельности (в крупном городе таких участков несколько десятков тысяч).
Список литературы
1. Гасилов В.В., Галкина Ю.Н. Моделирование
процессов формирования рынка земельных ресурсов в Воронежской области. Современные сложные
системы управления// Материалы междунар. науч. конф. - Старый Оскол, 2002. - С. 311.
2. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа
иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 511 с.
3. Саати Т.Л., Кернс К. Аналитическое планирование.
Организация систем. - М.: Радио и связь, 1991. - 256 с.
4. Эллерман Д. Математические методы в оценке
недвижимости. - Ин-т экономич. развития, Всемирный банк. - Апрель 1994. - С. 35.
Для решения задач подобного рода в аналитическом планировании широко применяется метод анализа иерархий (далее МАИ), разработанный Т.Саати. Сегодня его используют уже повсеместно от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей. Воспользуемся этим методом и мы для выбора хостинг-провайдера.
Первым этапом применения МАИ является структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (цели), через промежуточные уровни-критерии (технико-экономические параметры) к самому нижнему уровню, который в общем случае является набором альтернатив (хостинг-провайдеров в нашем случае).
После иерархического воспроизведения проблемы устанавливаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по критериям. В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, предложенной автором метода, где оценки имеют следующих смысл:
Если при сравнении одного фактора i с другим j получено a(i,j) = b , то при сравнении второго фактора с первым получаем a(j,i) = 1/b.
Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:
- Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
- Какой из них более вероятен?
- Какой из них предпочтительнее?
Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.
Пусть:
A 1 ...A n - множество из n элементов;
W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:
A 1 | ... | A n |
|
A 1 | 1 | ... | W 1 /W n |
... | ... | 1 | A n |
A n | W n /W 1 | ... | 1 |
Оценка компонент вектора приоритетов производится по схеме:
A 1 | ... | A n | |||
A 1 | 1 | ... | W 1 /W n | X 1 =(1*(W 1 /W 2)*...*(W 1 /W n)) 1/n | BEC(A 1)=X 1 /СУММА(X i) |
... | ... | 1 | A n | ... | ... |
A n | W n /W 1 | ... | 1 | X n =((W n /W 1)*...*(W n /W n-1)*1) 1/n | BEC(A n)=X n /СУММА(X i) |
СУММА(X i) |
Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует элемент.
Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.
ИС = (l max - n)/(n - 1)
Для наших матриц всегда l max і n.
Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.
Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.
Метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process - AHP), или подход аналитической иерархии предполагает декомпозицию проблемы на простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решения (ЛПР). В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.Назначение . С помощью онлайн-калькулятора производятся вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня - индексы однородности и отношения однородности .
Инструкция . Укажите количество уровней иерархии. Затем введите число критериев на каждом уровне. Нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word .
Постановка задачи, решаемой с помощью метода анализа иерархий, заключается обычно в следующем.
Дано: общая цель решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы. Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.
Подход AHP состоит из совокупности этапов:
1. Структуризация задачи виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.
2. Попарное сравнение элементов каждого уровня лицом, принимающим решения. Результаты сравнения имеют числовой характер.
3. Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня. Проверка согласованности суждений ЛПР.
Подсчет количественной оценки качества альтернатив. Выбор лучшей альтернативы.
Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа (таблица 2).
Таблица 2. Шкала отношений
Степень значимости | Определение | Объяснение |
1 | Одинаковая значимость | Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели |
3 | Некоторое преобладание значимости одного действия над другим | Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны |
5 | Существенная или сильная значимость | Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий |
7 | Очевидная или очень сильная значимость | Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим |
9 | Абсолютная значимость | Свидетельства в пользу предпочтения одного действия перед другим в высшей степени убедительны |
2, 4, 6, 8 | Промежуточные значения между двумя соседними суждениями | Ситуация, когда необходимо компромиссное решение |
Обратные величины приведенных выше величин | Если действию i при сравнением с действием j приписывается одно из определенных выше чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение | Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы |
При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить число в интервале от 1 до 9 или обратное значение.
Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы – родители и элементы – потомки. Элементы – потомки воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами – родителями. Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов – потомков, относящихся к определенному родителю. Парные сравнения производятся в терминах доминирования одного элемента над другим в соответствии со шкалой отношений.
Если элемент Е 1 доминирует над элементом Е 2 , то клетка матрицы, соответствующая строке Е 1 и столбцу Е 2 , заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е 2 и столбцу Е 1 , заполняется обратным к нему числом.
При проведении парных сравнений следует отвечать на вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.
При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.
Теорема 1 . В положительной обратносимметрической квадратной матрице λ max ≥n.
Теорема 2 . Положительная обратносимметрическая квадратная матрица А согласованна тогда и только тогда, когда λ max =n.
Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта можно использовать отклонение величины максимального собственного значения λ max от порядка матрицы n.
Согласованность суждения оценивается индексом однородности (индексом согласованности) или отношением однородности (отношением согласованности) в соответствии со следующими формулами:
M(ио) - среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальных данных. Значение есть табличная величина, входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).
Таблица 6. Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
M(ио) | 0 | 0 | 0,58 | 0,90 | 1,12 | 1,24 | 1,32 | 1,41 | 1,45 | 1,49 | 1,51 |
Пример
. Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:
Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:
Нормализуя вектор W s делением каждой координаты на величину S, получаем приближенное значение главного собственного вектора:
Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле λ max =e T AW, рассмотренной выше:
При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот.
Пример.
Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.
При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше 0.01 .
Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.
Пример
(из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.
На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей.
В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов.
Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.
Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне.
Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей.
Рисунок 1 - Иерархическая схема общего благополучия индивидуума
Осуществим иерархический синтез:
Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей.
В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными.
После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню.
Расчётно-графическая работа
по дисциплине
«Теория систем и системный анализ»
ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ
Задача о выборе школы
Выполнила: студентка 1 курса ЭФ группы ПИб-11 Смирнова С.Ю.
Проверила: канд. физ.-мат. наук, доцент Пайзерова Ф.А.
Йошкар-Ола
Введение. 3
ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ.. 5
Критерии выбора школы.. 6
Метод анализа иерархии Саати. 7
Заключение. 20
Список литературы.. 23
Введение
В данной расчетно-графической работе будем рассматривать метод анализа иерархий.Цель метода анализа иерархий - разработка теории и методологии для моделирования неструктурированных задач в экономике, науке управления и социальных наука.
Метод анализа иерархий представляется более обоснованным путем решения многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы, чем подход, основанный на линейной логике. Применяя дедуктивную логику, исследователи проходят трудный путь построения тщательно осмысленных логических цепей только для того, чтобы в итоге, полагаясь на одну лишь интуицию, объединить различные умозаключения, полученные из этих дедуктивных посылок. Кроме того, подход, основанный на логических цепях, может не привести к наилучшему решению, так как в данном случае может быть потеряна возможность принятия компромиссов между факторами, лежащими в разных цепях логического мышления.
Метод анализа иерархий является замкнутой логической конструкцией, обеспечивающей с помощью простых правил анализ сложных проблем во всем их разнообразии и приводящей к наилучшему ответу. К тому же, применение метода позволяет включить в иерархию все имеющееся у исследователя по рассматриваемой проблеме знание и воображение. Это, с моей точки зрения, является балансированным путем решения трудной проблемы: оставить математику простой и позволить богатству структуры нести бремя сложности. Никакая математика не может заменить человеческий ум и опыт интерпретации реального мира. Независимо от того, насколько сложной может быть математика, она всё же не будет отражать все те элементы в проблеме, которые явно существенны для нас.
Сам метод заключается в декомпозиции проблемы на более простые составляющие части и поэтапном установлении приоритетов оцениваемых компонентов с использованием попарных сравнений. На первом этапе выделяются наиболее важные элементы проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений испытания и оценки элементов, на третьем – осуществляется выработка способа применения решения и оценка его качества. Весь процесс подвергается проверке и осмыслению до тех пор, пока не будет уверенности, что процесс охватил все важные характеристики, необходимые для предоставления проблемы и ее решения.
ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ
Задача о выборе школы
Был проведен анализ трех школ A , B и C на предмет их желательности с точки зрения ученика 10 класса. Для сравнения были выбраны семь независимых характеристик: учеба, друзья, школьная жизнь, профессиональное обучение, подготовка к ВУЗУ, школьные кружки и питание
На первом уровне – цель – школа.
На втором уровне – 7 критериев, уточняющих цель.
На третьем уровне – 3 альтернативы (разные школы ).
Критерии выбора школы:
1) Учеба (выбор класса с уклоном по желанию: гуманитарный, социально-экономический, универсальный, биолого-химический, информационный и т.д.)
2) Друзья (хорошие отношения с одноклассниками, с друзьями по школе и т.п.)
3) Школьная жизнь (активное участие в жизни класса и школы, активная общественная деятельность, участие в школьном научном обществе)
4) Дополнительное обучение (художественная школа, школа начинающих фотографов, школа начинающих программистов, вождение, курсы повара и многое другое)
5) Подготовка к ВУЗу (элективные курсы, факультативы, центр довузовской подготовки)
6) Школьные кружки (швейный кружок, круг любителей животных, кружок экологов и т.д.)
7) Питание (хорошее питание, столовая, буфет).
После иерархического изображения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них. Когда проблема представлена иерархически составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне к общей цене на первом. Составим матрицу попарных сравнений для 2 уровня.
Метод анализа иерархии Саати
Целью построений является получение приоритетов элементов на последнем уровне, наилучшим образом отражающих относительное воздействие на вершину иерархии.
После иерархического или сетевого воспроизведения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них?
В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их взаимодействию на общую для них характеристику. Когда проблемы представлены иерархически, составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подобные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня.
Для проведения субъективных парных суждений разработана шкала. Эта шкала оказалась эффективной не только во многих приложениях, ей правомочность доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами.
Шкала относительной важности
Интенсивность относительной важности | Определение | Объяснение |
Равная важность | Равный вклад двух видов деятельности в цель | |
Умеренное превосходство одного над другим | Опыт и суждения дают легкое превосходство одному виду деятельности над другим | |
Существенное или сильное превосходство | Опыт и суждения дают сильное превосходство одному виду деятельности вал другим | |
Значительно превосходство | Одному виду деятельности дается настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным | |
Очень сильное превосходство | Очевидность превосходства одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно | |
2, 4, 6, 8 | Промежуточные решения между двумя соседними суждениями | Применяются в компромиссном случае |
Обратные величины, приведенных выше чисел | Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3). то при сравнении второго вида деятельности с первым получим обратную величину (т е. 1/3) |
Для заполнения матриц по критериям для школ А, Б, В дадим их характеристики:
Теперь перейдем к парным сравнениям элементов на нижнем уровне. Сравниваемые попарно элементы - это возможные варианты выбора места отдыха. Получаем семь матриц суждений размерностью 3X3, поскольку имеется семь критериев на втором уровне и три дома, которые попарно сравниваются по каждому из критериев. Матрицы вновь содержат суждения студентки. Для того чтобы понять суждения, дадим краткое описание мест отдыха.
Для выявления меры удовлетворения кандидата школой сначала следует перечислить важнейшие критерии, характеризующие школы, и вычислить сравнительную желательность этих критериев для кандидата. Желательность будет меняться от одного кандидата к другому.
Школа А – эта школа для получения качественного образования и хорошей подготовки для поступления в высшее учебное заведение. В школе существует 5 классов с различным уклоном. Меню в столовой предполагает двухразовое питание учащихся. В школе множество различных кружков и секций, что создает в школе дружескую атмосферу и возможность проявить свои таланты в творчестве и спорте.
Школа Б – эта школа активно участвует во всех общественных делах, проводит мероприятия в рамках города. Есть столовая. В этой школе 2 класса с уклонами. Есть кружок экологов. Средняя подготовка к ВУЗу. Нет возможности получить дополнительное образование.
Школа В – эта обычная школа, где можно получить среднее образования, по окончании которого выдается аттестат. Школа участвуют во всех проводимых мероприятиях. Есть столовая. Созданы условия, чтобы классы были дружными. В данной школе нет профильного разделения и все классы универсальные.
Индекс согласованности для каждой матрицы и для всей иерархии можно приближенно вычислить следующим образом:
1) Сначала суммируется каждый столбец суждений.
2) Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов.
3) Полученные числа суммируются.
Таким образом, получим величину λ max . Для индекса согласованности имеем формулу ИС = , где n - число сравниваемых элементов.
Запишем таблицу средних значений согласованности для случайных матриц разного порядка:
Из группы матриц парных сравнений формируем набор локальных приоритетов, которые выражают относительные влияние множества элементов. Каждая из этих матриц обладает свойством обратной симметричности. Для каждой матрицы необходимо вычислить собственные вектора. Затем нормализовать их к единице, тем самым будет получен вектор приоритетов.
Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для каждой матрицы:
1) Для первой матрицы УЧЁБА мы нашли:
Учёба | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
А | 0,6370 | 2,4662 | 3,0385 | 0,0193 | 0,0332 | |||
Б | 1/3 | 0,2583 | 1,0000 | |||||
В | 1/5 | 1/3 | 0,1047 | 0,4055 | ||||
Cумма S: | 1,5333 | 4,3333 | 9,0000 | 1,0000 | 3,8717 |
Среднее геометрическое находится по формуле:
А: a= = =2,4662
Б: = =1
В: c = = =0,4055
S(cр.геом.)= a+b+c =2,4662+1+0,4055=3,8717
Вектор находится по формуле:
х1 =a/S=2,4662/3,8717=0,6370
x2=b/S=1/3,8717=0,2583
x3=c/S=0,4055/3,8717=0,1047
1 .
Проверим:
х1+ х2+ х3=0,6370+0,2583+0,1047=1
Чтобы найти λ, нужно сумму столбца А умножить на соответствующий вектор А, сумму столбца Б умножить на соответствующий вектор Б и сумму столбца В умножить на с вектор В:
λ=1,5333* 0,6370+4,3333* 0,2583+0,1047*9=3,0385
ИС = = = =0,0193
n =3- число сравниваемых элементов
ОС = = =0,0332=3%
Чтобы найти случайную согласованность, нужно воспользоваться таблицей. Случайная согласованность, для n=3 равна 0,58.
Остальные матрицы вычисляются аналогично первой матрице.
2) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы для второй матрицы ДРУЗЬЯ :
Друзья | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
А | 0,7450 | 3,3019 | 3,0536 | 0,0268 | 0,0462 | |||
Б | 1/6 | 0,1564 | 0,6934 | |||||
В | 1/6 | 1/2 | 0,0986 | 0,4368 | ||||
Cумма S: | 1,3333 | 7,5000 | 9,0000 | 1,0000 | 4,4321 |
λ= 3,0536
3) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицыШКОЛЬНАЯ ЖИЗНЬ:
Школьная жизнь | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
А | 1/3 | 0,2906 | 1,1006 | 3,1356 | 0,0678 | 0,1169 | ||
Б | 0,6046 | 2,2894 | ||||||
В | 1/4 | 1/4 | 0,1048 | 0,3969 | ||||
Cумма S: | 4,2500 | 1,5833 | 9,0000 | 1,0000 | 3,7869 |
λ= 3,1356
4) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ:
Дополни- тельное обучение | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
А | 0,7504 | 3,4760 | 3,0999 | 0,0500 | 0,0861 | |||
Б | 1/7 | 1/3 | 0,0782 | 0,3625 | ||||
В | 1/6 | 0,1713 | 0,7937 | |||||
Cумма S: | 1,3095 | 11,0000 | 7,3333 | 1,0000 | 4,6322 |
λ= 3,0999
5) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПОДГОТОВКА К ВУЗу:
Подготовка к ВУЗу | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
А | 0,0953 | 0,3816 | 3,0183 | 0,0091 | 0,0158 | |||
Б | 1/3 | 0,2499 | 1,0000 | |||||
В | 1/6 | 1/3 | 0,6548 | 2,6207 | ||||
Cумма S: | 10,000 | 4,333 | 1,500 | 1,000 | 4,002 |
λ= 3,0183
6) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПИТАНИЕ:
Питание | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
А | 0,7396 | 3,2711 | 3,0142 | 0,0071 | 0,0122 | |||
Б | 1/5 | 0,1666 | 0,7368 | |||||
В | 1/7 | 1/2 | 0,0938 | 0,4149 | ||||
Cумма S: | 1,3429 | 6,5000 | 10,0000 | 1,0000 | 4,4228 |
λ= 3,0142
7) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ШКОЛЬНЫЕ КРУЖКИ:
Школьные кружки | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
А | 0,6738 | 2,7144 | 3,0858 | 0,0429 | 0,0739 | |||
Б | 1/5 | 1/3 | 0,1007 | 0,4055 | ||||
В | 1/4 | 0,2255 | 0,9086 | |||||
Cумма S: | 1,4500 | 9,0000 | 5,3333 | 1,0000 | 4,0285 |
λ= 3,0858
И найдем результаты для последней матрицы n=7
λ= 7,8108
ИС=(7,8108-7)/6=0,1351
ОС=0,1351/1,32=0,1023=10%
Среднее геометрическое находится по формуле в Excel ->функция
f(x)->СРГЕОМ, выделяем каждую строку матрицы и задаем эту функцию, получится результат:
a+b+c+d+e+f+g=9,71
Вектор находится по формуле:
В сумме векторов должна получиться 1 .
n =7- число сравниваемых элементов
CC находим по таблице случайной согласованности, где для n=7 СС=1,32.
Явным лидером по критерию учеба являетсяшкола А .
По критериюшкольная жизнь превосходит остальные учебные заведения школа Б.
Школа В – обычная школа, во многом уступающая от школ А и Б.
Следующим этапом является применение принципа синтеза. Для определения главных приоритетов в матрице локальные приоритеты располагаются по отношению к каждому критерию. Каждый столбец векторов умножается на приоритет соответствующего критерия, и результат складывается вдоль каждой строки.
ШКОЛА | Учёба | Друзья | Школь-ная жизнь | Профес-сиональное обучение | Подго- товка к ВУЗу | Школьные кружки | Пита-ние |
0,4495 | 0,179 | 0,1288 | 0,0693 | 0,0823 | 0,0453 | 0,0458 | |
А | 0,637 | 0,745 | 0,2906 | 0,7504 | 0,0953 | 0,6738 | 0,7396 |
Б | 0,2583 | 0,1564 | 0,6046 | 0,0782 | 0,2499 | 0,1007 | 0,1666 |
В | 0,1047 | 0,0986 | 0,1048 | 0,1713 | 0,6548 | 0,2255 | 0,0938 |
Для школы А имеем : 0,4495*0,637+0,745*0,179+0,2906*0,1288+ +0,7504*0,0693+0,0953*0,0823+0,6738*0,0453+0,7396*0,0458=0,578
Для школы Б имеем : 0,4495*0,2583+0,1564*0,179+0,6046*0,1288+ +0,0782*0,0693+0,2499*0,0823+0,1007*0,0453+0,1666*0,0458=0,262
Для школы В имеем: 0,4495*0,1047+0,0986*0,179+0,1048*0,1288+ +0,1713*0,0693+0,6548*0,0823+0,2255*0,0453+0,0938*0,0458=0,161
Проанализировав данные 3 школ, пришли к выводу, что наиболее перспективной школой для ученика 10 класса является школа А, т.к. эта школа является образцовым для получения качественного образования и хорошей подготовки для поступления в высшее учебное заведение, чем школы Б и В. Хотя школа
Школа А, которая была наименее желательна с точки зрения школьной жизни, оказалась победителем. Именно туда ученик 10 класса и пойдет учиться.
При анализе можно убедиться, что исход не был удивительным, если принять во внимание тот факт, что Школа А превосходила остальные школы по пяти из семи критериев.
Заключение
Конечно, есть моменты, когда могут действовать политические пристрастия, скрытые «домашние заготовки», раскол и другие мотивы. В этом случае взаимодействие и сотрудничество в группе затрудняются. Мы сталкивались с такими проблемами на практике при использовании метода анализа иерархии (МАИ). Наше заключение таково, что МАИ является мощным средством для тех, кто хочет оценить как свои стратегии, так и стратегии своих оппонентов. Тех, кто не желает участвовать в процессе, нельзя заставить, однако их иногда можно убедить. Процесс движется быстрее, если участники имеют общие цели, долговременный близкий контакт, работу в климате социального одобрения и одинаковый статус.
Последним замечанием является то, что взаимодействие не похоже на брак, о котором люди склонны иметь романтические представления, однако после вступления в него они сталкиваются с множеством трений, ссор и разногласий. Тем не менее, в общем, жизнь продолжается, и имеются фундаментальные точки согласия и общие потребности, которые удерживают людей друг с другом. Поэтому входить в процесс группового взаимодействия никто не должен со слишком большими надеждами и сильным предрасположением к правильности и порядку.
Метод анализа иерархий успешно применялся во многих областях, в частности: при разработке плана распределения энергии в промышленности или проектировании транспортной системы для Судана, в планировании будущего корпорации и измерении факторов окружающей среды на ее развитие; при построении сценариев высшего образования в США; при выдвижении кандидатов и в процессах выборов.
К сильным сторонам МАИ можно отнести то, что при определении иерархии обычно важную роль также играют знания лиц, производящих суждения для парных сравнений.
Оказалось, что использование МАИ стимулировало повышение уровня знаний о специфических проблемах планирования даже среди людей, которые имеют достаточно обширные познания и опыт в данной конкретной ситуации. Более того, проблема еще больше раскрывается, и накапливаются дополнительные знания.
Подход к измерениям с помощью МАИ допускает определенную степень несогласованности. Группа людей может принять решение при допустимой степени несогласованности для каждого из членов группы. В этом случае они не будут чувствовать, что их предпочтения были в значительной степени нарушены.
Метод анализа иерархий основан на следующих аксиомах: парных сравнений, обоснованной шкалы для перевода суждений в числа с помощью парных сравнений и обратносимметричных отношений, гомогенной кластеризации иерархических уровней, иерархической композиции путем взвешивания и сложения и, наконец, на аксиоме ожидании, которая отражает соответствие заложенных в иерархию элементов ожидаемым результатам. Из этих аксиом получено несколько теорем, которые превращают МАИ в математически обоснованный подход для получения шкал отношений при решении сложных проблем.
Список литературы
1. Саати Т., Керис К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ – М. Радио и связь, 1991 – 224 с: ил. – ISBN 5-256-0038-1
2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993 – 278 c.