КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, раздел теоретической физики, представляющий собой систему понятий и математический аппарат, необходимые для описания физических явлений, обусловленных существованием в природе наименьшего кванта действия h (Планка постоянной). Численное значение h = 6,62607∙10ˉ 34 Дж∙с (и другое, часто используемое значение ħ = h/2π = 1,05457∙10ˉ 34 Дж∙с) чрезвычайно мало, но тот факт, что оно конечно, принципиально отличает квантовые явления от всех других и определяет их основные особенности. К квантовым явлениям относятся процессы излучения, явления атомной и ядерной физики, физики конденсированных сред, химическая связь и др.

История создания квантовой механики. Исторически первым явлением, для объяснения которого в 1900 году было введено понятие кванта действия h, был спектр излучения абсолютно чёрного тела, т. е. зависимость интенсивности теплового излучения от его частоты v и температуры Т нагретого тела. Первоначально связь этого явления с процессами, происходящими в атоме, не была ясна; в то время не была общепризнанной и сама идея атома, хотя уже тогда были известны наблюдения, которые указывали на сложную внутриатомную структуру.

В 1802 У. Волластон обнаружил в спектре излучения Солнца узкие спектральные линии, которые в 1814 году подробно описал Й. Фраунгофер. В 1859 Г. Кирхгоф и Р. Бунзен установили, что каждому химическому элементу присущ индивидуальный набор спектральных линий, а швейцарский учёный И. Я. Бальмер (1885), шведский физик Й. Ридберг (1890) и немецкий учёный В. Ритц (1908) обнаружили в их расположении определённые закономерности. В 1896 году П. Зееман наблюдал расщепление спектральных линий в магнитном поле (эффект Зеемана), которое Х. А. Лоренц в следующем году объяснил движением электрона в атоме. Существование электрона экспериментально доказал в 1897 Дж. Дж. Томсон.

Существующие физические теории оказались недостаточными для объяснения законов фотоэффекта: оказалось, что энергия электронов, вылетающих из вещества при облучении его светом, зависит только от частоты света v, а не от его интенсивности (А. Г. Столетов, 1889; Ф. фон Ленард, 1904). Этот факт полностью противоречил общепринятой в то время волновой природе света, но естественно объяснялся в предположении, что свет распространяется в виде квантов энергии Е=hv (А. Эйнштейн, 1905), названных впоследствии фотонами (Г. Льюис, 1926).

В течение 10 лет после открытия электрона было предложено несколько моделей атома, не подкреплённых, однако, экспериментами. В 1909-11 Э. Резерфорд, изучая рассеяние α-частиц на атомах, установил существование компактного положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена практически вся масса атома. Эти эксперименты стали основой планетарной модели атома: положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Такая модель, однако, противоречила факту стабильности атома, поскольку из классической электродинамики следовало, что через время порядка 10 -9 с вращающийся электрон упадёт на ядро, потеряв энергию на излучение.

В 1913 году Н. Бор предположил, что стабильность планетарного атома объясняется конечностью кванта действия h. Он постулировал, что в атоме существуют стационарные орбиты, на которых электрон не излучает (первый постулат Бора), и выделил эти орбиты из всех возможных условием квантования: 2πmυr = nh, где m - масса электрона, υ - его орбитальная скорость, r - расстояние до ядра, n= 1,2,3,... - целые числа. Из этого условия Бор определил энергии E n = -me 4 /2ħ 2 n 2 (е - электрическbй заряд электрона) стационарных состояний, а также диаметр атома водорода (порядка 10 -8 см) - в полном соответствии с выводами кинетической теории материи.

Второй постулат Бора утверждал, что излучение происходит только при переходах электронов с одной стационарной орбиты на другую, причём частота излучения v nk переходов из состояния Е n в состояние E k равна v nk = (E k - Е n)/h (смотри Атомная физика). Теория Бора естественным образом объясняла закономерности в спектрах атомов, однако её постулаты находились в очевидном противоречии с классической механикой и теорией электромагнитного поля.

В 1922 году А. Комптон, изучая рассеяние рентгеновских лучей на электронах, установил, что падающий и рассеянный рентгеновские кванты энергии ведут себя как частицы. В 1923 Ч. Т. Р. Вильсон и Д. В. Скобельцын наблюдали электрон отдачи в этой реакции и тем самым подтвердили корпускулярную природу рентгеновских лучей (ядерного γ-излучения). Это, однако, противоречило опытам М. Лауэ, который ещё в 1912 году наблюдал дифракцию рентгеновских лучей и тем самым доказал их волновую природу.

В 1921 году немецкий физик К. Рамзауэр обнаружил, что при определённой энергии электроны проходят сквозь газы, практически не рассеиваясь, подобно световым волнам в прозрачной среде. Это было первое экспериментальное свидетельство о волновых свойствах электрона, реальность которых в 1927 году была подтверждена прямыми опытами К. Дж. Дэвиссона, Л. Джермера и Дж.П. Томсона.

В 1923 году Л. де Бройль ввёл понятие о волнах материи: каждой частице с массой m и скоростью υ можно сопоставить волну с длиной λ = h/mυ, точно так же как каждой волне с частотой v = с/λ можно сопоставить частицу с энергией Е = hv. Обобщение этой гипотезы, известное как корпускулярно-волновой дуализм, стало фундаментом и универсальным принципом квантовой физики. Суть его состоит в том, что одни и те же объекты исследования проявляют себя двояко: либо как частица, либо как волна - в зависимости от условий их наблюдения.

Соотношения между характеристиками волны и частицы были установлены ещё до создания квантовой механики: Е = hv (1900) и λ = h/mυ = h/р (1923), где частота v и длина волны λ - характеристики волны, а энергия Е и масса m, скорость υ и импульс р = mυ - характеристики частицы; связь между этими двумя типами характеристик осуществляется через постоянную Планка h. Наиболее отчётливо соотношения дуальности выражаются через круговую частоту ω = 2πν и волновой вектор k = 2π/λ:

Е = ħω, р = ħk.

Наглядная иллюстрация дуализма волна-частица представлена на рисунке 1: дифракционные кольца, наблюдаемые при рассеянии электронов и рентгеновских лучей, практически идентичны.

Квантовая механика - теоретический базис всей квантовой физики - была создана за неполных три года. В 1925 В. Гейзенберг, опираясь на идеи Бора, предложил матричную механику, которая к концу того же года приобрела вид законченной теории в трудах М. Борна, немецкого физика П. Йордана и П. Дирака. Основными объектами этой теории стали матрицы специального вида, которые в квантовой механике представляют физические величины классической механики.

В 1926 году Э. Шрёдингер, исходя из представлений Л. де Бройля о волнах материи, предложил волновую механику, где основную роль играет волновая функция квантового состояния, которая подчиняется дифференциальному уравнению 2-го порядка с заданными граничными условиями. Обе теории одинаково хорошо объясняли устойчивость планетарного атома и позволяли вычислить его основные характеристики. В том же году М. Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции, Шрёдингер (а также независимо В. Паули и др.) доказал математическую эквивалентность матричной и волновой механик, а Борн совместно с Н. Винером ввёл понятие оператора физической величины.

В 1927 году В. Гейзенберг открыл соотношение неопределённостей, а Н. Бор сформулировал принцип дополнительности. Открытие спина электрона (Дж. Уленбек и С. Гаудсмит, 1925) и вывод уравнения Паули, учитывающего спин электрона (1927), завершили логическую и расчётную схемы нерелятивистской квантовой механики, а П. Дирак и Дж. фон Нейман изложили квантовую механику как законченную концептуально независимую теорию на базе ограниченного набора понятий и постулатов, таких как оператор, вектор состояния, амплитуда вероятности, суперпозиция состояний и др.

Основные понятия и формализм квантовой механики. Основным уравнением квантовой механики является волновое уравнение Шрёдингера, роль которого подобна роли уравнений Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в электродинамике. В пространстве переменных х (координата) и t (время) оно имеет вид

где Н - оператор Гамильтона; его вид совпадает с оператором Гамильтона классической механики, в котором координата х и импульс р заменены на операторы х и р этих переменных, т. е.

где V(х) - потенциальная энергия системы.

В отличие от уравнения Ньютона, из которого находится наблюдаемая траектория х(t) материальной точки, движущейся в поле сил потенциала V(х), из уравнения Шрёдингера находят ненаблюдаемую волновую функцию ψ(х) квантовой системы, с помощью которой, однако, можно вычислить значения всех измеримых величин. Сразу же после открытия уравнения Шрёдингера М. Борн объяснил смысл волновой функции: |ψ(х)| 2 - это плотность вероятности, а |ψ(x)| 2 ·Δx - вероятность обнаружить квантовую систему в интервале Δх значений координаты х.

Каждой физической величине (динамической переменной классической механики) в квантовой механике сопоставляется наблюдаемая а и соответствующий ей эрмитов оператор Â, который в выбранном базисе комплексных функций |i> = f i (х) представляется матрицей

где f*(х) - функция, комплексно сопряжённая к функции f (х).

Ортогональным базисом в этом пространстве является набор собственных функций |n) = f n (х)), n = 1,2,3, для которых действие оператора Â сводится к умножению на число (собственное значение а n оператора Â):

Базис функций |n) нормирован условием при n = n’ , при n ≠ n’.

а число базисных функций (в отличие от базисных векторов трёхмерного пространства классической физики) бесконечно, причём индекс n может изменяться как дискретно, так и непрерывно. Все возможные значения наблюдаемой а содержатся в наборе {а n } собственных значений соответствующего ей оператора Â, и только эти значения могут стать результатами измерений.

Основным объектом квантовой механики является вектор состояния |ψ), который может быть разложен по собственным функциям |n) выбранного оператора Â:

где ψ n - амплитуда вероятности (волновая функция) состояния |n), а |ψ n | 2 равно весу состояния n в разложении |ψ), причем

т. е. полная вероятность найти систему в одном из квантовых состояний n равна единице.

В квантовой механике Гейзенберга операторы Â и соответствующие им матрицы подчиняются уравнениям

где |Â,Ĥ|=ÂĤ - ĤÂ - коммутатор операторов Â и Ĥ. В отличие от схемы Шрёдингера, где от времени зависит волновая функция ψ, в схеме Гейзенберга временная зависимость отнесена к оператору Â. Оба эти подхода математически эквивалентны, однако в многочисленных приложениях квантовой механики подход Шрёдингера оказался предпочтительнее.

Собственное значение оператора Гамильтона Ĥ есть полная энергия системы Е, не зависящая от времени, которая находится как решение стационарного уравнения Шрёдингера

Его решения подразделяются на два типа в зависимости от вида граничных условий.

Для локализованного состояния волновая функция удовлетворяет естественному граничному условию ψ(∞) = 0. В этом случае уравнение Шрёдингера имеет решение только для дискретного набора энергий Е n , n = 1,2,3,..., которым соответствуют волновые функции ψ n (r):

Примером локализованного состояния является атом водорода. Его гамильтониан Ĥ имеет вид

где Δ = ∂ 2 /∂х 2 + ∂ 2 /∂у 2 + ∂ 2 /∂z 2 - оператор Лапласа, е 2 /r - потенциал взаимодействия электрона и ядра, r - расстояние от ядра до электрона, а собственные значения энергии Е n , вычисленные из уравнения Шрёдингера, совпадают с уровнями энергии атома Бора.

Простейший пример нелокализованного состояния - свободное одномерное движение электрона с импульсом р. Ему соответствует уравнение Шрёдингера

решением которого является плоская волна

где в общем случае С = |С|exp{iφ} - комплексная функция, |С| и φ - её модуль и фаза. В этом случае энергия электрона Е = р 2 /2m, а индекс р решения ψ р (х) принимает непрерывный ряд значений.

Операторы координаты и импульса (и любой другой пары канонически сопряжённых переменных) подчиняются перестановочному (коммутационному) соотношению:

Общего базиса собственной функций для пар таких операторов не существует, а соответствующие им физические величины не могут быть определены одновременно с произвольной точностью. Из соотношения коммутации для операторов х̂ и р̂ следует ограничение на точность Δх и Δр определения координаты х и сопряжённого ей импульса р квантовой системы (соотношение неопределённостей Гейзенберга):

Отсюда, в частности, сразу следует вывод об устойчивости атома, поскольку соотношение Δх = Δр = 0, соответствующее падению электрона на ядро, в этой схеме запрещено.

Совокупность одновременно измеримых величин, характеризующих квантовую систему, представляется набором операторов

коммутирующих между собой, т. е. удовлетворяющих соотношениям А̂В̂ - В̂А̂ = А̂С̂ - С̂А̂ = В̂С̂ - С̂В̂ =... = 0. Для нерелятивистского атома водорода такой набор составляют, например, операторы: Ĥ (оператор полной энергии), (квадрат оператора момента) и (z-компонента оператора момента). Вектор состояния атома определяется как совокупность общих собственных функций ψ i (r) всех операторов

которые нумеруются набором {i} = (nlm) квантовых чисел энергии (n = 1,2,3,...), орбитального момента (l = 0,1, . . . , n - 1) и его проекции на ось z (m = -l,...,-1,0,1,...,l). Функции |ψ i (r)| 2 можно условно рассматривать как форму атома в различных квантовых состояниях i (так называемые силуэты Уайта).

Значение физической величины (наблюдаемая квантовая механика) определяется как среднее значение Ā соответствующего ей оператора Â:

Это соотношение справедливо для чистых состояний, т. е. для изолированных квантовых систем. В общем случае смешанных состояний мы всегда имеем дело с большой совокупностью (статистическим ансамблем) идентичных систем (например, атомов), свойства которой определяются путём усреднения по этому ансамблю. В этом случае среднее значение Ā оператора Â принимает вид

где р nm - матрица плотности (Л. Д. Ландау; Дж.фон Нейман, 1929) с условием нормировки ∑ n ρ пп = 1. Формализм матрицы плотности позволяет объединить квантовомеханическое усреднение по состояниям и статистическое усреднение по ансамблю. Матрица плотности играет важную роль также в теории квантовых измерений, суть которых всегда состоит во взаимодействии квантовой и классической подсистем. Понятие матрицы плотности является основой квантовой статистики и базисом для одной из альтернативных формулировок квантовой механики. Ещё одну форму квантовой механики, основанную на понятии континуального интеграла (или интеграла по траекториям), предложил Р. Фейнман в 1948 году.

Принцип соответствия . Квантовая механика имеет глубокие корни, как в классической, так и в статистической механике. Уже в своей первой работе Н. Бор сформулировал принцип соответствия, согласно которому квантовые соотношения должны переходить в классические при больших квантовых числах n. П. Эренфест в 1927 году показал, что с учётом уравнений квантовой механики среднее значение Ā оператора Â удовлетворяет уравнению движения классической механики. Теорема Эренфеста есть частный случай общего принципа соответствия: в пределе h → 0 уравнения квантовой механики переходят в уравнения классической механики. В частности, волновое уравнение Шрёдингера в пределе h → 0 переходит в уравнение геометрической оптики для траектории светового луча (и любого излучения) без учёта его волновых свойств. Представив решение ψ(х) уравнения Шрёдингера в виде ψ(х) = exp{iS/ħ}, где S = ∫ p(x)dx - аналог классического интеграла действия, можно убедиться, что в пределе ħ → 0 функция S удовлетворяет классическому уравнению Гамильтона - Якоби. Кроме того, в пределе h → 0 операторы х̂ и р̂ коммутируют и соответствующие им значения координаты и импульса могут быть определены одновременно, как это и предполагается в классической механике.

Наиболее существенные аналогии между соотношениями классической и квантовой механик для периодических движений прослеживаются на фазовой плоскости канонически сопряжённых переменных, например координаты х и импульса р системы. Интегралы типа ∮р(х)dx, взятые по замкнутой траектории (интегральные инварианты Пуанкаре), известны в предыстории квантовой механики как адиабатические инварианты Эренфеста. А. Зоммерфельд использовал их для описания квантовых закономерностей на языке классической механики, в частности для пространственного квантования атома и введения квантовых чисел l и m (именно он ввёл этот термин в 1915).

Размерность фазового интеграла ∮pdx совпадает с размерностью постоянной Планка h, и в 1911 году А. Пуанкаре и М. Планк предложили рассматривать квант действия h как минимальный объём фазового пространства, число n ячеек которого кратно h:n = ∮pdx/h. В частности, при движении электрона по круговой траектории с постоянным импульсом р из соотношения n = ∮р(х)dx/h = р ∙ 2πr/h сразу следует условие квантования Бора: mυr=nħ (П. Дебай, 1913).

Однако в случае одномерного движения в потенциале V(x) = mω 2 0 х 2 /2 (гармонический осциллятор с собственной частотой ω 0) из условия квантования ∮р(х)dx = nh следует ряд значений энергии Е n = ħω 0 n, в то время как точное решение квантовых уравнений для осциллятора приводит к последовательности Е n = ħω 0 (n + 1/2). Этот результат квантовой механики, впервые полученный В. Гейзенбергом, принципиально отличается от приближённого наличием нулевой энергии колебаний Е 0 = ħω 0 /2, которая имеет чисто квантовую природу: состояние покоя (х = 0, р = 0) в квантовой механике запрещено, поскольку оно противоречит соотношению неопределённостей Δх∙ Δр ≥ ħ/2.

Принцип суперпозиции состояний и вероятностная интерпретация. Основное и наглядное противоречие между корпускулярной и волновой картинами квантовых явлений удалось устранить в 1926 году, после того, как М. Борн предложил интерпретировать комплексную волновую функцию ψ n (x) = |ψ n (x)|·exp(iφ n) как амплитуду вероятности состояния n, а квадрат её модуля |ψ n (х)| 2 - как плотность вероятности обнаружить состояние n в точке х. Квантовая система может находиться в различных, в том числе альтернативных, состояниях, а её амплитуда вероятности равна линейной комбинации амплитуд вероятности этих состояний: ψ = ψ 1 + ψ 2 + ...

Плотность вероятности результирующего состояния равна квадрату суммы амплитуд вероятности, а не сумме квадратов амплитуд, как это имеет место в статистической физике:

Этот постулат - принцип суперпозиции состояний - один из важнейших в системе понятий квантовой механики; он имеет много наблюдаемых следствий. Одно из них, а именно прохождение электрона через две близко расположенные щели, обсуждается чаще других (рис. 2). Пучок электронов падает слева, проходит сквозь щели в перегородке и затем регистрируется на экране (или фотопластинке) справа. Если поочерёдно закрывать каждую из щелей, то на экране справа мы увидим изображение открытой щели. Но если открыть обе щели одновременно, то вместо двух щелей мы увидим систему интерференционных полос, интенсивность которых описывается выражением:

Последний член в этой сумме представляет интерференцию двух волн вероятности, пришедших в данную точку экрана из разных щелей в перегородке, и зависит от разности фаз волновых функций Δφ = φ 1 - φ 2 . В случае равных амплитуд |ψ 1 | = |ψ 2 |:

т. е. интенсивность изображения щелей в разных точках экрана меняется от 0 до 4|ψ 1 | 2 - в соответствии с изменением разности фаз Δφ от 0 до π/2. В частности, при этом может оказаться, что при двух открытых щелях на месте изображения одиночной щели мы не обнаружим никакого сигнала, что с корпускулярной точки зрения абсурдно.

Существенно, что эта картина явления не зависит от интенсивности пучка электронов, т. е. это не результат их взаимодействия между собой. Интерференционная картина возникает даже в пределе, когда электроны проходят через щели в перегородке поодиночке, т. е. каждый электрон интерферирует сам с собой. Такое невозможно для частицы, но вполне естественно для волны, например при её отражении или дифракции на препятствии, размеры которого сравнимы с её длиной. В этом опыте дуализм волна-частица проявляется в том, что один и тот же электрон регистрируется как частица, но распространяется как волна особой природы: это волна вероятности обнаружить электрон в какой-либо точке пространства. В такой картине процесса рассеяния вопрос: «Через какую из щелей прошёл электрон-частица?» теряет смысл, поскольку соответствующая ему волна вероятности проходит через обе щели сразу.

Другой пример, иллюстрирующий вероятностный характер явлений квантовой механики, - прохождение света через полупрозрачную пластинку. По определению, коэффициент отражения света равен отношению числа фотонов, отражённых от пластинки, к числу падающих. Однако это есть не результат усреднения большого числа событий, а характеристика, изначально присущая каждому фотону.

Принцип суперпозиции и концепция вероятности позволили осуществить непротиворечивый синтез понятий «волна» и «частица»: каждое из квантовых событий и его регистрация дискретны, но их распределение диктуется законом распространения непрерывных волн вероятности.

Туннельный эффект и резонансное рассеяние. Туннельный эффект - едва ли не самое известное явление квантовой физики. Он обусловлен волновыми свойствами квантовых объектов и только в рамках квантовой механики получил адекватное объяснение. Пример туннельного эффекта - распад ядра радия на ядро радона и α-частицу: Ra → Rn + α.

На рисунке 3 приведена схема потенциала α-распада V(r): α-частица колеблется с частотой v в «потенциальной яме» ядра с зарядом Z 0 , а покинув её, движется в отталкивающем кулоновском потенциале 2Ze 2 /r, где Z=Z 0 -2. В классической механике частица не может покинуть потенциальную яму, если её энергия Е меньше, чем высота потенциального барьера V мaкc . В квантовой механике вследствие соотношения неопределённостей частица с конечной вероятностью W проникает в подбарьерную область r 0 < r < r 1 и может «просочиться» из области r < r 0 в область r > r 1 аналогично тому, как свет проникает в область геометрической тени на расстояния, сравнимые с длиной световой волны. Используя уравнение Шрёдингера, можно вычислить коэффициент D прохождения α-частицы через барьер, который в квазиклассическом приближении равен:

Со временем число ядер радия N(t) убывает по закону: N(t) = N 0 exp{-t/τ}, где τ - среднее время жизни ядра, N 0 - начальное число ядер при t = 0. Вероятность α-распада W = vD связана со временем жизни соотношением W = l/τ, откуда следует закон Гейгера - Неттола:

где υ - скорость α-частицы, Z - заряд образовавшегося ядра. Экспериментально эта зависимость была обнаружена ещё в 1909 году, но только в 1928 Г. Гамов (и независимо английский физик Р. Гёрни и американский физик Э. Кондон) впервые объяснил её на языке квантовой механики. Тем самым было показано, что квантовая механика описывает не только процессы излучения и другие явления атомной физики, но также явления ядерной физики.

В атомной физике туннельный эффект объясняет явление автоэлектронной эмиссии. В однородном электрическом поле напряжённостью Е кулоновский потенциал V(r) = -е 2 /r притяжения между ядром и электроном искажается: V(r) = - е 2 /r - eEr, уровни энергии атома E nl m при этом смещаются, что приводит к изменению частот ν nk переходов между ними (эффект Штарка). Кроме того, качественно этот потенциал становится подобным потенциалу α-распада, вследствие чего возникает конечная вероятность туннелирования электрона через потенциальный барьер (Р. Оппенгеймер, 1928). При достижении критических значений Е барьер понижается настолько, что электрон покидает атом (так называемая лавинная ионизация).

Альфа-распад есть частный случай распада квазистационарного состояния, который тесно связан с понятием квантовомеханического резонанса и позволяет понять дополнительные аспекты нестационарных процессов в квантовой механике. Из уравнения Шрёдингера следует зависимость его решений от времени:

где Е - собственное значение гамильтониана Ĥ, которое для эрмитовых операторов квантовой механики действительно, а соответствующая ему наблюдаемая (полная энергия Е) не зависит от времени. Однако энергия нестационарных систем от времени зависит, и этот факт можно формально учесть, если энергию такой системы представить в комплексном виде: Е = Е 0 - iΓ/2. В этом случае зависимость волновой функции от времени имеет вид

а вероятность обнаружить соответствующее состояние убывает по экспоненциальному закону:

который совпадает по форме с законом α-распада с постоянной распада τ = ħ/Г.

В обратном процессе, например при столкновении ядер дейтерия и трития, в результате которого образуются гелий и нейтрон (реакция термоядерного синтеза), используется понятие сечения реакции σ, которое определяется как мера вероятности реакции при единичном потоке сталкивающихся частиц.

Для классических частиц сечение рассеяния на шарике радиусом r 0 совпадает с его геометрической сечением и равно σ = πr 0 2 . В квантовой механике оно может быть представлено через фазы рассеяния δl(k):

где k = р/ħ = √2mE/ħ - волновое число, l - орбитальный момент системы. В пределе очень малых энергий столкновения сечение квантового рассеяния σ = 4πr 0 2 в 4 раза превышает геометрическое сечение шарика. (Этот эффект - одно из следствий волновой природы квантовых явлений.) В окрестности резонанса при Е ≈ Е 0 фаза рассеяния ведёт себя как

а сечение рассеяния равно

где λ = 1/k, W(Е) - функция Брейта - Вигнера:

При малых энергиях рассеяния l 0 ≈ 0, а длина волны де Бройля λ значительно больше размеров ядер, поэтому при Е = Е 0 , резонансные сечения ядер σ рез ≈ 4πλ 0 2 могут в тысячи и миллионы раз превышать их геометрические сечения πr 0 2 . В ядерной физике именно от этих сечений зависит работа ядерного и термоядерного реакторов. В атомной физике это явление впервые наблюдали Дж. Франк и Г. Герц (1913) в опытах по резонансному поглощению электронов атомами ртути. В противоположном случае (δ 0 = 0) сечение рассеяния аномально мало (эффект Рамзауэра, 1921).

Функция W(Е) известна в оптике как лоренцевский профиль линии излучения и имеет вид типичной резонансной кривой с максимумом при Е = Е 0 , а ширина резонанса Г = 2∆Е = 2 (Е - Е 0) определяется из соотношения W(Е 0 ± ΔΕ) = W(Е 0)/2. Функция W(Е) носит универсальный характер и описывает как распад квазистационарного состояния, так и резонансную зависимость сечения рассеяния от энергии столкновения Е, а в явлениях излучения определяет естественную ширину Г спектральной линии, которая связана с временем жизни τ излучателя соотношением τ = ħ/Г. Это соотношение определяет также время жизни элементарных частиц.

Из определения τ = ħ/Г с учётом равенства Г = 2∆Е следует соотношение неопределённостей для энергии и времени: ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2, где ∆t ≥ τ. По форме оно аналогично соотношению ∆х ∙ ∆р ≥ ħ/2, однако онтологический статус этого неравенства другой, поскольку в квантовой механике время t не является динамической переменной. Поэтому соотношение ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2 не следует непосредственно из основных постулатов стационарной квантовой механики и, строго говоря, имеет смысл только для систем, энергия которых меняется во времени. Его физический смысл состоит в том, что за время ∆t энергия системы не может быть измерена точнее, чем величина ∆Е, определяемая соотношением ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2. Стационарное состояние (ΔЕ→0) существует бесконечно долго (∆t→∞).

Спин, тождественность частиц и обменное взаимодействие. Понятие «спин» утвердилось в физике трудами В. Паули, нидерландского физика Р. Кронига, С. Гаудсмита и Дж. Уленбека (1924-27), хотя экспериментальные свидетельства о его существовании были получены задолго до создания квантовой механики в опытах А. Эйнштейна и В. Й. де Хааза (1915), а также О. Штерна и немецкого физика В. Герлаха (1922). Спин (собственный механический момент частицы) для электрона равен S = ħ/2. Это такая же важная характеристика квантовой частицы, как и заряд и масса, которая, однако, не имеет классической аналогов.

Оператор спина Ŝ = ħσˆ/2, где σˆ= (σˆ х, σˆ у, σˆ z) - двумерные матрицы Паули, определён в пространстве двухкомпонентных собственных функций u = (u + , u -) оператора Ŝ z проекции спина на ось z: σˆ z u = σu, σ=±1/2. Собственный магнитный момент μ частицы с массой m и спином S равен μ = 2μ 0 S, где μ 0 = еħ/2mс - магнетон Бора. Операторы Ŝ 2 и Ŝ z коммутируют с набором Ĥ 0 L 2 и L z операторов атома водорода и вместе они формируют гамильтониан уравнения Паули (1927), решения которого нумеруются набором i = (nlmσ) квантовых чисел собственных значений совокуп̭ност̭и коммутирующих операторов Ĥ 0 , L 2 , L z , Ŝ 2 , Ŝ z . Эти решения описывают самые тонкие особенности наблюдаемых спектров атомов, в частности расщепление спектральных линий в магнитном поле (нормальный и аномальный эффект Зеемана), а также их мультиплетную структуру в результате взаимодействия спина электрона с орбитальным моментом атома (тонкая структура) и спином ядра (сверхтонкая структура).

В 1924, ещё до создания квантовой механики, В. Паули сформулировал принцип запрета: в атоме не может быть двух электронов с одним и тем же набором квантовых чисел i = (nlmσ). Этот принцип позволил понять структуру периодической системы химических элементов и объяснить периодичность изменения их химических свойств при монотонном увеличении заряда их ядер.

Принцип запрета есть частный случай более общего принципа, который устанавливает связь между спином частицы и симметрией её волновой функции. В зависимости от значения спина все элементарные частицы разделяются на два класса: фермионы - частицы с полуцелым спином (электрон, протон, μ-мезон и т.д.) и бозоны - частицы с нулевым или целым спином (фотон, π-мезон, К-мезон и т.д.). В 1940 Паули доказал общую теорему о связи спина со статистикой, из которой следует, что волновые функции любой системы фермионов обладают отрицательной чётностью (меняют знак при их попарной перестановке), а чётность волновой функции системы бозонов всегда положительна. В соответствии с этим существуют два типа распределений частиц по энергиям: распределение Ферми - Дирака и распределение Бозе - Эйнштейна, частным случаем которого является распределение Планка для системы фотонов.

Одно из следствий принципа Паули - существование так называемого обменного взаимодействия, которое проявляется уже в системе двух электронов. В частности, именно это взаимодействие обеспечивает ковалентную химическую связь атомов в молекулах Н 2 , N 2 , О 2 и т. п. Обменное взаимодействие - исключительно квантовый эффект, аналога такого взаимодействия в классической физике нет. Его специфика объясняется тем, что плотность вероятности волновой функции системы двух электронов |ψ(r 1 ,r 2)| 2 содержит не только члены |ψ n (r 1)| 2 |ψ m (r 2)| 2 , где n и m - квантовые состояния электронов обоих атомов, но также «обменные члены» ψ n * (r 1)ψ m * (r 1)ψ n (r 2)ψ m (r 2), возникающие как следствие принципа суперпозиции, который позволяет каждому электрону находиться одновременно в различных квантовых состояниях n и m обоих атомов. Кроме того, в силу принципа Паули, спиновая часть волновой функции молекулы должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов, т. е. химическая связь атомов в молекуле осуществляется парой электронов с противоположно направленными спинами. Волновая функция сложных молекул может быть представлена как суперпозиция волновых функций, соответствующих различным возможным конфигурациям молекулы (теория резонанса, Л. Полинг, 1928).

Развитые в квантовой механике методы расчёта (метод Хартри - Фока, метод молекулярных орбиталей и др.) позволяют вычислить на современных компьютерах все характеристики устойчивых конфигураций сложных молекул: порядок заполнения электронных оболочек в атоме, равновесные расстояния между атомами в молекулах, энергию и направление химических связей, расположение атомов в пространстве, а также построить потенциальные поверхности, которые определяют направление химических реакций. Такой подход позволяет также вычислить потенциалы межатомных и межмолекулярных взаимодействий, в частности силы Ван дер Ваальса, оценить прочность водородных связей и др. Тем самым проблема химической связи сводится к задаче расчёта квантовых характеристик системы частиц с кулоновским взаимодействием, и с этой точки зрения структурную химию можно рассматривать как один из разделов квантовой механики.

Обменное взаимодействие существенно зависит от вида потенциального взаимодействия между частицами. В частности, в некоторых металлах именно благодаря ему более устойчивым является состояние пар электронов с параллельными спинами, что объясняет явление ферромагнетизма.

Приложения квантовой механики. Квантовая механика - теоретический базис квантовой физики. Она позволила понять строение электронных оболочек атомов и закономерности в их спектрах излучения, структуру ядер и законы их радиоактивного распада, происхождение химических элементов и эволюцию звёзд, включая взрывы новых и сверхновых звёзд, а также источник энергии Солнца. Квантовая механика объяснила смысл периодической системы элементов, природу химической связи и строение кристаллов, теплоёмкость и магнитные свойства веществ, явления сверхпроводимости и сверхтекучести и др. Квантовая механика - физическая основа многочисленных технических приложений: спектрального анализа, лазера, транзистора и компьютера, ядерного реактора и атомной бомбы и т. д.

Свойства металлов, диэлектриков, полупроводников и других веществ в рамках квантовой механики также получают естественное объяснение. В кристаллах атомы совершают около положений равновесия малые колебания с частотой ω, которым сопоставляются кванты колебаний кристаллической решётки и соответствующие им квази-частицы - фононы с энергией Е = ħω. Теплоёмкость кристалла в значительной степени определяется теплоёмкостью газа его фононов, а его теплопроводность можно трактовать как теплопроводность фононного газа. В металлах электроны проводимости представляют собой газ фермионов, а их рассеяние на фононах является основной причиной электрического сопротивления проводников, а также объясняет подобие тепловых и электрических свойств металлов (смотри Видемана - Франца закон). В магнитоупорядоченных структурах возникают квазичастицы - магноны, которым соответствуют спиновые волны, в квантовых жидкостях возникают кванты вращательного возбуждения - ротоны, а магнитные свойства веществ определяются спинами электронов и ядер (смотри Магнетизм). Взаимодействие спинов электронов и ядер с магнитным полем - основа практических приложений явлений электронного парамагнитного и ядерного магнитного резонансов, в частности в медицинских томографах.

Упорядоченная структура кристаллов порождает дополнительную симметрию гамильтониана по отношению к сдвигу х → х + а, где а - период кристаллической решётки. Учёт периодической структуры квантовой системы приводит к расщеплению её энергетического спектра на разрешённые и запрещённые зоны. Такая структура уровней энергии лежит в основе работы транзисторов и всей базирующейся на них электроники (телевизор, компьютер, сотовый телефон и др.). В начале 21 века достигнуты существенные успехи в создании кристаллов с заданными свойствами и структурой энергетических зон (сверхрешётки, фотонные кристаллы и гетероструктуры: квантовые точки, квантовые нити, нанотрубки и др.).

При понижении температуры некоторые вещества переходят в состояние квантовой жидкости, энергия которой при температуре Т → 0 приближается к энергии нулевых колебаний системы. В некоторых металлах при низких температурах образуются куперовские пары - системы из двух электронов с противоположными спинами и импульсами. При этом электронный газ фермионов трансформируется в газ бозонов, что влечёт за собой бозе-конденсацию, которая объясняет явление сверхпроводимости.

При низких температурах длина волны де Бройля тепловых движений атомов становится сравнимой с межатомными расстояниями и возникает корреляция фаз волновых функций многих частиц, что приводит к макроскопическим квантовым эффектам (эффект Джозефсона, квантование магнитного потока, дробный квантовый эффект Холла, андреевское отражение).

На основе квантовых явлений созданы наиболее точные квантовые эталоны различных физических величин: частоты (гелий-неоновый лазер), электрического напряжения (эффект Джозефсона), сопротивления (квантовый эффект Холла) и т.д., а также приборы для различных прецизионных измерений: сквиды, квантовые часы, квантовый гироскоп и т.д.

Квантовая механика возникла как теория для объяснения специфических явлений атомной физики (её вначале так и называли: атомная динамика), но постепенно стало ясно, что квантовая механика образует также основу всей субатомной физики, и все её основные понятия применимы для описания явлений физики ядра и элементарных частиц. Первоначальная квантовая механика была нерелятивистской, то есть описывала движение систем со скоростями много меньшими скорости света. Взаимодействие частиц в этой теории по-прежнему описывалось в классических терминах. В 1928 П. Дирак нашёл релятивистское уравнение квантовой механики (уравнение Дирака), которое при сохранении всех её понятий учитывало требования теории относительности. Кроме того, был развит формализм вторичного квантования, который описывает рождение и уничтожение частиц, в частности рождение и поглощение фотонов в процессах излучения. На этой основе возникла квантовая электродинамика, которая позволила с большой точностью рассчитывать все свойства систем с электромагнитным взаимодействием. В дальнейшем она развилась в квантовую теорию поля, объединяющую в едином формализме частицы и поля, посредством которых они взаимодействуют.

Для описания элементарных частиц и их взаимодействий используются все основные понятия квантовой механики: остаётся справедливым дуализм волна-частица, сохраняется язык операторов и квантовых чисел, вероятностная трактовка наблюдаемых явлений и т.д. В частности, для объяснения взаимопревращения трёх типов нейтрино: v e , ν μ и ν τ (осцилляции нейтрино), а также нейтральных К-мезонов используется принцип суперпозиции состояний.

Интерпретация квантовой механики . Справедливость уравнений и заключений квантовой механики многократно подтверждена многочисленными опытами. Система её понятий, созданная трудами Н. Бора, его учеников и последователей, известная как «копенгагенская интерпретация», является ныне общепринятой, хотя ряд создателей квантовой механики (М. Планк, А. Эйнштейн и Э. Шрёдингер и др.) до конца жизни остались в убеждении, что квантовая механика - незавершённая теория. Специфическая трудность восприятия квантовой механики обусловлена, в частности, тем обстоятельством, что большая часть её основных понятий (волна, частица, наблюдение и т.д.) взяты из классической физики. В квантовой механике их смысл и область применимости ограничены в силу конечности кванта действия h, а это, в свою очередь, потребовало ревизии устоявшихся положений философии познания.

Прежде всего в квантовой механике изменился смысл понятия «наблюдение». В классической физике предполагали, что возмущения изучаемой системы, вызванные процессом измерения, могут быть корректно учтены, после чего можно восстановить исходное состояние системы, независимое от средств наблюдения. В квантовой механике соотношение неопределённостей ставит на этом пути принципиальный предел, который никак не связан с искусством экспериментатора и тонкостью используемых методов наблюдения. Квант действия h определяет границы квантовой механики, подобно скорости света в теории электромагнитных явлений или абсолютному нулю температур в термодинамике.

Причину неприятия соотношения неопределённостей и способ преодоления трудностей восприятия его логических следствий предложил Н. Бор в концепции дополнительности (смотри Дополнительности принцип). Согласно Бору, для полного и адекватного описания квантовых явлений необходима пара дополнительных понятий и соответствующая им пара наблюдаемых. Для измерения этих наблюдаемых необходимы два разных типа приборов с несовместимыми свойствами. Например, для точного измерения координаты нужен стабильный, массивный прибор, а для измерения импульса, наоборот, лёгкий и чувствительный. Оба эти прибора несовместимы, но они дополнительны в том смысле, что обе величины, измеряемые ими, равно необходимы для полной характеристики квантового объекта или явления. Бор объяснил, что «явление» и «наблюдение» - дополнительные понятия и не могут быть определены порознь: процесс наблюдения уже есть некое явление, а без наблюдения явление есть «вещь в себе». В действительности мы всегда имеем дело не с явлением самим по себе, а с результатом наблюдения явления, и результат этот зависит, в том числе от выбора типа прибора, используемого для измерения характеристик квантового объекта. Результаты таких наблюдений квантовая механика объясняет и предсказывает без всякого произвола.

Важное отличие квантовых уравнений от классических состоит также в том, что волновая функция квантовой системы сама не наблюдаема, а все величины, вычисленные с её помощью, имеют вероятностный смысл. Кроме того, понятие вероятности в квантовой механике в корне отличается от привычного понимания вероятности как меры нашего незнания деталей процессов. Вероятность в квантовой механике - это внутреннее свойство индивидуального квантового явления, присущее ему изначально и независимо от измерений, а не способ представления результатов измерений. В соответствии с этим принцип суперпозиции в квантовой механике относится не к вероятностям, а к амплитудам вероятности. Кроме того, в силу вероятностного характера событий суперпозиция квантовых состояний может включать в себя состояния, несовместимые с классической точки зрения, например состояния отражённого и прошедшего фотонов на границе полупрозрачного экрана или альтернативные состояния электрона, проходящего через любую из щелей в знаменитом интерференционном опыте.

Неприятие вероятностной трактовки квантовой механики породило массу попыток модифицировать основные положения квантовой механики. Одна из таких попыток - введение в квантовую механику скрытых параметров, которые изменяются в соответствии со строгими законами причинности, а вероятностный характер описания в квантовой механике возникает как результат усреднения по этим параметрам. Доказательство невозможности введения в квантовую механику скрытых параметров без нарушения системы её постулатов было дано Дж. фон Нейманом ещё в 1929 году. Более детальный анализ системы постулатов квантовой механики был предпринят Дж. Беллом в 1965 году. Экспериментальная проверка так называемых неравенств Белла (1972) ещё раз подтвердила общепринятую схему квантовой механики.

Ныне квантовая механика представляет собой законченную теорию, которая всегда даёт правильные предсказания в границах её применимости. Все известные попытки её модификации (их известно около десяти) не изменили её структуры, но положили начало новым отраслям наук о квантовых явлениях: квантовой электродинамике, квантовой теории поля, теории электрослабого взаимодействия, квантовой хромодинамике, квантовой теории гравитации, теории струн и суперструн и др.

Квантовая механика стоит в ряду таких достижений науки, как классическая механика, учение об электричестве, теория относительности и кинетическая теория. Ни одна физическая теория не объяснила такого широкого круга физических явлений природы: из 94 Нобелевских премий по физике, присуждённых в 20 веке, только 12 не связаны напрямую с квантовой физикой. Значение квантовой механики во всей системе знаний об окружающей природе выходит далеко за рамки учения о квантовых явлениях: она создала язык общения в современной физике, химии и даже биологии, привела к пересмотру философии науки и теории познания, а её технологические следствия до сих пор определяют направление развития современной цивилизации.

Лит.: Нейман И. Математические основы квантовой механики. М., 1964; Давыдов А. С. Квантовая механика. 2-е изд. М., 1973; Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М., 1979; Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 7-е изд. СПб., 2004; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 5-е изд. М., 2004; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика. 3-е изд. М., 2004; Пономарев Л. И. Под знаком кванта. 2-е изд. М., 2007; Фок В. А. Начала квантовой механики. 5-е изд. М., 2008.

Под квантовой механикой понимают физическую теорию динамического поведения форм излучения и вещества. Это на которой построена современная теория физических тел, молекул и элементарных частиц. Вообще, квантовая механика была создана учеными, которые стремились понять строение атома. В течении многих годов легендарные физики изучали особенности и направления химии и следовали историческому времени развития событий.

Такое понятие, как квантовая механика, зарождалось в течение долгих лет. В 1911 году ученые Н. Бор и предложили ядерную модель атома, которая напоминала модель Коперника с его солнечной системой. Ведь солнечная система имела в своем центре ядро, вокруг которого вращались элементы. На основе этой теории начались расчеты физических и химических свойств некоторых веществ, которые были построены из простых атомов.

Одним из важных вопросов в такой теории, как квантовая механика - это природа сил, которая связывала атом. Благодаря закону Кулона, Э. Резерфорд показал, что данный закон справедлив в огромных масштабах. Затем необходимо было определить, каким образом электроны движутся по своей орбите. В этом пункте помог

На самом деле, квантовая механика нередко противоречит таким понятиям, как здравый смысл. Наряду с тем, что наш здравый смысл действует и показывает только такие вещи, которые можно взять из повседневного опыта. А, в свою очередь, повседневный опыт имеет дело только с явлениями макромира и крупными объектами, в то время как материальные частицы на субатомном и атомарном уровне ведут себя совсем по-другому. Например, в макромире мы с легкостью способны определить нахождение любого объекта при помощи измерительных приборов и методов. А если мы будем измерять координаты микрочастицы электрона, то пренебречь взаимодействием объекта измерения и измерительного прибора просто недопустимо.

Другими словами можно сказать, что квантовая механика представляет собой физическую теорию, которая устанавливает законы движения различных микрочастиц. От классической механики, которая описывает движение микрочастиц, квантовая механика отличается двумя показателями:

Вероятный характер некоторых физических величин, например, скорость и положение микрочастицы определить точно невозможно, можно рассчитать только вероятность их значений;

Дискретное изменение например, энергия какой-либо микрочастицы имеет только определенные некоторые значения.

Квантовая механика еще сопряжена с таким понятием, как квантовая криптография , которая представляет собой быстроразвивающуюся технологию, способную изменить мир. Квантовая криптография направлена на то, чтобы защитить коммуникации и секретность информации. Основана эта криптография на определенных явлениях и рассматривает такие случаи, когда информация может переноситься при помощи объектом квантовой механики. Именно здесь с помощью электронов, фотонов и других физических средств определяется процесс приема и отправки информации. Благодаря квантовой криптографии можно создать и спроектировать систему связи, которая может обнаружить подслушивание.

На сегодняшний момент достаточно много материалов, где предлагается изучение такого понятия, как квантовая механика основы и направления, а также деятельности квантовой криптографии. Чтобы обрести знания в этой непростой теории, необходимо досконально изучать и вникать в эту область. Ведь квантовая механика - это далеко не легкое понятие, которое изучалось и доказывалось величайшими учеными многими годами.

Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк (см. Постоянная Планка) для описания взаимодействия света с атомами.

Квантовая механика часто противоречит нашим понятиям о здравом смысле. А всё потому, что здравый смысл подсказывает нам вещи, которые берутся из повседневного опыта, а в своем повседневном опыте нам приходится иметь дело только с крупными объектами и явлениями макромира, а на атомарном и субатомном уровне материальные частицы ведут себя совсем иначе. Принцип неопределенности Гейзенберга как раз и очерчивает смысл этих различий. В макромире мы можем достоверно и однозначно определить местонахождение (пространственные координаты) любого объекта (например, этой книги). Не важно, используем ли мы линейку, радар, сонар, фотометрию или любой другой метод измерения, результаты замеров будут объективными и не зависящими от положения книги (конечно, при условии вашей аккуратности в процессе замера). То есть некоторая неопределенность и неточность возможны — но лишь в силу ограниченных возможностей измерительных приборов и погрешностей наблюдения. Чтобы получить более точные и достоверные результаты, нам достаточно взять более точный измерительный прибор и постараться воспользоваться им без ошибок.

Теперь если вместо координат книги нам нужно измерить координаты микрочастицы, например электрона, то мы уже не можем пренебречь взаимодействиями между измерительным прибором и объектом измерения. Сила воздействия линейки или другого измерительного прибора на книгу пренебрежимо мала и не сказывается на результатах измерений, но чтобы измерить пространственные координаты электрона, нам нужно запустить в его направлении фотон, другой электрон или другую элементарную частицу сопоставимых с измеряемым электроном энергий и замерить ее отклонение. Но при этом сам электрон, являющийся объектом измерения, в результате взаимодействия с этой частицей изменит свое положение в пространстве. Таким образом, сам акт замера приводит к изменению положения измеряемого объекта, и неточность измерения обусловливается самим фактом проведения измерения, а не степенью точности используемого измерительного прибора. Вот с какой ситуацией мы вынуждены мириться в микромире. Измерение невозможно без взаимодействия, а взаимодействие — без воздействия на измеряемый объект и, как следствие, искажения результатов измерения.

О результатах этого взаимодействия можно утверждать лишь одно:

неопределенность пространственных координат × неопределенность скорости частицы > h /m ,

или, говоря математическим языком:

Δx × Δv > h /m

где Δx и Δv — неопределенность пространственного положения и скорости частицы соответственно, h — постоянная Планка , а m — масса частицы.

Соответственно, неопределенность возникает при определении пространственных координат не только электрона, но и любой субатомной частицы, да и не только координат, но и других свойств частиц — таких как скорость. Аналогичным образом определяется и погрешность измерения любой такой пары взаимно увязанных характеристик частиц (пример другой пары — энергия, излучаемая электроном, и отрезок времени, за который она испускается). То есть если нам, например, удалось с высокой точностью измерили пространственное положение электрона, значит мы в этот же момент времени имеем лишь самое смутное представление о его скорости, и наоборот. Естественно, при реальных измерениях до этих двух крайностей не доходит, и ситуация всегда находится где-то посередине. То есть если нам удалось, например, измерить положение электрона с точностью до 10 -6 м, значит мы одновременно можем измерить его скорость, в лучшем случае, с точностью до 650 м/с.

Из-за принципа неопределенности описание объектов квантового микромира носит иной характер, нежели привычное описание объектов ньютоновского макромира. Вместо пространственных координат и скорости, которыми мы привыкли описывать механическое движение, например шара по бильярдному столу, в квантовой механике объекты описываются так называемой волновой функцией. Гребень «волны» соответствует максимальной вероятности нахождения частицы в пространстве в момент измерения. Движение такой волны описывается уравнением Шрёдингера , которое и говорит нам о том, как изменяется со временем состояние квантовой системы.

Картина квантовых событий в микромире, рисуемая уравнением Шрёдингера, такова, что частицы уподобляются отдельным приливным волнам, распространяющимся по поверхности океана-пространства. Со временем гребень волны (соответствующий пику вероятности нахождения частицы, например электрона, в пространстве) перемещается в пространстве в соответствии с волновой функцией, являющейся решением этого дифференциального уравнения. Соответственно, то, что нам традиционно представляется частицей, на квантовом уровне проявляет ряд характеристик, свойственных волнам.

Согласование волновых и корпускулярных свойств объектов микромира (см. Соотношение де Бройля) стало возможным после того, как физики условились считать объекты квантового мира не частицами и не волнами, а чем-то промежуточным и обладающим как волновыми, так и корпускулярными свойствами; в ньютоновской механике аналогов таким объектам нет. Хотя и при таком решении парадоксов в квантовой механике всё равно хватает (см. Теорема Белла), лучшей модели для описания процессов, происходящих в микромире, никто до сих пор не предложил.

Квантовая механика - это механика микромира. Явления, которые она изучает, в основном лежат за пределами нашего чувственного восприятия, поэтому не следует удивляться кажущейся парадоксальности законов, управляющих этими явлениями.

Основные законы квантовой механики не удается сформулировать как логическое следствие результатов некоторой совокупности фундаментальных физических экспериментов. Иными словами, до сих пор неизвестна формулировка квантовой механики, основанная на системе проверенных на опыте аксиом. Более того, некоторые из основных положений квантовой механики принципиально не допускают опытной проверки. Наша уверенность в справедливости квантовой механики основана на том, что все физические результаты теории согласуются с экспериментом. Таким образом, на опыте проверяются только следствия из основных положений квантовой механики, а не ее основные законы. С этими обстоятельствами связаны, по-видимому, главные трудности, возникающие при первоначальном изучении квантовой механики.

Такого же характера, но, очевидно, гораздо большие трудности стояли перед создателями квантовой механики. Эксперименты со всей определенностью указывали на существование особых квантовых закономерностей в микромире, но ни в коей мере не подсказывали форму квантовой теории. Этим можно объяснить поистине драматическую историю создания квантовой механики и, в частности, тот факт, что первоначальные формулировки квантовой механики носили чисто рецептурный характер. Они содержали некоторые правила, позволяющие вычислять измеряемые на опыте величины, а физическое истолкование теории появилось после того, как в основном был создан ее математический формализм.

При построении квантовой механики в настоящем курсе мы не будем следовать историческому пути. Мы очень коротко опишем ряд физических явлений, попытки объяснить которые на основе законов классической физики приводили к непреодолимым трудностям. Далее мы попытаемся выяснить, какие черты описанной в предыдущих параграфах схемы классической механики должны сохраниться в механике микромира и от чего можно и нужно отказаться. Мы увидим, что отказ только от одного утверждения классической механики, а именно от утверждения, что наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве, позволит построить схему механики, описывающую системы с поведением, существенно отличным от классического. Наконец, в последующих параграфах мы убедимся, что построенная теория является более общей, чем классическая механика, и содержит последнюю как предельный случай.

Исторически первая квантовая гипотеза была выдвинута Планком в 1900 г. в связи с теорией равновесного излучения. Планку удалось получить согласующуюся с опытом формулу для спектрального распределения энергии теплового излучения, выдвинув предположение о том, что электромагнитное излучение испускается и поглощается дискретными порциями - квантами, энергия которых пропорциональна частоте излучения

где - частота колебаний в световой волне, - постоянная Планка.

Гипотеза Планка о световых квантах позволила Эйнштейну дать чрезвычайно простое объяснение закономерностей фотоэффекта (1905 г.). Явление фотоэффекта состоит в том, что под действием светового потока из металла выбиваются электроны. Основная задача теории фотоэффекта - найти зависимость энергии выбиваемых электронов от характеристик светового потока. Пусть V - работа, которую нужно затратить на выбивание электрона из металла (работа выхода). Тогда закон сохранения энергии приводит к соотношению

где Т - кинетическая энергия выбитого электрона. Мы видим, что эта энергия линейно зависит от частоты и не зависит от интенсивности светового потока. Кроме того, при частоте (красная граница фотоэффекта) явление фотоэффекта становится невозможным, так как . Эти выводы, основанные на гипотезе о световых квантах, полностью согласуются с опытом. В то же время по классической теории энергия вырванных электронов должна зависеть от интенсивности световых волн, что противоречит результатам экспериментов.

Эйнштейн дополнил представление о световых квантах, введя импульс светового кванта по формуле

Здесь k - так называемый волновой вектор, имеющий направление распространения световых волн; длина этого вектора k связана с длиной волны , частотой и скоростью света с соотношениями

Для световых квантов справедлива формула

являющаяся частным случаем формулы теории относительности

для частицы с массой покоя .

Заметим, что исторически первые квантовые гипотезы относились к законам излучения и поглощения световых волн, т. е. к электродинамике, а не к механике. Однако вскоре стало ясно, что не только для электромагнитного излучения, но и для атомных систем характерна дискретность значений ряда физических величин. Опыты Франка и Герца (1913 г.) показали, что при столкновениях электронов с атомами энергия электронов изменяется дискретными порциями. Результаты этих опытов можно объяснить тем, что энергия атомов может иметь только определенные дискретные значения. Позднее, в 1922 г. опыты Штерна и Герлаха показали, что аналогичным свойством обладает проекция момента количества движения атомных систем на некоторое направление. В настоящее время хорошо известно, что дискретность значений ряда наблюдаемых хотя и характерная, но не обязательная черта систем микромира. Так, например, энергия электрона в атоме водорода имеет дискретные значения, а энергия свободно движущегося электрона может принимать любые положительные значения. Математический аппарат квантовой механики должен быть приспособлен к описанию наблюдаемых, принимающих как дискретные, так и непрерывные значения.

В 1911 г. Резерфордом было открыто атомное ядро и предложена планетарная модель атома (опыты Резерфорда по рассеянию а-частиц на образцах из различных элементов показали, что атом имеет положительно заряженное ядро, заряд которого равен - номер элемента в таблице Менделеева, а - заряд электрона, размеры ядра не превышают сами атомы имеют линейные размеры порядка см). Планетарная модель атома противоречит основным положениям классической электродинамики. Действительно, двигаясь вокруг ядра по классическим орбитам, электроны, как всякие ускоренно движущиеся заряды, должны излучать электромагнитные волны. При этом электроны должны терять свою энергию и в конце концов упасть на ядро. Поэтому такой атом не может быть устойчивым, что, конечно, не соответствует действительности. Одна из основных задач квантовой механики - объяснить устойчивость и описать структуру атомов и молекул как систем, состоящих из положительно заряженных ядер и электронов.

Совершенно удивительным с точки зрения классической механики представляется явление дифракции микрочастиц. Это явление было предсказано де Бройлем в 1924 г., который предположил, что свободно движущейся частице с импульсом р

и энергией Е в каком-то смысле соответствует волна с волновым вектором k и частотой , причем

т. е. соотношения (1) и (2) справедливы не только для световых квантов, но и для частиц. Физическое истолкование волн де Бройля было дано позднее Борном, и мы его пока обсуждать не будем. Если движущейся частице соответствует волна, то независимо от того, какой точный смысл вкладывается в эти слова, естественно ожидать, что это проявится в существовании дифракционных явлений для частиц. Впервые дифракция электронов наблюдалась в опытах Девиссона и Джермера в 1927 г. Впоследствии явления дифракции наблюдались и для других частиц.

Покажем, что дифракционные явления несовместимы с классическими представлениями о движении частиц по траекториям. Рассуждение удобнее всего провести на примере мысленного эксперимента по дифракции пучка электронов на двух щелях, схема которого изображена на рис. 1. Пусть электроны от источника А двигаются к экрану Б и, проходя через щели и в нем, попадают на экран В.

Нас интересует распределение электронов по координате у, попадающих на экран В. Явления дифракции на одной и двух щелях хорошо изучены, и мы можем утверждать, что распределение электронов имеет вид а, изображенный на рис. 2, если открыта только первая щель, вид (рис. 2), - если открыта вторая и вид в, - если открыты обе щели. Если предположить, что каждый электрон двигался по определенной классической траектории, то все электроны, попавшие на экран В, можно разбить на две группы в зависимости от того, через какую щель они прошли. Для электронов первой группы совершенно безразлично, открыта ли вторая щель, и поэтому их

распределение на экране должно изображаться кривой а; аналогично электроны второй группы должны иметь распределение . Поэтому в случае, когда открыты обе щели, на экране должно получиться распределение, являющееся суммой распределений а и б. Такая сумма распределений не имеет ничего общего с интерференционной картиной в. Это противоречие показывает, что разделение электронов на группы по тому признаку, через какую щель они прошли, в условиях описанного эксперимента невозможно, а значит, мы вынуждены отказаться от понятия траектории.

Сразу же возникает вопрос, а можно ли так поставить эксперимент, чтобы выяснить, через какую щель проходил электрон. Разумеется, такая постановка эксперимента возможна, для этого достаточно поместить источник света между экранами и Б и наблюдать рассеяние световых квантов на электронах. Для того чтобы добиться достаточного разрешения, мы должны использовать кванты с длиной волны, по порядку не превосходящей расстояния между щелями, т. е. с достаточно большой энергией и импульсом. Наблюдая кванты, рассеянные на электронах, мы действительно сможем определить, через какую щель прошел электрон. Однако взаимодействие квантов с электронами вызовет неконтролируемое изменение их импульсов, а следовательно, распределение электронов, попавших на экран, должно измениться. Таким образом, мы приходим к выводу, что ответить на вопрос, через какую щель прошел электрон, можно только за счет изменения как условий, так и окончательного результата эксперимента.

На этом примере мы сталкиваемся со следующей общей особенностью поведения квантовых систем. Экспериментатор не имеет возможности следить за ходом эксперимента, так как это приводит к изменению его окончательного результата. Эта особенность квантового поведения тесно связана с особенностями измерений в микромире. Всякое измерение возможно только при взаимодействии системы с измерительным прибором. Это взаимодействие приводит к возмущению движения системы. В классической физике всегда предполагается, что

это возмущение может быть сделано сколь угодно малым, так же как и длительность процесса измерения. Поэтому всегда возможно одновременное измерение любого числа наблюдаемых.

Детальный анализ процесса измерения некоторых наблюдаемых для микросистем, который можно найти во многих учебниках по квантовой механике, показывает, что с увеличением точности измерения наблюдаемых воздействие на систему увеличивается и измерение вносит неконтролируемые изменения в численные значения некоторых других наблюдаемых. Это приводит к тому, что одновременное точное измерение некоторых наблюдаемых становится принципиально невозможным. Например, если для измерения координаты частицы использовать рассеяние световых квантов, то погрешность такого измерения имеет порядок длины волны света . Повысить точность измерения можно, выбирая кванты с меньшей длиной волны, а следовательно, с большим импульсом . При этом в численные значения импульса частицы вносится неконтролируемое изменение порядка импульса кванта. Поэтому погрешности измерения координаты и импульса связаны соотношением

Более точное рассуждение показывает, что это соотношение связывает только одноименные координату и проекцию импульса. Соотношения, связывающие принципиально возможную точность одновременного измерения двух наблюдаемых, называются соотношениями неопределенности Гейзенберга. В точной формулировке они будут получены в следующих параграфах. Наблюдаемые, на которые соотношения неопределенности не накладывают никаких ограничений, являются одновременно измеримыми. Мы увидим в дальнейшем, что одновременно измеримыми являются декартовы координаты частицы или проекции импульса, а неизмеримыми одновременно - одноименные координаты и проекция импульса или две декартовы проекции момента количества движения. При построении квантовой механики мы должны помнить о возможности существования неизмеримых одновременно величин.

Теперь после небольшого физического вступления попытаемся ответить на уже поставленный вопрос: какие особенности классической механики следует сохранить и от чего естественно отказаться при построении механики микромира. Основными понятиями классической механики были понятия наблюдаемой и состояния. Задача физической теории-предсказание результатов экспериментов, а эксперимент всегда есть измерение некоторой характеристики системы или наблюдаемой при определенных условиях, которые определяют состояние системы. Поэтому понятия наблюдаемой и состояния должны появиться

в любой физической теории. С точки зрения экспериментатора определить наблюдаемую - значит задать способ ее измерения. Наблюдаемые мы будем обозначать символами а, b, с,... и пока не будем делать никаких предположений об их математической природе (напомним, что в классической механике наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве). Множество наблюдаемых, как и прежде, мы будем обозначать через .

Разумно предположить, что условия эксперимента определяют по крайней мере вероятностные распределения результатов измерения всех наблюдаемых, поэтому определение состояния, данное в § 2, разумно сохранить. Состояния по-прежнему мы будем обозначать через соответствующую наблюдаемой а вероятностную меру на действительной оси через функцию распределения наблюдаемой а в состоянии через и, наконец, среднее значение наблюдаемой а в состоянии через .

Теория должна содержать определение функции от наблюдаемой. Для экспериментатора утверждение, что наблюдаемая b есть функция от наблюдаемой а означает, что для измерения b достаточно измерить а, и, если в результате измерения наблюдаемой а получится число , то численное значение наблюдаемой b есть . Для соответствующих а и вероятностных мер справедливо равенство

для любых состояний .

Заметим, что всевозможные функции от одной наблюдаемой а измеримы одновременно, так как для измерения этих наблюдаемых достаточно измерить наблюдаемую а. В дальнейшем мы увидим, что в квантовой механике этим примером исчерпываются случаи одновременной измеримости наблюдаемых, т. е. если наблюдаемые измеримы одновременно, то найдется такая наблюдаемая а и такие функции , что .

Среди множества функций наблюдаемой а, очевидно, определены , где - вещественное число. Существование первой из этих функций показывает, что наблюдаемые можно умножать на вещественные числа. Утверждение, что наблюдаемая есть константа подразумевает, что ее численное значение в любом состоянии совпадает с этой константой.

Попытаемся теперь выяснить, какой смысл можно придать сумме и произведению наблюдаемых. Эти операции были бы определены, если бы у нас было определение функции от двух наблюдаемых Здесь, однако, возникают принципиальные трудности, связанные с возможностью существования неизмеримых одновременно наблюдаемых. Если а и b

измеримы одновременно, то определение совершенно аналогично определению . Для измерения наблюдаемой достаточно измерить наблюдаемые а и b, и такое измерение приведет к численному значению , где - численные значения наблюдаемых а и b соответственно. Для случая неизмеримых одновременно наблюдаемых а и b не существует никакого разумного определения функции . Это обстоятельство заставляет нас отказаться от предположения, что наблюдаемые есть функции на фазовом пространстве , так как у нас есть физические основания считать q и р неизмеримыми одновременно и искать наблюдаемые среди математических объектов иной природы.

Мы видим, что определить сумму и произведение используя понятие функции от двух наблюдаемых, можно только в том случае, если они одновременно измеримы. Однако возможен другой подход, позволяющий ввести сумму в общем случае. Мы знаем, что вся информация о состояниях и наблюдаемых получается в результате измерений, поэтому разумно предположить, что состояний достаточно много, чтобы по ним можно было различать наблюдаемые, и аналогично наблюдаемых достаточно много, чтобы по ним можно было различать состояния.

Более точно мы предполагаем, что из равенства

справедливого для любого состояния а, следует, что наблюдаемые а и b совпадают а из равенства

справедливого для любой наблюдаемой а, следует, что совпадают СОСТОЯНИЯ и .

Первое из сделанных предположений дает возможность определить сумму наблюдаемых как такую наблюдаемую, для которой справедливо равенство

при любом состоянии а. Сразу заметим, что это равенство является выражением известной теоремы теории вероятностей о среднем значении суммы только в случае, когда наблюдаемые а и b имеют общую функцию распределения. Такая общая функция распределения может существовать (и в квантовой механике действительно существует) только для одновременно измеримых величин. В этом случае определение суммы по формуле (5) совпадает со сделанным прежде. Аналогичное определение произведения невозможно, так как среднее от произведения

не равно произведению средних даже для одновременно измеримых наблюдаемых.

Определение суммы (5) не содержит никакого указания на способ измерения наблюдаемой по известным способам измерения наблюдаемых а и b и в этом смысле является неявным.

Чтобы дать представление о том, насколько понятие суммы наблюдаемых может отличаться от обычного понятия суммы случайных величин, мы приведем пример наблюдаемой, которая будет подробно изучена в дальнейшем. Пусть

Наблюдаемая Н (энергия одномерного гармонического осциллятора) есть сумма двух наблюдаемых, пропорциональных квадратам импульса и координаты. Мы увидим, что эти последние наблюдаемые могут принимать любые неотрицательные численные значения, в то время как значения наблюдаемой Н должны совпадать с числами где , т. е. наблюдаемая Н с дискретными численными значениями является суммой наблюдаемых с непрерывными значениями.

Фактически все наши предположения сводятся к тому, что при построении квантовой механики разумно сохранить структуру алгебры наблюдаемых классической механики, но следует отказаться от реализации этой алгебры функциями на фазовом пространстве, так как мы допускаем существование неизмеримых одновременно наблюдаемых.

Наша ближайшая задача - убедиться в том, что существует реализация алгебры наблюдаемых, отличная от реализации классической механики. В следующем параграфе мы приведем пример такой реализации, построив конечномерную модель квантовой механики. В этой модели алгебра наблюдаемых есть алгебра самосопряженных операторов в -мерном комплексном пространстве . Изучая эту упрощенную модель, мы сумеем проследить за основными особенностями квантовой теории. В то же время, дав физическое толкование построенной модели, мы увидим, что она слишком бедна, чтобы соответствовать действительности. Поэтому конечномерную модель нельзя рассматривать как окончательный вариант квантовой механики. Однако усовершенствование этой модели - замена на комплексное гильбертово пространство будет представляться весьма естественным.

Отправить

Квантовая механика

Что такое квантовая механика?

Квантовая механика (КМ (QM); также известная как квантовая физика или квантовая теория), включая квантовую теорию поля, является областью физики, которая изучает законы природы, проявляющиеся на малых расстояниях и при малых энергиях атомов и субатомных частиц. Классическая физика - физика, существовавшая до квантовой механики, вытекает из квантовой механики как её предельный переход, справедливый только при больших (макроскопических) масштабах. Квантовая механика отличается от классической физики тем, что энергия, импульс и другие величины, часто ограничиваются дискретными значениями (квантование), объекты имеют характеристики и частиц, и волн (корпускулярно-волновой дуализм), и существуют ограничения на точность, с которой величины могут быть определены (принцип неопределенности).

Квантовая механика последовательно вытекает из решения Максом Планком в 1900 году задачи излучения черного тела (опубликовано в 1859 году) и работы Альберта Эйнштейна 1905 года, в которой была предложена квантовая теория для объяснения фотоэлектрического эффекта (опубликована в 1887 году). Ранняя квантовая теория, была глубоко переосмыслена в середине 1920-х годов.

Переосмысленная теория формулируется на языке специально разработанных математических формализмов. В одном из них, математическая функция (волновая функция) предоставляет информацию об амплитуде вероятности положения, импульса и других физических характеристиках частицы.

Важными областями применения квантовой теории являются: квантовая химия, сверхпроводящие магниты, светоизлучающие диоды, а также лазер, транзистор и полупроводниковые устройства, такие как микропроцессор, медицинские и исследовательские изображения, такие как магнитно-резонансная томография и электронная микроскопия, и объяснения многих биологических и физических явлений.

История квантовой механики

Научное исследование волновой природы света началось в XVII и XVIII веках, когда ученые Роберт Хук, Кристиан Гюйгенс и Леонард Эйлер предложили волновую теорию света, основанную на экспериментальных наблюдениях. В 1803 году Томас Янг, английский учёный широкого профиля, провел знаменитый эксперимент с двойной щелью, который он позже описал в работе, озаглавленной "Природа света и цветов". Этот эксперимент сыграл важную роль во всеобщем признании волновой теории света.

В 1838 году Майкл Фарадей открыл катодные лучи. За этими исследованиями последовала формулировка Густавом Кирхгофом проблемы излучения абсолютно черного тела в 1859 году, предположение Людвига Больцмана в 1877 году того, что энергетические состояния физической системы могут быть дискретными, и квантовая гипотеза Макса Планка в 1900 году. Гипотеза Планка о том, что энергия излучается и поглощается дискретным "квантом" (или энергетическими пакетами), точно соответствует наблюдаемым моделям излучения абсолютно черного тела.

В 1896 году Вильгельм Вин эмпирически определил закон распределения излучения абсолютно черного тела, названный в его честь, законом Вина. Людвиг Больцман самостоятельно пришел к этому результату, анализируя уравнения Максвелла. Однако закон действовал только на высоких частотах и занижал излучение на низких частотах. Позже Планк исправил эту модель с помощью статистической интерпретации термодинамики Больцмана и предложил то, что в настоящее время называется законом Планка, что привело к развитию квантовой механики.

После решения Максом Планком в 1900 году проблемы излучения черного тела (опубликовано 1859), Альберт Эйнштейн предложил квантовую теорию, чтобы объяснить фотоэлектрический эффект (1905, опубликовано 1887). В 1900-1910 годы атомная теория и корпускулярная теория света впервые стали широко признаваться в качестве научного факта. Соответственно, эти последние теории можно рассматривать как квантовые теории материи и электромагнитного излучения.

Среди первых изучавших квантовые явления в природе были Артур Комптон, Ч. В. Раман и Питер Зееман, в честь каждого из которых названы некоторые квантовые эффекты. Роберт Эндрюс Милликен исследовал фотоэффект экспериментально, а Альберт Эйнштейн разработал теорию для него. В то же время, Эрнест Резерфорд экспериментально обнаружил ядерную модель атома, по которой Нильс Бор разработал свою теорию строения атома, которая впоследствии была подтверждена опытами Генри Мозли. В 1913 году Петер Дебай расширил теорию Нильса Бора о строении атома, введя эллиптические орбиты, эту же концепцию также предложил и Арнольд Зоммерфельд. Этот этап развития физики известен под названием старая квантовая теория.

Согласно Планку, энергия (Е) кванта излучения пропорциональна частоте излучения (v):

где h - постоянная Планка.

Планк осторожно настаивал на том, что это просто математическое выражение процессов поглощения и испускания излучения и не имеет ничего общего с физической реальностью самого излучения. Фактически, он считал свою квантовую гипотезу математическим трюком, совершенным для того, чтобы получить правильный ответ, а не крупным фундаментальным открытием. Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн дал квантовой гипотезе Планка физическую интерпретацию и использовал ее для объяснения фотоэлектрического эффекта, при котором освещение светом определенных веществ может вызывать испускание электронов из вещества. За эту работу Эйнштейн получил Нобелевскую премию по физике 1921 года.

Эйнштейн затем доработал эту идею, чтобы показать, что электромагнитная волна, какой и является свет, также может быть описана как частица (позже названная фотоном), с дискретной квантовой энергией, которая зависит от частоты волны.

На протяжении первой половины 20-го века Максом Планком, Нильсом Бором, Вернером Гейзенбергом, Луи де Бройлем, Артуром Комптоном, Альбертом Эйнштейном, Эрвином Шредингером, Максом Борном, Джоном фон Нейманом, Полем Дираком, Энрико Ферми, Вольфгангом Паули, Максом фон Лауэ, Фрименом Дайсоном, Давидом Гильбертом, Вильгельмом Вином, Шать­енд­ра­натом Бозе, Арнольдом Зоммерфельдом и другими закладывались основы квантовой механики. Копенгагенская интерпретация Нильса Бора получила всеобщее признание.

В середине 1920-х годов развитие квантовой механики привело к тому, что она стала стандартной формулировкой для атомной физики. Летом 1925 года Бор и Гейзенберг опубликовали результаты, которые закрыли старую квантовую теорию. Из уважения к их частицеподобному поведению в определенных процессах и измерениях, кванты света стали называть фотонами (1926). Из простого постулата Эйнштейна зародился шквал обсуждений, теоретических построений и экспериментов. Таким образом, появились целые области квантовой физики, что привело к её широкому признанию на пятом Сольвеевском конгрессе в 1927 году.

Было установлено, что субатомные частицы и электромагнитные волны не являются ни просто частицами, ни волнами, а имеют определенные свойства каждой из них. Так возникло понятие корпускулярно–волнового дуализма.

К 1930 году квантовая механика была дополнительно унифицирована и сформулирована в работах Дэвида Гильберта, Поля Дирака и Джона фон Неймана, в которых уделялось большое внимание измерению, статистическому характеру наших знаний о реальности и философским размышлениям о "наблюдателе". Впоследствии она проникла во многие дисциплины, включая квантовую химию, квантовую электронику, квантовую оптику и квантовую информационную науку. Её теоретические современные разработки включают теорию струн и теории квантовой гравитации. Она также предоставляет удовлетворяющее объяснение многих особенностей современной периодической таблицы элементов и описывает поведение атомов при химических реакциях и движение электронов в компьютерных полупроводниках, и поэтому играет решающую роль во многих современных технологиях.

Хотя квантовая механика была построена для описания микромира, она также необходима для объяснения некоторых макроскопических явлений, таких как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

Что означает слово квант?

Слово квант происходит от латинского "quantum", что означает "насколько много" или "сколько". В квантовой механике квант означает дискретную единицу, закрепленную за определенными физическими величинами, такими как энергия атома в состоянии покоя. Открытие того, что частицы представляют собой дискретные пакеты энергии с волноподобными свойствами привело к созданию занимающегося атомными и субатомными системами раздела физики, который сегодня называют квантовой механикой. Она закладывает фундамент математической основы для многих областей физики и химии, в том числе физики конденсированных сред, физики твердого тела, атомной физики, молекулярной физики, вычислительной физики, вычислительной химии, квантовой химии, физики элементарных частиц, ядерной химии и ядерной физики. Некоторые фундаментальные аспекты теории до сих пор активно изучаются.

Значение квантовой механики

Квантовая механика имеет важное значение для понимания поведения систем в атомных и меньших масштабах расстояний. Если бы физическая природа атома описывалась исключительно классической механикой, то электроны не должны были вращаться вокруг ядра, так как орбитальные электроны должны испускать излучение (вследствие кругового движения) и в конечном итоге сталкиваться с ядром из-за потери энергии на излучение. Такая система не могла объяснить устойчивость атомов. Вместо этого электроны находятся в неопределенных, недетерминистических, размазанных, вероятностных корпускулярно-волновых орбиталях около ядра, вопреки традиционным представлениям классической механики и электромагнетизма.

Первоначально квантовая механика была разработана для лучшего объяснения и описания атома, особенно различий в спектрах света, излучаемых различными изотопами одного и того же химического элемента, а также описания субатомных частиц. Короче говоря, квантово-механическая модель атома оказалась поразительно успешной в той области, где классическая механика и электромагнетизм оказались беспомощны.

Квантовая механика включает в себя четыре класса явлений, которые классическая физика не может объяснить:

• квантование отдельных физических свойств
• квантовая запутанность
• принцип неопределенности
• корпускулярно-волновой дуализм

Математические основы квантовой механики

В математически строгой формулировке квантовой механики, разработанной Полем Дираком, Давидом Гильбертом, Джоном фон Нейманом и Германом Вейлем, возможные состояния квантово-механической системы символизируются единичными векторами (называемые векторы состояния). Формально они принадлежат комплексному сепарабельному гильбертову пространству - иначе, пространству состояний или связанному с ним гильбертову пространству системы, и определены с точностью до произведения на комплексное число с единичным модулем (фазовый множитель). Другими словами, возможные состояния являются точками в проективном пространстве гильбертова пространства, как правило, называемом комплексным проективным пространством. Точный характер этого гильбертова пространства зависит от системы - например, пространство состояний положения и импульса является пространством квадратно-интегрируемых функций, в то время как пространство состояний для спина одного протона является всего лишь прямым произведением двух комплексных плоскостей. Каждая физическая величина представлена ​​гипермаксимально эрмитовым (точнее: самосопряженным) линейным оператором, действующим на пространстве состояний. Каждое собственное состояние физической величины соответствует собственному вектору оператора, и связанное с ним собственное значение соответствует значению физической величины в этом собственном состоянии. Если спектр оператора является дискретным, физическая величина может принимать только дискретные собственные значения.

В формализме квантовой механики состояние системы в данный момент описывается сложной волновой функцией, также называемой вектором состояния в комплексном векторном пространстве. Данный абстрактный математический объект позволяет рассчитать вероятности исходов конкретных экспериментов. Например, позволяет вычислить вероятность нахождения электрона в определенной области вокруг ядра в определенное время. В отличие от классической механики, здесь никогда нельзя сделать одновременного предсказания с произвольной точностью для сопряженных переменных, таких как положение и импульс. Например, можно считать, что электроны (с некоторой вероятностью) находятся где-то в пределах заданной области пространства, но их точное местоположение неизвестно. Можно нарисовать вокруг ядра атома области постоянной вероятности, часто называемые «облаками», чтобы представлять, где электрон может находиться с наибольшей вероятностью. Принцип неопределенности Гейзенберга количественно оценивает неспособность точной локализации частицы с заданным импульсом, являющимся сопряженной к положению величиной.

Согласно одной из интерпретаций, в результате измерения волновая функция, содержащая информацию о вероятности состояния системы, распадается из заданного начального состояния до определенного собственного состояния. Возможными результатами измерения являются собственные значения оператора, представляющего физическую величину - что объясняет выбор эрмитового оператора, у которого все собственные значения являются действительными числами. Распределение вероятностей физической величины в данном состоянии, можно найти путем вычисления спектрального разложения соответствующего оператора. Принцип неопределенности Гейзенберга представляется формулой, в которой операторы, соответствующие определенным величинам не коммутируют.

Измерение в квантовой механике

Вероятностный характер квантовой механики, таким образом, вытекает из акта измерения. Это один из самых сложных для понимания аспектов квантовых систем, и он был центральной темой в знаменитых дебатах Бора с Эйнштейном, в ходе которых оба ученых попытались прояснить эти фундаментальные принципы посредством мысленных экспериментов. В течение десятилетий после формулирования квантовой механики широко изучался вопрос о том, что представляет собой "измерение". Новые интерпретации квантовой механики были сформулированы, чтобы покончить с понятием "коллапс волновой функции". Основная идея заключается в том, что когда квантовая система взаимодействует с измерительным аппаратом, их соответствующие волновые функции становятся запутанными, так что исходная квантовая система перестает существовать как самостоятельная сущность.

Вероятностный характер предсказаний квантовой механики

Как правило, квантовая механика не ставит в соответствие определенные значения. Вместо этого она делает предсказание, используя распределение вероятностей; то есть, она описывает вероятность получения возможных результатов от измерения физической величины. Часто эти результаты деформированы, как облака плотности вероятности, многими процессами. Облака плотности вероятности являются приближением (но лучшим, чем модель Бора), в котором расположение электрона задается функцией вероятности, волновыми функциями, соответствующими собственным значениям, таким образом, что вероятность является квадратом модуля комплексной амплитуды, или квантового состояния ядерного притяжения. Естественно, что эти вероятности будут зависеть от квантового состояния в "момент" измерения. Следовательно, неопределенность вносится в измеренное значение. Есть, однако, некоторые состояния, которые связаны с определенными значениями конкретной физической величины. Они называются собственными состояниями (eigenstates) физической величины ("eigen" можно перевести с немецкого как "присущий" или "свойственный").

Естественно и интуитивно понятно, что все в повседневной жизни (все физические величины) имеют собственные значения. Кажется, что всё имеет определенное положение, определенный момент, определенную энергию, и определенное время события. Однако квантовая механика не указывает точных значений положения и импульса частицы (поскольку это сопряженные пары) или ее энергии и времени (поскольку они тоже сопряженные пары); точнее, она предоставляет только диапазон вероятностей, с которыми эта частица может иметь заданный импульс и вероятность импульса. Поэтому целесообразно различать состояния, имеющие неопределенные значения, и состояния, имеющие определенные значения (собственные состояния). Как правило, мы не интересуемся системой, в которой частица не имеет собственного значения физической величины. Однако, при измерении физической величины, волновая функция мгновенно принимает собственное значение (или "обобщенное" собственное значение) этой величины. Этот процесс называют коллапсом волновой функции, спорный и много обсуждаемый процесс, в котором происходит расширение изучаемой системы добавлением в неё измерительного устройства. Если знать соответствующую волновую функцию непосредственно перед измерением, то можно вычислить вероятность того, что волновая функция перейдёт в каждое из возможных собственных состояний. Например, свободная частица в предыдущем примере, как правило, имеют волновую функцию, которая представляет собой волновой пакет, сосредоточенный вокруг некоторого среднего положения x0 (не имеющий собственных состояний положения и импульса). Когда происходит измерение положения частицы, то невозможно с уверенностью предсказать результат. Вполне вероятно, но не точно, что оно будет вблизи х0, где амплитуда волновой функции велика. После выполнения измерения, получив какой-то результат х, волновая функция коллапсирует в собственную функцию оператора положения с центром в х.

Уравнение Шредингера в квантовой механике

Временная эволюция квантового состояния описывается уравнением Шредингера, в котором гамильтониан (оператор, соответствующий полной энергии системы) порождает временную эволюцию. Временная эволюция волновых функций является детерминированной в том смысле, что - с учетом того, какой волновая функция была в начальный момент времени - можно сделать четкое предсказание того, какой будет волновая функция в любое время в дальнейшем.

С другой стороны, во время измерения, изменение исходной волновой функции в другую, более позднюю волновую функцию не будет являться детерминированным, а будет непредсказуемым (т. е. случайным). Эмуляцию временной эволюции можно увидеть здесь.

Волновые функции изменяются с течением времени. Уравнение Шредингера описывает изменение волновых функций во времени, и играет роль, аналогичную роли второго закона Ньютона в классической механике. Уравнение Шредингера, применяемое к вышеупомянутому примеру свободной частицы, предсказывает, что центр волнового пакета будет перемещаться по пространству с постоянной скоростью (как классическая частица в отсутствие сил, действующих на него). Тем не менее, волновой пакет также будет расплываться с течением времени, что означает, что позиция становится более неопределенной со временем. Это также имеет эффект превращения собственной функции положения (которую можно рассматривать как бесконечно острый пик волнового пакета) в расширенный волновой пакет, который больше не представляет (определенного) собственного значения положения.

Некоторые волновые функции порождают распределения вероятностей, которые являются постоянными или независимыми от времени - например, когда в стационарном состоянии с постоянной энергией время исчезает из модуля квадрата волновой функции. Многие системы, которые рассматриваются как динамические в классической механике, описываются в квантовой механике такими "статическими" волновыми функциями. Например, один электрон в невозбужденном атоме представляется классически как частица, движущаяся по круговой траектории вокруг атомного ядра, в то время как в квантовой механике он описывается статической, сферически симметричной волновой функцией, окружающей ядро ​​(рис. 1) (отметим, однако, что только самые низкие состояния орбитального момента импульса, обозначенные как s, являются сферически симметричными).

Уравнение Шредингера действует на всю амплитуду вероятности, а не только на ее абсолютное значение. В то время как в абсолютное значение амплитуды вероятности заложена информация о вероятностях, в ее фазу заложена информация о взаимовлиянии между квантовыми состояниями. Это порождает "волнообразное" поведение квантовых состояний. Как выясняется, аналитические решения уравнения Шредингера возможны только для очень небольшого числа гамильтонианов относительно простых моделей, таких как квантовый гармонический осциллятор, частица в ящике, ион молекулы водорода и атом водорода - это важнейшие представители таких моделей. Даже атом гелия, который содержит всего на один электрон больше, чем в атом водород, не поддался ни одной попытке чисто аналитического решения.

Однако существует несколько методов получения приближенных решений. В важном методе, известном как теория возмущений, используется аналитический результат, полученный для простой квантово-механической модели, и на его основе генерируется результат для более сложной модели, которая отличается от более простой модели (например) добавлением энергии слабого потенциального поля. Другим подходом является метод "квазиклассического приближения", который применяется к системам, для которых квантовая механика применяется только к слабым (малым) отклонениям от классического поведения. Затем эти отклонения можно вычислить на основе классического движения. Этот подход особенно важен при изучении квантового хаоса.

Математически эквивалентные формулировки квантовой механики

Существуют многочисленные математически эквивалентные формулировки квантовой механики. Одной из старейших и наиболее часто используемых формулировок является "теория преобразований", предложенная Полем Дираком, которая объединяет и обобщает две самые ранние формулировки квантовой механики - матричную механику (созданную Вернером Гейзенбергом) и волновую механику (созданную Эрвином Шредингером).

С учетом того, что Вернер Гейзенберг был удостоен Нобелевской премии по физике в 1932 году за создание квантовой механики, роль Макса Борна в развитии КМ была упущена из виду до вручения ему Нобелевской премии в 1954 году. Эта роль упоминается в биографии Борна 2005 года, в которой рассказывается о его роли в матричной формулировке квантовой механики, а также использовании амплитуд вероятности. В 1940 году сам Гейзенберг признает в юбилейном сборнике в честь Макса Планка, что узнал о матрицах от Борна. В матричной формулировке, мгновенное состояние квантовой системы определяет вероятности её измеримых свойств или физических величин. Примеры величин включают в себя энергию, положение, импульс и орбитальный момент. Физические величины могут быть либо непрерывными (например, положение частицы) или дискретными (например, энергия электрона, связанного с атомом водорода). Фейнмановские интегралы по траекториям - альтернативная формулировка квантовой механики, в которой квантовомеханическая амплитуда рассматривается как сумма по всем возможным классическим и неклассическим траекториям между начальным и конечным состояниями. Это квантово-механический аналог принципа наименьшего действия в классической механике.

Законы квантовой механики

Законы квантовой механики имеют основополагающее значение. Утверждается, что пространство состояний системы является гильбертовым, и физические величины этой системы являются эрмитовыми операторами, действующими в этом пространстве, хотя не говорится, какие именно эти гильбертовы пространства или какие именно эти операторы. Они могут быть выбраны соответствующим образом, чтобы получить количественную характеристику квантовой системы. Важным ориентиром для принятия этих решений является принцип соответствия, который гласит, что предсказания квантовой механики сводятся к классической механике, когда система переходит в область высоких энергий или, что то же самое, в область больших квантовых чисел, то есть в то время как отдельная частица обладает определенной степенью случайности, в системах, содержащих миллионы частиц, преобладают усредненные значения и, при устремлении к высокоэнергетическому пределу, статистическая вероятность случайного поведения стремится к нулю. Другими словами, классическая механика является просто квантовой механикой больших систем. Этот "высокоэнергетический" предел известен как классический или предел соответствия. Таким образом, решение можно даже начать с устоявшейся классической модели той или иной системы, и затем попытаться угадать базовую квантовую модель, которая породила бы такую классическую модель при переходу к пределу соответствия.

Когда квантовая механика была изначально сформулирована, она применялась к моделям, пределом соответствия которых была нерелятивистская классическая механика. Например, известная модель квантового гармонического осциллятора использует явно нерелятивистское выражение для кинетической энергии осциллятора и, таким образом, является квантовой версией классического гармонического осциллятора.

Взаимодействие с другими научными теориями

Ранние попытки объединить квантовую механику со специальной теорией относительности предусматривали замену уравнения Шредингера ковариантными уравнениеми, такими как уравнение Клейна-Гордона или уравнение Дирака. Хотя эти теории были успешными в объяснении многих экспериментальных результатов, они имели определенные неудовлетворительные качества, вытекающие из того, что в них не учитывалось релятивистское рождение и уничтожением частиц. Полностью релятивистская квантовая теория требовала развития квантовой теории поля, в которой применяется квантование поля (а не фиксированного набора частиц). Первая полноценная квантовая теория поля - квантовая электродинамика, обеспечивает полное квантовое описание электромагнитного взаимодействия. Полный аппарат квантовой теории поля часто не требуется для описания электродинамических систем. Более простой подход, применяемый с момента создания квантовой механики, заключается в том, чтобы рассматривать заряженные частицы как квантово-механические объекты, на которые действует классическое электромагнитное поле. Например, элементарная квантовая модель атома водорода описывает электрическое поле атома водорода, используя классическое выражение для кулоновского потенциала:

E2/(4πε0r)

Такой "квазиклассический" подход не работает, если квантовые флуктуации электромагнитного поля играют важную роль, например, при излучении фотонов заряженными частицами.

Также были разработаны квантовые теории поля для сильных и слабых ядерных сил. Квантовая теория поля для сильных ядерных взаимодействий называется квантовой хромодинамикой и описывает взаимодействие субядерных частиц, таких как кварки и глюоны. Слабые ядерные и электромагнитные силы были объединены в их квантованных формах в единую квантовую теорию поля (известная как теория электрослабого взаимодействия), физиками Абдусом Саламом, Шелдоном Глэшоу и Стивеном Вайнбергом. За эту работу все трое получили Нобелевскую премию по физике в 1979 году.

Трудно оказалось построить квантовые модели для четвертой оставшейся фундаментальной силы - гравитации. Выполнены полуклассические приближения, которые привели к предсказаниям, таким как излучение Хокинга. Тем не менее, формулировке полной теории квантовой гравитации мешают очевидные несовместимости между общей теорией относительности (которая является наиболее точной теорией гравитации, известной в настоящее время) и некоторыми из основных положений квантовой теории. Разрешение этих несовместимостей является направлением активных исследований и теорий, таких как теория струн - одна из возможных кандидатур на будущую теорию квантовой гравитации.

Классическая механика была также расширена в комплексную область, при этом комплексная классическая механика стала проявлять себя подобно квантовой механике.

Cвязь квантовой механики с классической механикой

Предсказания квантовой механики были подтверждены экспериментально с очень высокой степенью точности. Согласно принципу соответствия между классической и квантовой механиками, все объекты подчиняются законам квантовой механики, а классическая механика является лишь приближением для больших систем объектов (или статистической квантовой механикой для большого набора частиц). Таким образом, законы классической механики вытекают из законов квантовой механики как статистическое среднее при устремлении к очень большому предельному значению числа элементов системы или значений квантовых чисел. Однако в хаотических системах отсутствуют хорошие квантовые числа, и квантовый хаос изучает связь между классическим и квантовым описаниями этих систем.

Квантовая когерентность является существенным различием между классической и квантовой теориями, иллюстрируемая парадоксом Эйнштейна–Подольского–Розена (EPR) , она стала выпадом против известной философской интерпретации квантовой механики посредством обращения к локальному реализму. Квантовая интерференция предполагает сложение амплитуд вероятности, в то время как классические"волны" подразумевают сложение интенсивностей. Для микроскопических тел, протяженность системы значительно меньше, чем длина когерентности, что приводит к запутанности на далеких расстояниях и другим нелокальным явлениям, характерным для квантовых систем. Квантовая когерентность обычно не проявляется в макроскопических масштабах, хотя исключение из этого правила может возникать при крайне низких температурах (т. е. при приближении к абсолютному нулю), при которых квантовое поведение может проявляться в макроскопическом масштабе. Это находится в соответствии со следующими наблюдениями:

Многие макроскопические свойства классической системы являются прямым следствием квантового поведения его частей. Например, устойчивость основной части материи (состоящей из атомов и молекул, которые под действием одних лишь электрических сил быстро бы разрушались), жесткость твердых тел, а также механические, термические, химические, оптические и магнитные свойства материи являются результатом взаимодействия электрических зарядов в соответствии с правилами квантовой механики.

В то время как кажущееся "экзотическим" поведение материи, постулируемое квантовой механикой и теорией относительности, становится более очевидным при работе с частицами очень малого размера или при перемещении со скоростями, приближающимися к скорости света, законы классической, часто называемой "ньютоновской", физики остаются точными при прогнозировании поведения подавляющего числа "больших" объектов (порядка размера крупных молекул или ещё больших) и при скоростях гораздо меньших, чем скорость света.

В чем заключается отличие квантовой механики от классической?

Классическая и квантовая механика сильно отличаются тем, что они используют очень разные кинематические описания.

По устоявшемуся мнению Нильса Бора, для изучения квантово-механических явлений требуются эксперименты, с полным описанием всех устройств системы, подготовительного, промежуточного и конечного измерений. Описания представляются в макроскопических терминах, выраженных на обычном языке, дополненных понятиями классической механики. Начальные условия и конечное состояние системы соответственно описывается положением в конфигурационном пространстве, например, в пространстве кординат, или некотором эквивалентном пространстве, таком как импульсное пространстве. Квантовая механика не допускает полностью точного описания, как с точки зрения положения, так и импульса, точного детерминированного и причинно-следственного предсказания конечного состояния исходя из начальных условий или "состояния" (в классическом смысле этого слова). В этом смысле, пропагандируемом Бором в его зрелых трудах, квантовое явление - это процесс перехода от начального к конечному состоянию, а не мгновенное "состояние" в классическом смысле этого слова. Таким образом, существуют два вида процессов в квантовой механике: стационарные и переходные. Для стационарных процессов, начальное и конечное положение одинаковы. Для переходных - они различны. Очевидно по определению, что, если задано только начальное условие, то процесс не определен. Учитывая начальные условия, предсказание конечного состояния возможно, но только на вероятностном уровне, поскольку уравнение Шредингера детерминировано для эволюции волновой функции, а волновая функция описывает систему только в вероятностном смысле.

Во многих экспериментах можно принимать начальное и конечное состояние системы за частицу. В некоторых случаях оказывается, что существует потенциально несколько пространственно различимых путей или траекторий, по которым частица может переходить от начального к конечному состоянию. Важной особенностью квантового кинематического описания является то, что оно не позволяет однозначно определить, каким из этих путей производится переход между состояниями. Определены только начальные и конечные условия, и, как указано в предыдущем абзаце, они определены только с такой точностью, насколько это разрешает описание пространственной конфигурацией или её эквивалентом. В каждом случае, для которого необходимо квантовое кинематическое описание, всегда есть веская причина такого ограничения кинематической точности. Причина заключается в том, что для экспериментального нахождения частицы в определенном положении она должна быть неподвижной; для экспериментального нахождения частицы с определенным импульсом она должна находиться в свободном движении; эти два требования логически несовместимы.

Изначально классическая кинематика не требуют экспериментального описания её явлений. Это позволяет полностью точно описать мгновенное состояние системы положением (точкой) в фазовом пространстве - декартовом произведении конфигурационного и импульсного пространств. Это описание просто предполагает, или представляет себе состояние как физическую сущность, не беспокоясь о ее экспериментальной измеримости. Такое описание начального состояния вместе с законами движения Ньютона позволяет точно сделать детерминированное и причинно-следственное предсказание конечного состояния вместе с определенной траекторией эволюции системы. Для этого может быть использована гамильтоновская динамика. Классическая кинематика также позволяет описать процесс, аналогично описанию начального и конечного состояния, используемому квантовой механикой. Лагранжева механика позволяет это сделать. Для процессов, в которых необходимо учитывать величину действия порядка нескольких планковских констант, классическая кинематика не годится; здесь требуется использовать квантовую механику.

Общая теория относительности

Даже при том, что определяющие постулаты теории общей относительности и квантовой теории Эйнштейна безоговорочно подкрепляются строгими и повторяющимися эмпирическими доказательствами, и хотя они не противоречат друг другу теоретически (по крайней мере, в отношении своих первичных утверждений), их оказалось крайне трудно интегрировать в одну последовательную, единую модель.

Гравитацией можно пренебречь во многих областях физики элементарных частиц, так что объединение между общей теорией относительности и квантовой механикой не является насущным вопросом в этих частных приложениях. Однако, отсутствие правильной теории квантовой гравитации является важным вопросом в физической космологии и поиске физиками элегантной "Теории всего" (TВ). Следовательно, решение всех несоответствий между обеими теориями является одной из основных целей для физики 20 и 21 века. Многие видные физики, в том числе Стивен Хокинг, трудился на протяжении многих лет в попытке открыть теорию, лежащую в основе всего. Эта ТВ будет объединять не только разные модели субатомной физики, но и выводить четыре фундаментальные силы природы - сильное взаимодействие, электромагнетизм, слабое взаимодействие и гравитацию - из одной силы или явления. В то время как Стивен Хокинг изначально верил в ТВ, но после рассмотрения теорема Геделя о неполноте, он пришел к выводу, что создание такой теории неосуществимо, и заявил об этом публично в своей лекции "Гёдель и конец физики" (2002).

Основные теории квантовой механики

Стремление объединить фундаментальные силы с помощью квантовой механики все еще продолжается. Квантовая электродинамика (или "квантовый электромагнетизм"), которая в настоящее время (по крайней мере, в пертурбативном режиме) является наиболее точной проверенной физической теорией в соперничестве с общей теорией относительности, успешно объединяет слабые ядерные взаимодействия в электрослабое взаимодействие и в настоящее время ведется работа по объединению электрослабого и сильного взаимодействия в электросильное взаимодействие. Текущие прогнозы утверждают, что в районе 1014 ГэВ три вышеупомянутых силы сливаются в единое унифицированное поле. Помимо этой "грандиозной унификации", предполагается, что гравитацию можно объединить с другими тремя калибровочными симметриями, что, как ожидается, произойдёт на уровне примерно 1019 ГэВ. Однако - и в то время как специальная теория относительности бережно включена в квантовую электродинамику - расширенная общая теория относительности, в настоящее время лучшая теория, описывающая силы гравитации, не в полной мере включена в квантовую теорию. Один из тех, кто разрабатывает согласованную теорию всего, - Эдвард Виттен, - физик-теоретик, сформулировал М-теорию, которая представляет собой попытку изложить суперсимметрию на основе теории суперструн. М-теория предполагает, что наше видимое 4-мерное пространство - это на самом деле 11 - мерный пространственно-временной континуум, содержащий десять пространственных измерений и одно временное измерение, хотя 7 пространственных измерений при низких энергиях полностью "уплотнены" (или бесконечно изогнуты) и не легко поддаются измерению или исследованию.

Другая популярная теория петлевой квантовой гравитации (Loop quantum gravity (LQG)) - теория, впервые предложенная Карло Ровелли, которая описывает квантовые свойства гравитации. Она также является теорией квантового пространства и квантового времени, так как в общей теории относительности геометрические свойства пространства-времени являются проявлением гравитации. LQG - это попытка объединить и адаптировать стандартную квантовую механику и стандартную общую теорию относительности. Основным результатом теории является физическая картина, в которой пространство является зернистым. Зернистость является прямым следствием квантования. Она имеет тот же характер зернистости фотонов в квантовой теории электромагнетизме или дискретных уровней энергии атомов. Но здесь само пространство является дискретным. Точнее, пространство можно рассматривать как чрезвычайно тонкую ткань или сеть, "сотканную" из конечных петель. Эти петлевые сети называются спиновые сети. Эволюция спиновой сети во времени называется спиновой пеной. Прогнозируемый размер данной структуры является длиной Планка, что составляет приблизительно 1,616 × 10-35 м. Согласно теории, нет никакого смысла в более короткой длине, чем эта. Следовательно, LQG предсказывает, что не только материя, но и само пространство, имеет атомарную структуру.

Философские аспекты квантовой механики

С момента своего создания, многие парадоксальные аспекты и результаты квантовой механики вызвали бурные философские диспуты и множество интерпретаций. Даже фундаментальным вопросам, таким как основные правила Макса Борна относительно амплитуды вероятности и распределения вероятности, потребовались десятилетия, чтобы они могли быть оценены обществом и многими ведущими учеными. Ричард Фейнман однажды сказал: "Думаю, я могу смело утверждать, что никто не понимает квантовую механику. По словам Стивена Вайнберга, "сейчас, на мой взгляд, не существует абсолютно удовлетворительной интерпретации квантовой механики.

Копенгагенская интерпретация - во многом благодаря Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу - на протяжении 75 лет после её провозглашения остается наиболее приемлемой среди физиков. Согласно этой интерпретации вероятностный характер квантовой механики не является временной особенностью, которая в конечном итоге будет заменена детерминированной теорией, а должна рассматриваться как окончательный отказ от классической идеи "причинно-следственной связи". Кроме того считается, что в ней любые четко определенные применения квантово-механического формализма всегда должны делать ссылку на схему эксперимента из-за сопряженного характера доказательств, полученных в различных экспериментальных ситуациях.

Альберт Эйнштейн, будучи одним из основателей квантовой теории, сам не принял некоторые из более философских или метафизических интерпретаций квантовой механики, таких как отказ от детерминизма и причинно-следственной связи. Его самый цитируемый знаменитый ответ на такой подход звучит так: "Бог не играет в кости". Он отверг концепцию о том, что состояние физической системы зависит от экспериментальной измерительной установки. Он считал, что явления природы происходят по своим законам, независимо от того, происходит ли за ними наблюдение и каким образом. В этой связи его поддерживает принятое в настоящее время определение квантового состояния, которое остается инвариантным при произвольном выборе конфигурационного пространства для его представления, то есть способа наблюдения. Он также счел, что в основе квантовой механики должна лежать теория, которая тщательно и непосредственно выражает правило, отвергающее принцип дальнодействия; другими словами, он настаивал на принципе локальности. Он рассматривал, но теоретически обоснованно отклонил частное представление о скрытых переменных, чтобы избежать неопределенности или отсутствия причинно-следственных связей в квантово-механических измерениях. Он считал, что квантовая механика была в то время действующей, но не окончательной и не незыблемой теорией квантовых явлений. Он считал, что её будущая замена потребует глубоких концептуальных достижений, и что это произойдет не так быстро и легко. Дискуссии Бора-Эйнштейна дают яркую критику копенгагенской интерпретации с гносеологической точки зрения.

Джон Белл показал, что этот парадокс "EPR" приводил к экспериментально проверяемым различиям между квантовой механикой и теориями, которые опираются на добавление скрытых переменных. Проведены эксперименты, подтверждающие точность квантовой механики, тем самым демонстрируя, что квантовая механика не может быть улучшена путем добавления скрытых переменных. Первоначальные эксперименты Алена Аспекта в 1982 году и многие последующие эксперименты с тех пор окончательно подтвердили квантовую запутанность.

Запутанность, как показали белловские эксперименты, не нарушает причинно-следственных связей, поскольку никакой передачи информации не происходит. Квантовая запутанность формирует основу квантовой криптографии, которая предлагается для использования в высокобезопасных коммерческих приложениях в банковской и государственной сферах.

Многомировая интерпретация Эверетта, сформулированная в 1956 году, полагает, что все возможности, описываемые квантовой теорией, одновременно возникают в мультиверсе, состоящем, главным образом, из независимых параллельных вселенных. Это не достигается введением некоторой "новой аксиомы" в квантовую механику, а наоборот, достигается удалением аксиомы распада волнового пакета. Все возможные последовательные состояния измеряемой системы и измерительного устройства (включая наблюдателя) присутствуют в реальной физической - а не только в формальной математической, как в других интерпретациях - квантовой суперпозиции. Такая суперпозиция последовательных комбинаций состояний различных систем называется запутанным состоянием. В то время как мультиверс является детерминированным, мы воспринимаем недетерминированное поведение, случайного характера, поскольку можем наблюдать только ту вселенную (т. е. вклад совместимого состояния в вышеупомянутую суперпозицию), в которой мы, как наблюдатели, обитаем. Интерпретация Эверетта идеально согласуется с экспериментами Джона Белла и делает их интуитивно понятными. Однако, согласно теории квантовой декогеренции, эти "параллельные вселенные" никогда не будут доступны нам. Недоступность можно понимать следующим образом: как только измерение будет сделано, измеряемая система запутывается как с физиком, измерявшим её, так и с огромным количеством других частиц, некоторые из которых являются фотонами, улетающими со скоростью света к другому концу вселенной. Чтобы доказать, что волновая функция не распалась, необходимо вернуть все эти частицы обратно и измерить их снова вместе с системой, которая изначально была измерена. Это не только совершенно непрактично, но даже если теоретически можно было бы это сделать, то пришлось бы уничтожить любые доказательства того, что первоначальное измерение имело место (в том числе и память физика). В свете этих белловских экспериментов Крамер в 1986 году сформулировал свою транзакционную интерпретацию. В конце 1990-х годов появилась реляционная квантовая механика как современная производная копенгагенской интерпретации.

Квантовая механика имела огромный успех в объяснении многих особенностей нашей Вселенной. Квантовая механика часто является единственным доступным инструментом, способным выявить индивидуальное поведение субатомных частиц, составляющих все формы материи (электроны, протоны, нейтроны, фотоны и др.). Квантовая механика сильно повлияла на теорию струн - претендента на теорию всего (а Theory of Everything).

Квантовая механика также критически важна для понимания того, как индивидуальные атомы создают ковалентные связи для формирования молекул. Применение квантовой механики в химии называется квантовой химией. Релятивистская квантовая механика может, в принципе, математически описать большую часть химии. Квантовая механика также может дать количественное представление о процессах ионного и ковалентного связывания, явным образом показывая, какие молекулы к другим молекулам энергетически подходят и при каких величинах энергии. Кроме того, большинство расчетов в современной вычислительной химии опираются на квантовую механику.

Во многих отраслях современные технологии работают в масштабах, где квантовые эффекты значительно проявляются.

Квантовая физика в электронике

Многие современные электронные устройства разработаны с использованием квантовой механики. Например, лазер, транзистор (и таким образом микрочип), электронный микроскоп и магнитно-резонансная томография (МРТ). Изучение полупроводников привело к изобретению диода и транзистора, которые являются незаменимыми компонентами современных электронных систем, компьютерных и телекоммуникационных устройств. Ещё одно приложение - это светоизлучающий диод, который представляет собой высокоэффективный источник света.

Многие электронные устройства работают под действием квантового туннелирования. Оно даже присутствует в простом выключателе. Переключатель не сработал бы, если бы электроны не могли квантово тунеллировать через слой окисла на металлических контактных поверхностях. Чипы флэш-памяти, основной детали USB-накопителей, используют квантовое туннелирование, чтобы стирать информацию в своих ячейках. Некоторые устройства с отрицательным дифференциальным сопротивлением, такие как резонансный туннельный диод, также используют квантовый туннельный эффект. В отличие от классических диодов, ток в нём протекает под действием резонансного туннелирования через два потенциальных барьера. Его режим работы с отрицательным сопротивлением может быть объяснён только квантовой механикой: при приближении энергии состояния связанных носителей к уровню Ферми, туннельный ток возрастает. При отдалении от уровня Ферми, ток уменьшается. Квантовая механика имеет жизненно важное значение для понимания и разработки таких типов электронных устройств.

Квантовая криптография

Исследователи в настоящее время ищут надежные методы непосредственного манипулирования квантовыми состояниями. Предпринимаются усилия по полноценному развитию квантовой криптографии, которая теоретически позволит гарантировать безопасную передачу информации.

Квантовые вычисления

Более отдаленной целью является разработка квантовых компьютеров, которые, как ожидается, будут выполнять определенные вычислительные задачи экспоненциально быстрее классических компьютеров. Вместо классических битов, квантовые компьютеры используют кубиты, которые могут находиться в суперпозиции состояний. Другой активной темой исследования является квантовая телепортация, которая имеет дело с методами передачи квантовой информации на произвольные расстояния.

Квантовые эффекты

В то время как квантовая механика в первую очередь применяется к атомным системам с меньшим количеством вещества и энергии, некоторые системы демонстрируют квантово-механические эффекты в больших масштабах. Сверхтекучесть - способность движения потока жидкости без трения при температуре вблизи абсолютного нуля, является одним известным примером таких эффектов. Тесным образом связанно с этим явлением и явление сверхпроводимости - поток электронного газа (электрический ток), движущийся без сопротивления в проводящем материале при достаточно низких температурах. Дробный квантовый эффект Холла является топологическим упорядоченным состоянием, которое соответствует моделям квантового запутывания, действующего на большие расстояния. Состояния с различным топологическим порядком (или различной конфигурацией дальнедиапазонного запутывания) не могут вносить изменения в состояния друг в друга без фазовых превращений.

Квантовая теория

Квантовая теория также содержит точные описания многих ранее необъяснимых явлений, таких как излучение абсолютно черного тела и стабильность орбитальных электронов в атомах. Она также дала представление о работе многих различных биологических систем, в том числе обонятельных рецепторов и белковых структур. Недавнее исследование фотосинтеза показало, что квантовые корреляции играют важную роль в этом фундаментальном процессе, протекающем в растениях и многих других организмах. Тем не менее, классическая физика часто может обеспечить хорошие приближения к результатам, полученным квантовой физикой, как правило, в условиях большого количества частиц или больших квантовых чисел. Поскольку классические формулы гораздо проще и легче вычислять, чем квантовые формулы, использование классических аппроксимаций предпочтительнее, когда система достаточно велика, чтобы сделать эффекты квантовой механики незначительными.

Движение свободной частицы

Для примера, рассмотрим свободную частицу. В квантовой механике наблюдается корпускулярно–волновой дуализм, так что свойства частицы могут быть описаны как свойства волны. Таким образом, квантовое состояние может быть представлено в виде волны произвольной формы и простирающейся в пространстве в виде волновой функции. Положение и импульс частицы являются физическими величинами. Принцип неопределенности утверждает, что положение и импульс не могут одновременно быть точно измерены. Тем не менее, можно измерить положение (без измерения импульса) движущейся свободной частицы, создав собственное состояние положения с волновой функцией (дельта-функция Дирака), которая имеет очень большое значение в определенном положении х, и ноль в остальных положениях. Если выполнить измерение положения при такой волновой функции, то в результате х будет получен с вероятностью 100% (то есть, с полной уверенностью, или с полной точностью). Это называется собственное значение (состояние) положения или, указанного в математических терминах, собственное значение обобщенной координаты (eigendistribution). Если частица находится в собственном состоянии положения, то ее импульс абсолютно не определяем. С другой стороны, если частица находится в собственном состоянии импульса, то её положение совершенно неизвестно. В собственном состоянии импульса, собственная функция которого имеет форму плоской волны, можно показать, что длина волны равна h/p, где h - постоянная Планка, а р - импульс собственного состояния.

Прямоугольный потенциальный барьер

Это модель квантового туннельного эффекта, который играет важную роль в производстве современных технологических устройств, таких как флэш-память и сканирующий туннельный микроскоп. Квантовое туннелирование является центральным физическим процессом, протекающим в сверхрешетках.

Частица в одномерном потенциальном ящике

Частица в одномерном потенциальном ящике является самым простым математическим примером, в котором пространственные ограничения приводят к квантованию уровней энергии. Ящик определяется как наличие нулевой потенциальной энергии везде внутри определенной области и бесконечной потенциальной энергии всюду за пределами этой области.

Конечная потенциальная яма

Конечная потенциальная яма является обобщением задачи бесконечной потенциальной ямы, имеющей конечную глубину.

Задача конечной потенциальной ямы является математически более сложной, чем задача частицы в бесконечном потенциальном ящике, так как волновая функция не обращается в нуль на стенках ямы. Вместо этого, волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, так как она отлична от нуля в области за пределами потенциальной ямы.