В рамках теории принятия решений процедура согласования результатов может быть рассмотрена как многокритериальная задача, в которой альтернативами являются подходы оценки недвижимости. Для получения весов этих подходов необходимо выбрать критерии оценки альтернатив. В литературе встречаются различные варианты выбора критериев для процедуры согласования, например может быть предложен вариант, в которой отражены рассуждения, проведенные выше. Эти критерии в совокупности достаточно хорошо позволяют оценить специфику проводимых расчетов рыночной стоимости недвижимости в рамках каждого из применяемых подходов. Таким образом, в действительности речь идет о применимости подходов и методов оценки.

Метод анализа иерархий (МАИ) (Analytic Hierarchy Process — АНР) является математической процедурой для иерархического представления сущностных элементов на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательных суждений оценщика по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно.

Главное преимущество метода анализа иерархий, разработанного американским математиком Т. Саати, заключается в возможности сравнивать критерии и варианты решений попарно, что существенно облегчает обоснование сделанных выводов.

Пример иерархии

Алгоритм МАИ состоит из следующих этапов:
1. Структурировать проблему согласования результатов в виде иерархии и построить ее (рис. 15.1).
Например, в результате оценки получены следующие результаты:
- сравнительный подход — 2 950 000 у.е.;
- затратный подход — 2 440 000 у.е.;
- доходный подход — 2 980 000 у.е.
-
Тогда проблема согласования результатов может быть представлена в виде иерархии, где верхний уровень — цель — определение рыночной стоимости; промежуточный уровень — критерии согласования (их указано четыре), нижний уровень — набор альтернатив — результаты, полученные применением различных подходов оценки.

Далее использован следующий набор из пяти критериев:
а) адекватность подхода цели оценки;
б) наличие необходимой и достоверной информации, на основе которой проводится анализ;
в) способность используемого подхода учитывать влияние рыночной ситуации, отражать конъюнктурные колебания;
г) адекватность применения подхода типу объекта недвижимости способность его учитывать специфические особенности объекта оценки, влияющие на его стоимость;
д) способность используемого подхода учитывать риски управления для оцениваемого объекта недвижимости.
2. Выполнить парные сравнения элементов каждого уровня. После иерархического воспроизведения проблемы строится матрица нения критериев и рассчитываются значения приоритетов критериев. В методе анализа иерархий все элементы задачи сравниваются повторно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента ад другим. Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности. Система парных сравнений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементы матрицы обозначаются Аiy и представляют собой интенсивность продления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j.
Пусть A1, Аn - множество из n элементов, W1 Wn - элементы иерархии - соотносятся следующим образом:

				А n
А 1
А 2
А n				1

При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, оценщик выражает свое мнение, используя одно из определений шкалы интенсивности. Интенсивность проявления обычно оценивается по шкале интенсивности в балльных оценках от 1 до 9, где балльные оценки имеют смысл, отраженный в табл. 15.2. В матрицу сравнения заносится соответствующее число. При желании оценщик может использовать и четные целые числа, выражая промежуточные уровни предпочтения по важности.

Выбор шкалы определялся следующими требованиями: I - шкала должна давать возможность улавливать разницу субъективной составляющей аналитиков, когда они проводят сравнения, различать как можно больше градаций оценок;
- эксперт должен быть уверенным во всех градациях своих суждений одновременно.
3. Вычислить коэффициенты значимости (важности) для элементов каждого уровня.
Вычисление весовых коэффициентов критериев согласования результатов оценки производится по формуле

Пример 15.3. Для указанных выше значений, полученных применением трех подходов оценки, и для пяти сформулированных выше критериев расчет весовых коэффициентов для каждого примененного подхода по каждому из критериев согласования

Итоговое значение рыночной стоимости объекта недвижимости определяется в соответствии с весом каждого из подходов

С учетом весов стоимостных оценок, полученных в результате применения классических подходов, средневзвешенное значение рыночной стоимости объекта оценки составит округленно 2 900 000 дол.
Результаты, полученные методом анализа иерархий, должны быть оценены с точки зрения здравого смысла. Весьма полезным инструментом иерархической теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который позволяет диагностировать степень нарушения согласованности.
При расчете матрицы парных сравнений целесообразно учитывать лимит отклонения от согласованности. Если выявленные отклонения превышают установленные пределы, то суждения, занесенные в матрицу, следует перепроверить.

Индекс согласованности = (amax — п) : (п — 1).

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, то получим отношение согласованности. Величина отношения согласованности не должна превышать 10%.

В каждом конкретном случае проведения процедуры согласования оценщик должен взвесить все за и против при выборе того или иного метода.

Так, опытный эксперт, привлеченный к проведению согласования результатов в рамках той же оценки, выполнил эту процедуру традиционным образом, используя экспертный метод. Он определял веса трех подходов по тем же критериям, которые были введены в примененном выше методе анализа иерархий, используя простейшую двубалльную шкалу (0; 1)

Оба метода дали одинаковые весовые коэффициенты, а следовательно, и результат согласования - итоговую величину стоимости. Этот пример показывает, что в каждой конкретной ситуации оценщику необходимо осознанно выбирать тот или иной метод исходя из принципа целесообразности.

Такое решение может быть принято после ответа на следующие вопросы:
1. Какой из методов предпочтительнее с точки зрения экономии ресурсов? От рационального использования трудовых ресурсов (работа экспертов) и ресурсов времени зависит эффективность процесса оценки.
2. В каком случае снижается доля субъективизма? В оценке всегда присутствует неизбежная доля субъективизма, который достаточно сильно влияет на точность расчетов. Соотношение количества принимаемых субъективных решений в традиционном экспертном методе и МАИ - не в пользу последнего.
3. Оценит ли заказчик применение сложных аналитических процедур прикладной математики для формализации процедуры согласования/ Понятно, что грамотное обоснование результатов согласования - необходимое требование к оформлению результатов оценки. Однако применение «изысканий» «на ровном месте» может сослужить оценщику плохую службу при установлении взаимопонимания с заказчиком.

Хочется еще раз подчеркнуть, что стоимость объекта оценки, указанная как итог в отчете, - это мнение независимого оценщика, и не более того. Покупатель имеет полное право с этим мнением не согласиться и в процессе переговоров предложить свою цену. Таким образом, цена сделки может достаточно серьезно отличаться от стоимости, которую определил оценщик в отчете. Причин этому может быть много, напри мер цена может зависеть от целей, стоящих перед покупателем, его субъективных мотиваций, особенностей проведенной сделки.

На Западе, как правило, оценочная стоимость компании незначительно отличается от цены заключаемой сделки. В российской действительности это расхождение часто составляет более 30%. Тем не менее грамотное и подтвержденное расчетами заключение оценщика, имеющего хорошую репутацию, может стать дополнительным аргументом при переговорах с потенциальным покупателем.

Общая характеристика метода анализа иерархий
Метод Анализа Иерархий (МАИ) – математический инструмент системного подхода к решению проблем принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским ученым Томасом Л. Саати в 1970 году, с тех пор он активно развивается и широко используется на практике. Метод анализа иерархий можно применять не только для сравнения объектов, но и для решения более сложных проблем управления, прогнозирования и др.

Основным достоинством метода анализа иерархий является высокая универсальность – метод может применяться для решения самых разнообразных задач: анализа возможных сценариев развития ситуации, распределения ресурсов, составления рейтинга клиентов, принятия кадровых решений и др.

Недостатком метода анализа иерархий является необходимость получения большого объема информации от экспертов. Метод в наибольшей мере подходит для тех случаев, когда основная часть данных основана на предпочтениях лица, принимающего решения, в процессе выбора наилучшего варианта решения из множества существующих альтернатив.

В типичной ситуации принятия решения:

• рассматриваются несколько вариантов решения,
• задан критерий, по которому определяется в какой мере то или иное решение является подходящим,
• известны условия, в которых решается проблема, и причины, влияющие на выбор того или иного решения.

Постановка задачи в процессе применения метода анализа иерархий: Пусть имеется множество альтернатив (вариантов решений): В 1 , В 2 , … В k . Каждая из альтернатив оценивается списком критериев: К 1 , К 2 , … К n . Требуется определить наилучшее решение.

Этапы применения метода анализа иерархий:

1. Предварительное ранжирование критериев , в результате которого они располагаются в порядке убывания важности (значимости).

2. Попарное сравнение критериев по важности по девятибалльной шкале с составлением соответствующей матрицы (таблицы) размера (n х n). Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, где оценки имеют следующий смысл:

• равная важность – 1;
• умеренное превосходство – 3;
• значительное превосходство – 5;
• сильное превосходство – 7;
• очень сильное превосходство – 9;
• в промежуточных случаях ставятся четные оценки: 2, 4, 6, 8 (например, 4 – между умеренным и значительным превосходством).

При этом при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы при сравнении элементов А и Б:

• какой из них важнее или имеет большее воздействие?
• какой из них более вероятен?
• какой из них предпочтительнее?

Затем формируется матрица (схема представлена в Таблице 2). В процессе заполнения матрицы если элемент i важнее элемента j, то клетка (i, j), соответствующая строке i и столбцу j , заполняется целым числом, а клетка (j, i), соответствующая строке j и столбцу i, заполняется обратным числом (дробью).

Например, если К 1 умеренно превосходит К 4 , то в клетку (1;4) (на пересечении первой строки и четвертого столбца) ставится число 3, а в клетку (4;1) (четвертая строка первый столбец) – обратная величина, равная 1/3. Если же элемент j более важен, чем элемент i, то целое число ставится в клетку (j, i), а обратная величина – в клетку (i, j). Если считается, что i, j одинаковы, то в обе клетки ставится единица.

Заполнение таблицы (см.примерная схема в табл.2) проводится построчно с наиболее важного критерия. Сначала проставляют целочисленные оценки, тогда соответствующие им дробные оценки получаются из них автоматически (как обратные к целым числам). Чем важнее критерий, тем больше целочисленных оценок будет в соответствующей ему строке матрицы, и сами оценки имеют большие значения. Так как каждый критерий равен себе по важности, то главная диагональ матрицы всегда будет состоять из единиц. Очевидно, что сумма компонентов равна единице. Каждый компонент НВП представляет собой оценку важности соответствующего критерия (например, 1-й компонент представляет собой оценку важности первого критерия). где ПСС – показатель случайной согласованности, определяемый теоретически для случая, когда оценки в матрице представлены случайным образом, и зависящий только от размера матрицы, как это представлено в таблице 1:

Таблица 1 - Значение показателя случайной согласованности (ПСС)

Размер матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ПСС	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Оценки в матрице считаются согласованными, если ОС≤10-15%, в противном случае их надо пересматривать.

5. Проводится попарное сравнение вариантов по каждому критерию аналогично тому, как это делалось для критериев, и заполняются соответствующие таблицы (см.ниже – схема представлена в Таблице 3). Для каждой таблицы проводится проверка согласованности локальных приоритетов путем расчета трех характеристик (см.описание 4-го этапа).

6. Определяется общий критерий (приоритет) для каждого варианта:

К(В 1) = оценка В 1 по первому критерию х 1 й компонент НВП + оценка В 1 по второму критерию х 2 й компонент НВП + … + оценка В 1 по n му критерию х n й компонент НВП (6)

Аналогично подсчитываются К(В 2), К(В 3) и т.д., при этом в выражении В 1 заменяется на В 2 , В 3 и т.д. соответственно. Заполняется таблица (см.ниже – схема представлена в Таблице 4).

7. Определяется наилучшее решение, для которого значение К максимально.

8. Проверяется достоверность решения:

8.1. расчет обобщенного индекса согласования:

ОИС = ИС 1 х 1 й компонент НВП + ИС 2 х 2 й компонент НВП + … + ИС n х n й компонент НВП (7)

8.2. расчет обобщенного отношения согласованности:

ООС = ОИС/ ОПСС (8)

где ОПСС определяется по таблице 1 на уровне ПСС (показателя случайной согласованности) для матриц сравнения вариантов по критериям.

Решение считается достоверным, если ООС≤10-15%, в противном случае нужно корректировать матрицы сравнения вариантов по критериям.

Таблица 2 - Форма таблицы сравнения критериев

	К 1	К 2	….	К n	Средние геометрические	НВП(по фор-муле (2))
К 1
К 2
….
К n
ИТОГО					по формуле (1)
λ max	по форм. (3)
ИС	по форм. (4)
ОС	по форм. (5)

Таблица 3 - Форма таблицы сравнения вариантов по критериям (заполняется по каждому j-му критерию сравнения K j j=1,n)

К j	В 1	В 2	….	В k	Средние геометрические	НВП(по фор-муле (2))
В 1
В 2
….
В k
ИТОГО					по формуле (1)
λ maxj	по форм. (3)
ИС j	по форм. (4)
ОС j	по форм. (5)

Таблица 4 - Форма таблицы расчета итоговых значений приоритетов

	К 1	К 2	….	К n	Итоговые значения приоритетов (расчет по формуле (6))
	приводятся значения 1-го компонента НВП из таблицы 2	приводятся значения 2-го компонент НВП из таблицы 2		приводятся значения n-го компонента НВП из таблицы 2
В 1					К(В 1)=
В 2					К(В2)=
….					…
В k					К(В 3)=
ИС	приводится зна-чение ИС 1 по К 1	приводится зна-чение ИС 2 по К 2	…	приводится зна-чение ИС n по К n	приводится сумма по столбцу
ОИС	расч. по форм. (7)
ООС	расч. по форм. (8)

Основные понятия метода анализа иерархий

В соответствии с формулировкой задачи принятия решения структура модели принятия решения в методе анализа иерархий представляет собой схему (граф), которая включает:

• набор альтернативных решений,
• главный критерий рейтингования решений,
• набор групп однотипных факторов, влияющих на рейтинг,
• множество направленных связей, указывающих на влияния решений, критерия и факторов друг на друга.

Структура модели отражает результат анализа ситуации принятия решения. Основные группы понятий метода анализа иерархий:

• Первая группа понятий связана с описанием возможных структур моделей принятия решения. Для вычисления приоритетов альтернативных решений к структуре необходимо добавить информацию о силе влияний решений, критерия и факторов друг на друга.
• Вторая группа понятий связана с описанием данных для моделей принятия решения. После того как сформирована структура и собраны все данные, модель принятия решения готова, т.е. в ней могут быть получены рейтинги приоритетов решений и факторов. Знание приоритетов используется для поддержки принятия решения.
• Третья группа понятий связана с описанием результатов, получаемых в моделях принятия решения. Четвертая группа понятий связана с пояснением того, как организованы вычисления. Знание этих понятий необходимо лишь для понимания математических обоснований метода. Для применения метода знание этих понятий необязательно.

1. Cтруктуры

1.1) Узел – общее название для всех возможных решений (альтернатив), главного критерия (главной цели) рейтингования решений, всех факторов, от которых, так или иначе, зависит рейтинг. Название узла совпадает с названием соответствующего решения, критерия или фактора. Заметим, что с математической точки зрения схема ситуации принятия решения (структура модели), которая строится в методе анализа иерархий, является графом. Таким образом, понятие «узел» вполне оправдано. Ясно также, что решения, критерий и факторы являются «узлами» проблемы принятия решения.

1.2) Уровень – группа всех однотипных (равноправных, однородных, гомогенных и т.п.) узлов. Название уровня отражает назначения, функцию группы узлов в ситуации принятия решения. Каждый узел определяется не только своим названием, но и названием уровня, которому он принадлежит. Ясно, что отдельный уровень образуют альтернативные решения (узлы этого уровня однотипны в том смысле, что они являются решениями; прочие узлы таковыми не являются). Главный критерий рейтингования, как правило, один – это отдельный уровень. На рейтинг оказывают влияние несколько групп факторов – это также уровни.

1.3) Вершина – узел, соответствующий главному критерию (главной цели) отбора альтернатив.

1.4) Связь – указание на наличие влияния одного узла (доминирующего) на другой (подчиненный). На схеме связь изображается стрелкой. Направление связи (и соответствующей стрелки) совпадает с направлением влияния. С точки зрения теории графов связь – дуга направленного графа. Связь от узла-фактора к узлу-решению означает, что предпочтительность (важность, оптимальность) решения оценивается с точки зрения воздействия данного фактора. Связь от вершины к узлу-фактору означает, что важность учета фактора оценивается с точки зрения главного критерия рейтингования альтернатив. Связь от узла-фактора к узлу-фактору означает, что важность учета второго фактора рассматривается с точки зрения первого фактора.

1.5) Кластер – группа узлов одного уровня, подчиненных некоторому узлу другого уровня –вершине кластера (доминирующему узлу). Кластеры образуются при расстановке связей между узлами, т.е. при расстановке связей происходит формирование кластерной структурыAdvice_KlasterStruct. Важность узлов кластера друг относительно друга оценивается в соответствие с тем, какой узел является вершиной кластера.

Кластер определяется: 1) своей вершиной, 2) названием уровня, 3) списком узлов. 1.6) Система (структура модели, схема ситуации принятия решения) – совокупность всех узлов, сгруппированных по уровням, и всех связей между узлами.

С математической точки зрения системы, которыми приходится оперировать в методе анализа иерархий, являются – направленными графами (сетями). Связи образуют пути, ведущие от одних узлов к другим. Все пути так или иначе являются частями основных путей, ведущих от главного критерия рейтингования через факторы к альтернативам, т.е. основные пути, по сути, являются логическими цепочками, ведущими к выбору одной из альтернатив.

Эта система является иерархической (но не является строгой иерархией). Попутно заметим, что даже для простых задач структуры моделей, строящихся с помощью метода анализа иерархий, представляют собой довольно сложные схемы. Однако это свидетельствует лишь о том, что метод позволяет вскрыть реальную сложность задач, которые человеку приходится решать мысленно. Название системы отражает ее назначение, принадлежность к сфере деятельности, в которой принимается решение.

1.7) Иерархия – система, в которой уровни расположены и пронумерованы так, что: 1) нижний уровень содержит рейтингуемые альтернативы, 2) узлы уровней с большими номерами могут доминировать только над узлами уровней с меньшими номерами. Таким образом, в иерархии связи определяют пути одной направленности — от вершины к альтернативам через промежуточные уровни, которые состоят из узлов-факторов. Система представляет собой строгую иерархию, если допустимы связи только между соседними уровнями от верхнего уровня к нижнему.

1.8) Система с обратными связями . Система имеет обратные связи, если при любом способе нумерации уровней в системе есть узлы, доминирующие и над узлами уровней с большими номерами, и над узлами уровней с меньшими номерами, т.е. система имеет обратные связи, если ни при каких перестановках уровней она не сводится к иерархии. Кроме того, понять различия в структуре иерархии и системы с обратными связями можно, рассматривая пути, образованные связями.

Если в системе нет ни одного такого уровня, что по путям, начинающимся в узлах этого уровня, можно попасть в узлы того же уровня, то система является иерархией, т.е. в иерархии любой путь может пересекаться с каждым уровнем лишь однажды. Если в системе имеются такие уровни, что по пути, начинающемуся в одном из узлов этого уровня, можно попасть в один из узлов того же уровня, то система имеет обратные связи. Т.е. в системе с обратными связями обязательно есть пути, пересекающие некоторые уровни хотя бы дважды. Формирование структуры без обратных связей (иерархии) и формирование структуры с обратными связями производятся по определенным правилам.

2. Данные

2.1) Приоритет узла в кластере – положительное число, служащее для количественного выражения важности (веса, значимости, предпочтительности и т.п.) данного узла в кластере относительно остальных узлов кластера в соответствие с критерием, заключенным в вершине кластера. Сумма всех приоритетов узлов кластера равна единице. Поэтому часто приоритеты можно трактовать как вероятности, доли общего ресурса и т.п. в зависимости от рассматриваемого случая.Часто трудно непосредственно определить набор приоритетов (вектор приоритетов) узлов кластера. Тогда используется процедура парных сравнений и метод собственного вектора

2.2) Пaрные сравнения узлов кластера – оценки (качественные или количественные) отношения приоритета одного узла к приоритету другого, т.е. результаты парных сравнений – это оценки важности (предпочтительности, вероятности и т.п.) каждого узла кластера относительно каждого из других по критерию, заключенному в вершине кластера. Результат парного сравнения – оценка отношения «весов» сравниваемых объектов («веса» объектов численно выражают их предпочтительность, оптимальность, значимость и т.п.). Цель парных сравнений – определение приоритетов узлов кластера. Для того, чтобы уточнить, в каком смысле название вершины кластера является критерием для проведения сравнений используется формулировка критерия для парных сравнений. Для проведения парных сравнений задаются параметры: шкала сравнений и способ сравнений. При проведении парного сравнения объектов и достаточно установить только один из результатов (оценка отношения «веса» объекта и весу объекта) или, так как.

2.3) Шкала сравнений – упорядоченный набор градаций (терминов, чисел и т.п.) для выражения результатов парных сравнений. Шкала сравнений позволяет выражать оценки отношений значений приоритетов узлов, поэтому ее деления – безразмерные величины. Шкалы, использующиеся в методе анализа иерархий, являются шкалами отношений. Т.е. если результату сравнения пары объектов ставится в соответствие значение на шкале, то число — оценка отношения «весов» объектов («веса» объектов численно выражают их предпочтительность, оптимальность, значимость и т.п.)

Шкала является количественной, если результаты парных сравнений выражаются непосредственно с помощью чисел. Шкала является качественной, если результаты парных сравнений выражаются с помощью с градаций-предпочтений. Градациям качественных шкал, использующихся в методе анализа иерархий, соответствуют числа.Т.е. качественные шкалы предоставляют возможность опосредованного оценивания приоритетов через предпочтения.

Дискретная шкала имеет конечных набор градаций (при переходе от одной градации к другой значение парного сравнения изменяется скачком). Дискретной шкале соответствует конечный набор чисел. Дискретные шкалы отличаются по величине наибольшего значения (при количественных сравнениях) или по количеству основных градаций (при качественных сравнениях).

Если число — верхний предел шкалы, то — нижний предел шкалы, т.е. все результаты парных сравнений, выраженные в такой шкале, лежат в пределах от до. Если результату сравнения пары объектов соответствует единица, то значения «весов» объектов оцениваются как равные. Кроме того, для дискретной шкалы — количество градаций для выражения превосходства одного из сравниваемых объектов над другим. При этом дискретная шкала имеет градации. В качестве градаций непрерывной шкалы может использоваться любое из действительных чисел от до.

Непрерывная шкала имеет непрерывный набор градаций (между основными делениями шкалы есть всевозможные промежуточные). Градациям непрерывной шкалы соответствуют числа на отрезке числовой прямой. Непрерывные шкалы отличаются по величине наибольшего значения (при количественных сравнениях) или по количеству основных градаций (при качественных сравнениях). Если «вес» объекта оценивается как превышающий «вес» объекта, результату парного сравнения объектов и соответствует значение на шкале, большее единицы. В противном случае лежит на шкале слева от единицы. В соответствии с этим правилом осуществляется и перевод градаций качественных шкал в числовые значения.

2.4) Способ сравнений определяется набором парных сравнений, необходимых для определения приоритетов узлов кластера. При сравнениях с эталоном (по Стивенсу) выбирается один из узлов кластера, с которым сравниваются все остальные. При проведении классических сравнений (по Саати) каждый узел кластера сравнивается со всеми остальными узлами кластера.

2.5) Сравнения кластеров — процедура оценки важности (приоритетности, силы подчинения) кластеров, имеющих общую вершину.Кластеры сравниваются друг с другом по критерию, заданному названием их вершины. Для проведения сравнений используется та же методика, что и для сравнений узлов в кластере. Фактически при сравнении кластеров, подчиненных одному узлу, производится рейтингование уровней по критерию, определяемому этим узлом.

2.6) Матрица сравнений – таблица числовых значений парных сравнений (для узлов кластера или для кластеров, имеющих общую вершину).

2.7) Индекс согласованности – количественная оценка противоречивости результатов сравнений (для системы в целом, для узлов одного кластера или для кластеров, имеющих общую вершину). Следует иметь в виду, что между достоверностью и непротиворечивостью сравнений нет явной связи. Противоречия в сравнениях возникают из-за субъективных ошибок экспертов. Индекс согласованности не зависит от шкал сравнений, но зависит от количества парных сравнений. Индекс согласованности – положительное число. Чем меньше противоречий в сравнениях, тем меньше значение индекса согласованности. При использовании способа сравнений с эталоном значение индекса согласованности равно нулю.

2.8) Достоверность результата сравнения – количественной оценка, характеризующая степень неточности (размытости) результата сравнения, связанная с компетентностью эксперта, уровнем доверия к данным и т.п. Достоверность сравнения выражается долей единицы (или в процентах). Нулю соответствуют абсолютно недостоверные сравнения, единице (или 100%) – абсолютно достоверные сравнения. На основе значений достоверности сравнений для кластеров, имеющих общую вершину, и значений достоверности парных сравнений в кластерах определяется достоверность данных в масштабах всей системы.

2.9) Относительная согласованность матрицы сравнений – отношение индекса согласованности к среднестатистическому значению индекса согласованности при случайном выборе коэффициентов матрицы сравнений. Относительная согласованность для системы в целом характеризует взвешенное среднее значение относительной согласованности по всем матрицам сравнений. Данные можно считать практически непротиворечивыми (достаточно согласованными), если значение относительной согласованности меньше чем 0,1. Это заключение справедливо как для данных кластера, так и для данных в масштабе всей системы.

2.10) Идеальные сравнения – наиболее близкие к имеющимся непротиворечивые результаты сравнений. Идеальным сравнениям соответствуют нулевой индекс согласованности и, соответственно, нулевое значение относительной согласованности. Знание идеальных сравнений используется при проведении процедуры согласования для кластеров, позволяющей скорректировать сравнения для уменьшения их противоречивости.

2.11) Наиболее противоречивые сравнения – это результаты нескольких парных сравнений узлов одного кластера или кластеров, имеющих общую вершину, вносящие наибольший вклад в значение относительной согласованности.

3. Результаты

3.1) Итоговый вектор приоритетов – рейтинг альтернатив. Каждой альтернативе (каждому возможному решению) ставится в соответствие положительное число – приоритет. Приоритет количественно выражает важность (предпочтительность, вероятность, оптимальность и т.п.) альтернативы в соответствии с главным критерием. Сумма приоритетов всех альтернатив равна единице. Вследствие этого часто допустимо отождествление приоритетов с вероятностями. Для поддержки принятия решения в основном с помощью итогового вектора приоритетов производится интерпретация результатов применения метода. Например, принимается решение с наибольшим приоритетом, отвергается решение с наименьшим приоритетом и т.п.

3.2) Вектор приоритетов уровня - рейтинг узлов данного уровня. Вектор приоритетов уровня вычисляется в предположении, что узлы данного уровня являются альтернативами. Все уровни, кроме тех, что содержат альтернативы и главный критерий рейтингования альтернатив, состоят из факторов, влияющих на итоговый вектор приоритетов. Таким образом, приоритеты узлов-факторов количественно характеризуют важность учета каждого фактора относительно других факторов того же уровня. При вычислении вектора приоритетов уровня рассматриваются только такие пути, образованные связями, которые ведут от вершины к узлам данного уровня. Приоритет узла в системе – это соответствующая компонента вектора приоритетов уровня, которому принадлежит данный узел.

3.3) Вектор приоритетов кластера – рейтинг узлов кластера. Вектор приоритетов узлов кластера может задаваться напрямую (без проведения сравнений) или рассчитываться на основе матрицы сравнений.

3.4) Показатели согласованности и достоверности для системы в целом, характеризующие качество данных, использованных для вычисления векторов приоритетов, также являются результатами. Величины этих показателей позволяют оценить степень доверия к результатам, полученным с помощью метода анализа иерархий. Знание показателей согласованности позволяет решать промежуточную задачу выявления участков проблемы, по которым имеется наиболее противоречивая информация. Решение такой задачи позволяет сделать сбор и корректировку данных более целенаправленными.

3.5) Устойчивость вектора приоритетов – качественная характеристика чувствительности значений приоритетов к малым изменениям данных или структуры модели. Очевидно, данные, использующиеся для принятия решений, всегда более или менее неточны. Поэтому чем меньше чувствительность значений приоритетов, тем больше обоснованность использования этих приоритетов для поддержки принятия решения. В зависимости от решаемой задачи определяется понятие «существенное изменение рейтинга» (смена лидера, смена аутсайдера и т.п.). Если при малых изменениях данных или структуры рейтинг изменяется несущественно, то он считается устойчивым.

3.6) Существенные элементы структуры – это узлы или связи между узлами, удаление которых приводит к существенному изменению рейтинга. Очевидно, заранее бывает чрезвычайно сложно определить, какие факторы являются определяющими для принятия решения, а какими можно пренебречь. Часто при принятии решений происходит упрощение ситуации (отбрасывание ряда факторов) или делается попытка учесть максимально возможное количество факторов. Поэтому поиск существенных факторов является важной самостоятельной задачей в процессе подготовки принятия решения.

3.7) Приоритет узла в модели – соответствующая компонента вектора приоритетов уровня, которому принадлежит данный узел. Допустим, в решаемой задаче близость приоритета к единице (к нулю) ассоциируется с предпочтительностью оптимальностью и т.п. Тогда, как правило, узлы с малыми (с большими) приоритетами оказываются несущественными.

3.8) Приоритет кластера в модели . Если некоторый узел является вершиной только одного кластера, то приоритет кластера в модели совпадает с приоритетом его вершины. (В модели, структура которой является строгой иерархией, так определяется приоритет для каждого кластера.) Если некоторый узел является вершиной нескольких кластеров, то для них устанавливаются приоритеты относительно общей вершины. Приоритет каждого из таких кластеров определяется как произведение приоритета относительно вершины на приоритет узла-вершины в модели.

. .

В начале 1970 года американский математик Томас Саати разработал процедуру поддержки принятия решений, которую назвал "Analityc hierarchy process" (AHP). Авторы русского издания перевели это название как "Метод анализа иерархий" (см. книгу: Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и Связь, 1993). Этот метод относится к классу критериальных и занимает особое место, благодаря тому, что он получил исключительно широкое распространение и активно применяется по сей день, особенно в США. По этой причине он заслуживает подробного описания в отдельном разделе. Не следует думать, что его выдающаяся популярность объясняется какими-либо важными преимуществами этого метода, по сравнению с другими. Я думаю, что здесь мы сталкиваемся с известным психологическим феноменом: продукт, появившийся первым и удачно удовлетворяющий определенную потребность, захватывает рынок. Более поздние продукты, зачастую более совершенные, часто оказываются неспособны вытеснить удачливого первенца.

На основе этого метода разработаны достаточно серьезные системы поддержки принятия решений, например "Expert choice"

Описание метода выполним на конкретном примере выбора автомобиля.

Альтернативы:

• Жигули
• Москвич
• Волга

Критерии:

• стиль
• надежность
• экономия топлива

В основе АНР все та же линейная свертка, но оценки альтернатив и веса критериев получаются особым образом. Его мы сейчас и рассмотрим.

В модели АНР вместо критериальной таблицы принята иерархия. Представим ее следующим образом:

Уровень 0: Цель - выбрать автомобиль.

Уровень 1: Критерии -

– надежность

– экономичность

Уровней может быть сколько угодно. Например, критерий 1-го уровня "надежность" можно раскрыть уровнем 2 как: 1) надежность двигателя, 2) надежность кузова, 3) надежность ходовой части. Надежность ходовой части можно далее раскрыть уровнем 3, например, как а) надежность тормозной системы, б) надежность подвески и т.д. Мы же, для простоты объяснения, ограничимся Уровнем 1.

Теперь нужно получить оценки каждой альтернативы по каждому критерию. Если существуют объективные оценки, то они просто выписываются и нормируются таким образом, чтобы их сумма была равна единице. Например, если бы нас интересовал критерий "максимальная скорость" и имелись бы соответствующие данные по каждому автомобилю, то нужно было бы составить следующую таблицу.

А как быть с таким критерием как "стиль", для которого не существует объективных оценок? В этом случае процедура Саати рекомендует использовать парные сравнения. Для фиксации результата сравнения пары альтернатив может использоваться, например, шкала следующего типа:

Лицо, принимающее решение (ЛПР), просят попарно сравнить альтернативы. Результат парных сравнений альтернатив для критерия "стиль" записывается в виде таблицы

Простые дроби в клетках трактуются следующим образом. Например, на пересечении строки "Москвич" и столбца "Жигули" записана дробь 4/1. Это выражает мнение ЛПР о том, что "стильность" Москвича" в 4 раза выше, чем "стильность" Жигулей. Здесь вместо приведенной выше шкалы превосходства использовалось понятие "быть лучше в N раз", что также допустимо. Далее простые дроби переводятся в десятичные. Получается такая таблица.

Эта таблица есть не что иное, как таблица результатов парных сравнений (см. раздел "Некритериальное структурирование множества альтернатив"). Поступим с ней так же, как мы поступали в указанном разделе - посчитаем строчные суммы .

	Жигули	Москвич	Иж	Волга	Сумма по строке
Жигули	1,00	0,25	4,00	0,17	5,42
Москвич	4,00	1,00	4,00	0,25	9,25
Иж	0,25	0,25	1,00	0,20	1,70
Волга	6,00	4,00	5,00	1,00	16,00
				Сумма	32,37

Теперь, в отличие от прежнего, нормируем суммы таким образом, чтобы их сумма в свою очередь была равна 1. Для этого просто разделим сумму каждой строки на 32,37 (сумма последнего столбца, т.е. сумма самих строчных сумм). Получим:

	Жигули	Москвич	Иж	Волга	Сумма
Жигули	1,00	0,25	4,00	0,17	0,116
Москвич	4,00	1,00	4,00	0,25	0,247
Иж	0,25	0,25	1,00	0,20	0,060
Волга	6,00	4,00	5,00	1,00	0,577
				Сумма	1,00

В методе Саати полученные таким образом нормированные суммы принимаются в качестве оценок альтернатив по критерию "стильность". Отметим, что полученные оценки отражают исключительно точку зрения конкретного ЛПР. На самом деле, вместо строчных сумм Саати рекомендует использовать собственный вектор матрицы парных сравнений, считая его более точной оценкой. Мы же для простоты ограничимся строчными суммами, которые допустимы, но, с точки зрения Саати, менее точны.

Аналогичным образом получаются веса критериев. Предположим, конкретное ЛПР сравнило попарно критерии с точки зрения их сравнительной важности. Запишем результаты сравнений в виде таблицы.

Как и прежде, утверждение типа "надежность в 2 раза важнее стиля" записывается в виде дроби 2/1.

Применяя к этой таблице описанную выше процедуру, получим веса критериев:

w 1 = 0,32 (стиль), w 2 = 0,56 (надежность), w 3 = 0,12 (экономичность).

Таким образом, мы можем получить как веса критериев, так и оценки альтернатив по критериям:

Жигули - 0,306;
Москвич - 0,272;
Иж - 0,094;
Волга - 0,328.

Затем производится анализ отношения стоимость/эффективность. Используется отношение полученной интегральной оценки к нормированной стоимости. Наилучшей считается альтернатива, для которой указанное отношение максимально .

В рамках нашего примера, сведем все необходимые данные в следующую таблицу:

	Стоимость в $	Стоимость нормированная	Функция полезности	Отношение
Жигули	4 000	0,24	0,306	1,28
Москвич	3 000	0,18	0,272	1,51
Иж	2 500	0,15	0,094	0,63
Волга	7 000	0,43	0,328	0,76
Сумма	16 000	1,00	1,00

Таким образом, учитывая предпочтения данного конкретного ЛПР, процедура АНР рекомендует ему выбрать Москвич.

Несколько заключительных замечаний

Как я уже отметил в начале этого раздела, исключительно широкий опыт практического использования АНР придал процедуре этакий магический ореол. Не смотря на это, я попробую, по возможности объективно, отметить ее достоинства и недостатки.

Главным достоинством процедуры я считаю тот факт, что веса критериев и оценки по субъективным критериям не назначаются прямым волевым методом (как чаще всего пытаются делать, не сильно задумываясь о корректности такого волюнтаризма), а на основе парных сравнений. При этом, на мой взгляд, остается неопределенным (интуитивным) понятие "превосходство в N раз", но все равно - это большой шаг вперед. Нельзя не отметить, что сравнительно недавно Подиновским сделана попытка точно определить, что означает количественное превосходство одного критерия над другим (см. журнал "Автоматика и телемеханика" №5 за 2000 год).

Другое достоинство - представление критериев в виде иерархии (дерева). Такая структура, если вдуматься, внутренне присуща самому понятию "критерий", т.е. критерии по своей природе иерархичны. Используя одну критериальную таблицу, мы по сути дела упрощаем ситуацию, выполняя оценку либо для верхних уровней дерева критериев, либо для самых нижних (как говорят математики "для листьев дерева"). Большой беды в этом нет, но при оценке сложных альтернатив полезнее мыслить в терминах дерева критериев.

Теперь о недостатках. Первый касается шкалы превосходства. Напомню, что Саати предлагает следующую шкалу:

Теперь представим ситуацию, когда одновременно справедливы следующие 2 утверждения: а) "альтернатива А1 очень сильно превосходит альтернативу А2" и б) "альтернатива А2 очень сильно превосходит альтернативу А3". Что можно сказать о превосходстве альтернативы А1 над альтернативой А3? Логично было бы сделать заключение, что альтернатива А1 превосходит альтернативу А3 в 49 раз (7 умножить на 7)!? Но этот вывод явно не укладывается в рамки заданной шкалы. Как же быть? Процедура АНР не дает ответа на этот каверзный вопрос. Скорее всего, придется удовлетвориться утверждением типа: "альтернатива А1 имеет высшее превосходство над альтернативой А3" и в дальнейшем использовать градацию шкалы "9".

Основной недостаток, на мой взгляд, заключается в том, что парные сравнения используются для получения количественных значений. Серьезные исследования последнего десятилетия приводят к выводу, что корректнее и надежнее использовать парные сравнения для получения только качественных заключений, типа: "критерий К1 важнее критерия К2", не уточняя на сколько важнее.

Изложение алгоритма МАИ приведем, следуя и , для наглядности совместив формальное описание с примером.

2.1. Основные положения

Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления компонентов, определяющих суть любой проблемы . Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень взаимодействия элементов. Эти суждения затем выражаются численно. Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, выявления приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют некоторым численным оценкам.

Решение проблемы – это процедура поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные компоненты проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценка альтернатив; на следующем этапе вырабатывается решение и оценивается его качество. Процесс может быть проведен также над последовательностью иерархий: в этом случае результаты, полученные в одной из них, используются в качестве входных данных при изучении следующей. Метод многокритериального отбора систематизирует процесс решения такой многоступенчатой задачи.

Основные принципы метода анализа иерархий

1. Принцип идентичности и декомпозиции . Предусматривает структурирование проблем в виде иерархии или сети.

2. Принцип сравнительный суждений (парных сравнений). Предполагает, что элементы задачи (альтернативы и критерии) сравниваются попарно с позиции их воздействия на общую характеристику.

3. Принцип синтеза приоритетов. Предполагает формирование набора локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.

2.2. Постановка задачи (пример)

Целью задачи является строительство аэропорта . Необходимо выбрать лучшую площадку для строительства аэропорта с точки зрения выделенных критериев. Комиссия по выбору постройки аэропорта предварительно отобрала из нескольких возможных три альтернативных варианта площадок – А1, А2, А3 . Было выявлено три основных критерия, влияющих на принятие решения о выборе площадки для строительства: 1 – стоимость строительства, 2 – время в пути от аэропорта до центра города, 3 – количество жителей, подвергающихся шумовым воздействиям. При решении задачи используется МАИ для поддержки процесса принятия решений.

2.3. Этапы маи

Этап 1. Построение иерархической структуры задачи многомерного выбора.

В общем случае простейшей трехуровневой иерархии структура имеет вид Рис.1.

Рис. 1. Обобщенна иерархическая структура проблемы

Этап 1. Структуризация.

Структуру решаемой задачи можно представить в виде иерархической структуры, показанной на Рис. 2.

Рис. 2. Иерархическая структура проблемы

Этап 2. Выполнение попарных экспертных сравнений элементов каждого уровня иерархий.

Рассмотрим элементы С 1 , С 2 , …, С n некоторого зафиксированного уровня иерархи. Мы хотим определить веса ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ n влияния этих элементов на некоторый элемент вышестоящего уровня. Основным инструментом оценки влияния является матрица чисел по шкале отношений 1, …, 9 (табл. 1), представляющих суждения о парных сравнениях. Для представления приоритетов в МАИ выбран собственный вектор, принадлежащий наибольшему собственному значению указанной матрицы А . Обозначим через число (бал), соответствующее значимости (предпочтения) элементаС i по сравнению с элементом С j данного уровня иерархии по влиянию С i , С j на фиксированный элемент вышестоящего уровня (например К1 на Рис. 2):

Матрица А с содержательной точки зрения будет согласованной по оценкам при введении условия

С математической точки зрения это условие наделяет матрицу А свойством обратносимметричной матрицы. На главой диагонали матрицы А стоят 1.

Если оценки попарных сравнений известны точно, т.е. оценки основаны на экспериментальных измерениях, то

т.е. веса влияния элементов известны.

Например, если взвешиваются два предмета: С 1 =305,2 и С 2 =244,2, тогда отношение означает, что предметС 1 в 1,25 раз тяжелее предмета С 2 .

Для случая экспериментального измерения весов ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ i ,…, ѡ n сравниваемых элементов на уровне иерархии согласованность считается полной , естественно, с точностью до погрешности измерительных приборов или расчетных методик. При экспертной оценке отношений (7) согласованность суждений и соответственно матрицы А будет не полной . Значит нужно разработать некоторую числовую меру отклонения согласованности матрицы А от идеальной (см. ниже формулу отношения согласованности (9)).

Теперь рассмотрим подробнее содержательный смысл требования согласованности в МАИ.

В МАИ под согласованностью суждений подразумевается не просто традиционное требование транзитивности предпочтений : если например, для индивидуума яблоки предпочтительнее апельсинов, а апельсины предпочтительнее бананов, то яблоки должны быть предпочтительнее бананов.

Схематически это можно записать так:

– знак предпочтения элемента в отношении двух элементов; ∩ – знак пересечения множеств (совместности).

В МАИ транзитивность наделяется количественными отношениями. Например, если яблоки в 2 раза предпочтительнее апельсин (по цене), а апельсины предпочтительнее бананов в 3 раза, то яблоки должны быть в 6 раз предпочтительнее бананов. Именно это автор МАИ Саати называет числовой (кардинальной) согласованностью предпочтений. Несогласованность означает отсутствие пропорциональности, которое может нарушить транзитивность.

МАИ не только показывает наличие несогласованности отдельных сравнений, но и дает численную оценку того, как сильно нарушена согласованность для всей рассматриваемой задачи.

Замечание. В простейшей версии МАИ считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы между собой, но все они влияют на каждый элемент другого (вышестоящего) уровня. Таким образом, общая задача многокритериального выбора сводится к задаче оценки влияния уровней иерархи (снизу-вверх либо сверху-вниз).

Теперь обратимся к расчетам для нашего примера.

Зафиксируем нижний (третий) уровень иерархи Рис. 2, содержащий элементы А1, А2, А3 альтернативных площадок для строительства аэропорта. Зафиксируем также один элемент К1 – стоимость строительства на уровне 2 иерархии.

Примечание: в МАИ можно формировать матрицу парных сравнений на основе любой шкалы отношений, применяемой для измеряемых свойств сравниваемых объектов. В этом случае экспертная оценка заменяется отношением двух соответствующих измерений. Новая шкала (собственный вектор), которая выводится из матрицы парных сравнений, содержащий оценки реальных измерений, будет эквивалентна той, которую можно получить путем нормирования соответствующих измерений.

Таблица 1

Шкала относительной важности

Матрица экспертных оценок влияния элементов А1, А2, А3 на элемент К1 второго уровня иерархии показана в таблице 2 (выделено темным цветом). В таблице 2 приведены также расчетные величины для определения максимального собственного значения и главного собственного вектораполученной матрицыА (алгоритм расчета этих величин описан в этапе 3 алгоритма в таблице 6).

Аналогично получены матрицы парных сравнений элементов А1, А2, А3 относительно критерия К2 (таблица 3) и критерия К3 (таблица 4).

Таблица 2

Матрица А С.1 парных сравнений альтернатив по первому критерию

Стоимость производства К1				W1
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,44; ИС=0,22; ОС=0,379.

Таблица 3

Матрица А С.2 парных сравнений альтернатив по второму критерию

Стоимость производства К2				Компоненты собственного вектора W2	Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,04; ИС=0,22; ОС=0,03.

Таблица 4

Матрица А С.3 парных сравнений альтернатив по третьему критерию

Стоимость производства К3				Компоненты собственного вектора W3	Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов
Сумма по столбцу СВ
λmax=3,37; ИС=0,18; ОС=0,31.

Аналогично строиться матрица парных сравнений для второго уровня иерархий, элементами которого являются критерии К1, К2, К3 . Эта матрица показана в таблице 5 (выделено темным цветом).

Таблица 5

Матрица А С.4 парных сравнений критериев

				Компоненты собственного вектора W 4	Компоненты нормализованного собственного вектора приоритетов элементов второго уровня (критериев)
λmax=3,297; ИС=0,15; ОС=0,26.

Этап 3 . Определение вектора приоритетов.

В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии принят нормализованный главный собственный вектор матрицы попарных сравнений. Для расчета этих векторов используется приближенный метод 4 из оценки через средние геометрические.

Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов. Чем больше i -я компонента СВ, тем больше влияние i -го элемента в комплексе всех элементов анализируемого уровня иерархии на выделенный элемент С вышестоящего уровня.

Для нижнего уровня альтернатив (площадок для строительства А1, А2, А3 ) алгоритм расчета собственного вектора, относящийся к матрице парных сравнений из таблицы 2, показан в таблице 6. В таблице 2 показан также результат расчета – нормализованный собственный вектор .

Аналогично рассчитывается нормализованные собственные векторы для матриц парных сравнений А с.2 и А с.3 из таблиц 3 и 4.

Получены оценки: ;, которые отражены в таблицах 3 и 4.

Для второго уровня иерархии, включающего критерии К1, К2 и К3 , оценка нормализованного собственного вектора, характеризующие его приоритеты этого уровня по влиянию на единственный элемент верхнего (первого) уровня, т.е. цель выбора, производится по описанному выше алгоритму. Для матрицы парных сравнений А с.4 из таблицы 5, получены данные расчета: .

Таким образом, все векторы приоритетов для второго и третьего уровней иерархии получены.

Этап 4. Определение максимальных собственных значений и степени согласованности матриц парных сравнений.

Прежде чем перейти к синтезу оптимальной альтернативы с учетом всех элементов второго и третьего уровней иерархии, нужно убедиться в достаточном уровне согласованности всех матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.2 , А с.4 . Для этого нужно вычислить максимальные собственные значения этих матриц. В теории МАИ приводится следующий алгоритм расчета. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются:

где k – номер матрицы парных сравнений (суждений); – вектор-строка столбцовых сумм матрицы суждений с номеромk ; – нормализованный собственный главный вектор матрицы сужденийА с. k , принадлежащий наибольшему собственному значению .

Таблица 6

Матрица парных сравнений альтернатив по первому критерию К1

К1	А1	А2	А3	Компоненты собственного вектора	Компоненты нормализованного вектора приоритетов
А1
А2
А3
Сумма по столбцам

В (8) умножение производится по правилу скалярного произведения векторов.

Например, для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2 получим:

Максимальные собственные значения всех матриц суждения ,,,приведены соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.

Этап 5 . Определение индексов согласованности и отношений согласованности для матриц суждений.

В общем случае под согласованностью понимается то, что при наличии основного (базового) массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Или другими словами, отношения элементов всей матрицы А не должны быть противоречивыми.

Из теории МАИ известно, что идеальная согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию

Заметим, что всегда верно, поэтому

Тогда степень согласованности матрицы суждений можно оценить мерой, называемой индексом согласованности (ИС)

Знаменатель – это число всех возможных парных сравнений данного элементав фиксированной строкеi для квадратной матрицы n -го порядка.

Следовательно, ИС имеет смысл отклонения от абсолютной согласованности, приходящегося на одно парное сравнение.

Вводится критерий, называемый отношением согласованности (ОС):

где СС – индекс случайной согласованности (СС).

СС определяется путем задания оценок по шкале отношений для случайно выбранных суждений при парных сравнениях и соответствующих им обратных величин для матрицыА. Значения СС в теории МАИ заранее вычислены и представлены в таблице 7.

Таблица 7

Случайная согласованность для случайных матриц

Приемлемая величина ОС – порядка 10% или менее. Если ОС выходит из этих пределов, то ЛПР должно провести более глубокие исследования задачи и проверить свои суждения, т.е. назначение величин в матрице парных сравнений.

В качестве примера приведем оценки для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2:

Величины значения индекса согласованности и отношений согласованности для матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.3 , А с.4 показаны соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.

Замечание. Формально отношения согласованности ОС 1 =0,378 для матрицы А с.1 , ОС 3 =0,31 для матрицы А с.3 и ОС 4 =0,26 для матрицы А с.4 являются неприемлемыми, т.е. уровень их согласованности очень мал. Требуется, чтобы ОС было меньше 0,1. Однако исправление указанных матриц суждения, а значит и всей задачи мы делать не будем, поскольку рассматриваемая задача носит учебный характер.

Этап 6. Синтез приоритетов уровней.

В математической теории иерархий разработан метод оценки воздействия уровня на соседний вышестоящий уровень путем композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов данного уровня по отношении к каждому элементу соседнего верхнего уровня. Композиция распространяется снизу-вверх. В принципе, можно рассматривать также распространение композиции сверху-вниз.

Математически «композиция» отображается оператором умножения. Как известно , в математической логике операция умножения отображает совместное действие сомножителей.

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты (приоритеты альтернатив А 1 , А 2 , А 3 по каждому критерию) перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии критериями на которые воздействует этот элемент. Процедура продолжается до самого нижнего уровня. В формализованном виде процедура синтеза приоритетов имеет следующий вид.

Общий вектор приоритетов взаимного влияния уровня 3 альтернатив (А 1 , А 2 , А 3) и уровня 2 критериев (К1, К2, К3) на общую цель (уровень 1) равен:

где В – матрица компонент нормированных векторов приоритетов альтернатив первого снизу уровня (см. таблицы 2, 3 и 4); – нормированный вектор приоритета критериев второго уровня (таблица 5).

В (11) умножение производится по правилам умножения матрицы на вектор:

Для нашего примера:

Этап 7 . Выбор оптимально альтернативы.

Алгоритм оптимального выбора прост:

Таким образом, алгоритм оптимального многокритериального выбора приводит к выбору площадки А 1 для строительства аэропорта, так как ей соответствует наибольшее значение компоненты вектора общего приоритета

Достоинством метода анализа иерархий является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применятся в тех случаях, когда эксперты не могут дать абсолютной оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.

Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т.Л. Саати, основан на парных сравнениях альтернативных вариантов по различным критериям с использованием девятибалльной шкалы и последующим ранжированием набора альтернатив по всем критериям и целям. Взаимоотношения между критериями учитываются путем построения иерархии критериев и применением парных сравнений для выявления важности критериев и подкритериев.

К основным процедурам метода анализа иерархий относятся следующие:

Генерация множества альтернативных вариантов;

Формирование множества критериев для оценки альтернативных вариантов и представление его в виде иерархии;

Выявление предпочтений экспертов на множестве альтернатив по различным критериям;

Установление относительной важности влияния критериев на общую цель и другие критерии;

Получение ранжированных наборов альтернатив по всем критериям и целям.

Все оценки определяются экспертами. Сначала эксперты генерируется множество допустимых альтернатив, среди которых необходимо провести выбор лучшей альтернативы или упорядочивание всех элементов.

Вершиной иерархий обычно является глобальная цель, на следующих уровнях присутствуют критерии и на самом нижнем уровне - альтернативы.

Иерархическая структура критериев и целей является моделью знаний конкретной предметной области, которая изменяется и уточняется с течением времени.

Элементы одного уровня иерархии попарно сравниваются по силе их влияния на элементы более высокого уровня. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений. При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность «1», т.е. главная диагональ матрицы состоит из единиц. В МАИ используется 9-балльная шкала вида:

Интенсивности относительной важности	Определение	Объяснение
	Равная важность	Равный вклад двух объектов в достижении цели
	Умеренное превосходство одного над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному объекту над другим
	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному объекту над другим
	Значительное превосходство	Одному объекту дается настолько сильное превосходство над другим, что оно становится значимым
	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства одного объекта над другим подтверждается наиболее сильно
	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Принимаются в компромиссных случаях
Обратные величины приведенных чисел	Если при сравнении одного объекта с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3), то при сравнении второго объекта с первым получим обратную величину (т.е.1/3)

Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. Существует несколько методов оценки этого вектора. Например, суммировать элементы каждой строки матрицы и нормировать делением каждой суммы на сумму всех элементов матрицы. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т.д.

В общем случае (при наличии более трех уровней) иерархия оценивается следующим образом:

1. Производится попарное сравнение элементов 2-го уровня по степени влияния на выполнение цели. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений A 1 ;

2. Производится попарное сравнение элементов 3-го уровня по степени влияния на каждый критерий 2-го уровня. Результаты заносятся в n 1 (n 1 - количество критериев) матриц попарных сравнений A 11 ...A n1 ;

3. Действия п.2 повторяются для всех оставшихся уровней (если они есть);

4. Для каждой матрицы вычисляется вектор приоритетов;

5. Каждый элемент вектора приоритетов 2-го уровня умножается на соответствующий элемент вектора приоритетов каждой из матриц (A 11 ...A n1). После сложения всех произведений получается вектор приоритетов 3-го уровня;

6. Действия п.5 выполняются для всех оставшихся уровней.

В результате получается вектор приоритетов n-го уровня по степени влияния на выполнение цели.

Уровень цели

5. Месторасположение

4. Коллектив

2. Интересно

Уровень критериев Вектор приоритетов (0,4; 0,15; 0,25; 0,1; 0,1)

Уровень альтернатив

Матрицы попарных сравнений альтернатив имеют вид (всего их 5 – по количеству критериев, для каждого критерия своя матрица):

Векторы приоритетов альтернатив:

По критерию 1 – (0,5; 0,3; 0,2)

По критерию 2 – (0,4; 0,4; 0,2)

По критерию 3 – (0,3; 0,3; 0,4)

По критерию 4 – (0,2; 0,3; 0,5)

По критерию 5 – (0,1; 0,3; 0,6)

По влиянию на цель – (0, 365; 0,315; 0,31) Выбирается альтернатива А

0,4×0,5+0,15×0,4 + 0,25×0,3 + 0,1×0,2 + 0,1×0,1 = 0,365

0,4×0,3+ 0,15×0,4+ 0,25×0,3+ 0,1×0.3+ 0,1×0,3 = 0,315

0,4×0,2+ 0,15×0,2+ 0,25×0,4+ 0,1×0,5+0,1×0,6 = 0,32

В рамках МАИ нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется целый спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, посредством определения их приоритетов . Таким образом, метод позволяет учитывать «человеческий фактор» при подготовке принятия решения. Это одно из важных достоинств данного метода перед другими методами принятия решений.

Формирование структуры модели принятия решения в МАИ достаточно трудоемкий процесс. Однако в итоге удается получить детальное представление о том, как именно взаимодействуют факторы, влияющие на приоритеты альтернативных решений, и сами решения. Как именно формируются рейтинги возможных решений и рейтинги, отражающие важность факторов.

В рамках МАИ нет средств для проверки достоверности данных. Этот недостаток ограничивает отчасти возможности применения метода. Однако метод применяется главным образом в тех случаях, когда в принципе не может быть объективных данных, а ведущими мотивами для принятия решения являются предпочтения людей.

Работа по подготовке принятия решений часто является слишком трудоемкой для одного человека. Однако применение метода позволяет разбить большую задачу, на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.

Метод дает только способ рейтингования альтернатив, но не имеет внутренних средств для интерпретации рейтингов, т.е. считается, что ЛПР, зная рейтинг возможных решений, должен в зависимости от ситуации сам сделать вывод. Это следует признать недостатком метода.

Метод дает удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач. Он отражает естественный ход человеческого мышления и дает не только способ выявления наиболее предпочтительного решения, но и позволяет количественно выразить степень предпочтительности по средством рейтингования. Это способствует полному и адекватному выявлению предпочтений ЛПР. Кроме того, оценка меры противоречивости использованных данных позволяет установить степень доверия к полученному результату.

Примечание. Упомянутая в 2.3.2 схема оценки альтернативы по совокупности оценок ее эффективности для множества частных критериев может использоваться в рамках других МПР как самостоятельный алгоритм принятия решения на основе линейной свертки оценок по частным критериям:

1. Для каждой допустимой альтернативы A 1 ,…,A n оценить степень удовлетворения ею каждого из частных критериев К 1 ,…,К m в единой балльной шкале. В результате получаем матрицу оценок вида

с 11 ,…,с 1 m

с n 1 ,…,с nm

где с ij , 1≤i≤n, 1≤j≤m – оценка степени выполнения критерия К j в случае выбора альтернативы A i

2. Оценить относительную важность (построить веса) критериев

3 Для каждой из альтернатив A i , i=1,…,n оценить степень удовлетворения ею общей цели ЗПР как взвешенное среднее вида

3 В качестве решения выбрать ту альтернативу, которой соответствует максимальная оценка

2.3.3 Нечеткое множество и функция принадлежности

Построение моделей автоматизации процесса принятия решений для задач управления на основе экспертной информации, имеющих нечеткое описание, базируется на понятиях «нечеткое множество» и «лингвистическая переменная».

2.3.3.1 Коротко остановимся на понятии лингвистической переменной. Не вдаваясь в тонкости, ее можно определить как переменную, значениями (термами) которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: очень молодой, молодой, среднего возраста, старый, очень старый и другие - в зависимости от требуемой степени детальности описания. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения - точные числа; лингвистической она становится будучи использована в нечетких рассуждениях человека.

Каждому терму лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности, которая описывает совместимость этого терма с различными числовыми значениями.

Пример возможного соответствия значений лингвистической переменной «оценка» количественным интервальным значениям

Более детально с понятием лингвистической переменной и многочисленными примерами можно познакомиться в книге Заде, Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к понятию приближенных решений / Л.А. Заде. – М.: Мир, 1976.

2.3.3.2 В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом. Пусть U - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в настоящей задаче, например множество всех целых или действительных чисел и т.д. Характеристическая функция подмножества A  U - это функция mA, значения которой указывают, является ли элемент x из U элементом множества A. В классической теории множеств эта функция принимает два значения: mA(х)=0 (х не является элементом А) и mA(х)=1 (х является элементом А).

С точки зрения характеристической функции нечеткие множества являются естественным обобщением обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения из отрезка . В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности , а ее значение mA(x) - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

В результате нечеткое множество определяется набором пар {(x; mA(x))}, где mA - функция принадлежности

Например, запись A = {(a; 0), (b; 0,1), (c; 0,5), (d; 0,9), (e; 1)} может трактоваться следующим образом: элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом A.

Потребность в таких множествах часто возникает при рассмотрении плохоформализуемых свойств и понятий. Например, как формализовать понятие «молодой человек». Не будешь же людей младше 25 четко причислять к числу молодых, а людей старше 25 четко не причислять к молодым. Если через М обозначить множество молодых людей, то разумнее, например, принять градацию типа mМ(x)=1 для людей младше 25 лет, mМ(x)=0,8 для людей младше 30 лет, mМ(x)=0 для людей старше 50 лет и т.д.

Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных дополнительных предположений о свойствах этих функций (симметричность, монотонность, непрерывность первой производной и т.д.) с учетом специфики имеющейся неопределенности, реальной ситуации на объекте и числа степеней свободы в функциональной зависимости. Вид данной функции носит в значительной мере субъективный характер. Уменьшить степень этой субъективности можно, используя метод экспертных оценок, суть которого состоит в том, что как вид функции принадлежности, так и значения соответствующих параметров являются результатом коллективного творчества группы специалистов в рассматриваемой области - экспертов.

Во многих практических ситуациях функция принадлежности должна быть оценена исходя из частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном множестве опорных точек х 1 ,...,х n . В этом случае говорят, что она частично определена с помощью "поясняющего примера".

На рис. приведены все основные виды функций принадлежности, применяемые в теории нечетких множеств.

Рис.4.1. Примеры различных способов построения функций принадлежности.

Рисунок – Классификация методов построения функций принадлежности нечетких множеств

Прямые методы характеризуются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности μ А (х), характеризующей элемент х.

Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве элементов Х следующим образом:

1. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) < μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 2 предпочтительнее х 1 , т.е. в большей степени характеризуется свойством А;

2. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) = μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 1 и х 2 безразличны относительно свойства А.

Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Разновидностями прямых методов являются прямые групповые методы , когда, например, группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый должен дать один из двух ответов: принадлежит или нет этот объект к заданному множеству. Тогда число утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение функции принадлежности объекта к данному нечеткому множеству.

Прямыми методами являются также непосредственное задание функции принадлежности таблицей, графиком или формулой.

Из анализа результатов исследований и решения практических задач, связанных с необходимостью обрабатывать информацию, известно, что прямые методы в основном используются в качестве вспомогательных, т. к. характеризуются большой долей субъективизма.

Косвенные методы построения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяются нечеткие множества.

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям . Экспертная информация является только исходной информацией для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру ее обработки. К таким методам относятся статистический метод, метод парных сравнений, метод экспертных оценок и ряд других. Например, метод построения функции принадлежности на основе парных сравнений основан на обработке матриц оценок, отражающих мнение эксперта об относительной принадлежности элементов множеству или степени выраженности у них свойства, формализуемого множеством. Метод статистических данных основан на обработке статистической информации. В качестве степени принадлежности элемента множеству принимается оценка частоты использования понятия, задаваемого нечетким множеством, для характеристики элемента.

На универсальной шкале необходимо разместить значения лингвистической переменной: ОЧЕНЬ МАЛО, МАЛО, СРЕДНЕ, МНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО. Тогда степень принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа экспериментов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к максимальному для этого значения числу экспериментов по всем интервалам . Метод основывается на условии, что в каждый интервал шкалы попадает одинаковое число экспериментов. Это условие часто не соблюдается. В реальных случаях составляется эмпирическая таблица, в которой эксперименты могут быть распределены неравномерно по интервалам, а в некоторые интервалы могут вообще не попасть.

Данный метод может быть использован для формализации задачи выбора альтернатив, т. к. эксперты могут определить конкретное множество допустимых альтернатив и удалить не нужные. В данном случае оценки отдельных экспертов можно рассматривать как независимые реализации случайной величины.

Построение функции принадлежности на основе экспертных оценок - данный метод построения функций принадлежности основан на использовании нечетких чисел, приблизительно равных некоторому четкому числу, и приближенных интервальных оценок, отражающих мнения экспертов по рассматриваемому вопросу. Задача сводится к отысканию параметров заранее заданной (экспоненциальной) функции, при решении которой используются результаты экспертного опроса. Этот метод часто целесообразнее всего использовать при решении задач выработки и оценки альтернатив.

Построение функций принадлежности на основе интервальных оценок. Данный метод применяется для формализованного представления задач выбора, в которых отсутствует четкая грань между допустимым и недопустимым (в пространстве неуправляемых параметров) и между идеальным и неудовлетворительным состояниями (в пространстве критериев).