Что такое метод доказательства «от противного»?

Суть метода доказательства от противного заключается в два этапах. Первое в доказательстве СУЩЕСТВОВАНИЯ самого доказательства и второе в доказательстве ЕДИНСТВЕННОСТИ доказания. Коряво описал, но хотел сказать следующее. При доказательстве теорем таким методом нужно показать, что существует решение данной задачи или теоремы, а затем доказать, что это решение будет единственное. Это не единственный метод применяемый в доказательстве теорем, но как математический и логический инструмент небезынтересный.

Метод доказательства от противного используется не только в математике, хотя там и получил довольно широкое распространение в качестве инструмента доказательства отдельных задач и теорем.

На самом деле это логический метод доказательства любых утверждений, который может быть применен в любой области знаний. Даже в гуманитарных и социальных науках. Просто, в технических науках мы имеем дело с цифрами, а многих людей убеждает как раз наличие этих значков, а в мире логики мы оперируем умозаключениями, которые никогда не могут считаться абсолютной истиной.

Этот метод доказательства мы изучали в школе в средних классах, когда берется за основу какое-то утверждение, которое никак не доказать, вместо этого берут прямо противоположное ему утверждение, доказывают, что оно неверно-следовательно, то, что нам не доказать, верно, и это единственное верное решение данного вопроса.

В жизни мы говорим о чем-то, доказать не можем, но приводим пример противоположный и доказываем, что он неверен: из тайника украли деньги, знали о нем Вася и Петя, но у Пети алиби-он уехал на дачу на всю неделю, значит, деньги украл Вася.

Методом доказательства от противного называется способ при котором недоказуемая истина, становится истиной, только лишь потому что иное всегда не правильно - а это как раз то и доказуемо. Соответственно, в результате этого метода, пусть и косвенно, но мы доказали недоказуемую истину

Данный закон основывается на законе двойного отрицания если не верно А, то А верно.

К примеру у вас как вы думаете язва. Ваш врач для того что бы опровергнуть это суждение, доказывает вам опровергая то в чем вы уверенны, то есть ваше утверждение и говорит, что у вас нет язвы так как гастроскопия показало что в полости желудка нет повреждений, вы не теряете вес и можете есть все что захотите.

Стандартный прием, например, в математике. Нужно доказать утверждение А. А это трудно. Тогда берут прямо противоположное утверждение В, и доказывают, что оно неверно. Отсюда следует, что А - истинно. То же и в жизни. Простой пример: некто говорит: Мистер Х - вор. Его оппонент: Но как это доказать? Первый: Предположим, что он - честный человек. Второй: Да это же курам насмех!. Первый: Вот мы и доказали, что Х - вор :)))

Ложен, мы тем самым обосновываем истинность противоположного ему положения - тезиса. Напр., врач, убеждая пациента в том, что тот не болен гриппом, может рассуждать следующим образом: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т.д. Но ничего этого нет. Следовательно, нет и гриппа». Доказательство некоторого положения от противного - это истинности данного положения, опирающееся на демонстрацию ложности «противного» (противоречащего) положения и исключенного третьего.
Общая Д. от п. описывается следующим образом. Нужно доказать некоторое А. В процессе доказательства сначала формулируется противоположное ему высказывание не-А и предполагается, что истинно: допустим, что А ложно, тогда должно быть истинно не-А. Затем из этого якобы истинного антитезиса выводятся следствия - до тех пор, пока либо не получится , либо такое , которое явным образом противоречит известному истинному высказыванию. Если показано, что не-А ложно, то тем самым обоснована истинность тезиса А (см. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).

Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

(лат. reduc-tio ad absurdum) , вид доказательства, при кром «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через противоречащего ему суждения - антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с к.-л. заведомо истинным суждением. Этой форме Д. от п. соответствует след. схема доказательства: если В истинно и из А следует ложность В, то А - ложно. Другая, более общая Д. от п. - это путём опровержения (обоснования ложности) антитезиса по правилу: допустив А, вывели , следовательно - не-А. Здесь А может быть как утвердительным, так и отрицательным суждением. В последнем случае Д. от п. опирается на и закон двойного отрицания. Помимо указанных выше, существует «парадоксальная» форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: А можно считать доказанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

Лит.: Тарский Α., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Асмус В. Ф., Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Чёрч Α., Введение в математич. логику, пер. с англ., [т.] 1, М., 1960.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

Смотреть что такое "ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО" в других словарях:

- (proof by contradiction) Доказательство, при котором признание исходной предпосылки неверной ведет к противоречию. То есть предположение об ошибочности исходной посылки позволяет одновременно и доказать какое либо утверждение, и опровергнуть его; … Экономический словарь

Один из видов косвенного доказательства … Большой Энциклопедический словарь

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Один из видов косвенного доказательства. * * * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО, один из видов косвенного доказательства (см. КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) … Энциклопедический словарь

Доказательство от противного - (лат. reduction ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Исследовательская деятельность. Словарь

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО - (лат. reductio ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Профессиональное образование. Словарь

См.: Косвенное доказательство … Словарь терминов логики

- (лат. reductio ad absurdum) вид Доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается… … Большая советская энциклопедия

Занятие рассчитано на 2академ. часа.

Цель: изучить различные методы доказательств (прямое рассуждение, метод «от противного» и обратное рассуждение), иллюстрирующие методологию рассуждений. Рассмотреть метод математической индукции.

Теоретический материал Методы доказательств

При доказательстве теорем применяется логическая аргументация. Доказательства в информатике  неотъемлемая часть проверки корректности алгоритмов. Необходимость доказательства возникает, когда нам нужно установить истинность высказывания вида (АВ). Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:

Прямое рассуждение (доказательство).

Предполагаем, что высказывание А истинно и показываем справедливость В. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда A истинно, a B  ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (АВ) принимает ложное значение (см. табл).

Таким образом, прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, т. е. истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такая: из данных аргументов (а, b, с, ...) необходимо следует доказываемый тезис q.

По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем и т. д.

Примеры:

1. Учитель на уроке при прямом доказательстве тезиса “Народ  творец истории”, показывает; во-первых , что народ является соз­дателем материальных благ, во-вторых , обосновывает огромную роль народных масс в политике, разъясняет, как в современную эпоху народ ведет активную борьбу за мир и демократию, в-треть­их , раскрывает его большую роль в создании духовной культуры.

2. На уроках химии прямое доказательство о горючести сахара может быть представлено в форме категорического силлогизма: Все углеводы - горючи. Сахар - углевод. Сахар горюч.

В современном журнале мод “Бурда” тезис “Зависть - ко­рень всех зол” обосновывается с помощью прямого доказатель­ства следующими аргументами: “Зависть не только отравляет людям повседневную жизнь, но может привести и к более серь­езным последствиям, поэтому наряду с ревностью, злобой и ненавистью, несомненно, относится к самым плохим чертам характера. Подкравшись незаметно, зависть ранит больно и глубоко. Че­ловек завидует благополучию других, мучается от сознания того, что кому-то больше повезло”".

2. Обратное рассуждение (доказательство ) . Предполагаем, что высказывание В ложно и показываем ошибочность А. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((не В)(не А)), что согласно таблицы, логически эквивалентно истинности исходного утверждения (АВ).

3. Метод «от противного».

Этот метод часто используется в математике. Пусть а - тезис или теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т. е. истинно не-а (или ). Из допущениявыводим следствия, которые противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем
, при этом- ложно, значит, истинно его отрицание, т.е. , которое по закону двузначной классической логики (→а ) дает а. Значит, истинно а , что и требовалось доказать.

Примеров доказательства “от противного” очень много в школьном курсе математики. Так, пример, доказывается теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Методом “от противного” доказывается и следующая теорема: “Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны”. Доказательство этой теоремы пpямо начинается словами: “Предположим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны”.

Часто при доказательстве теорем пользуются методом доказательства от противного . Суть этого метода помогает понять загадка. Попробуйте её разгадать.

Представьте себе страну, в которой приговорённому к казни предлагается выбрать одну из двух одинаковых на вид бумаг: на одной написано «смерть», на другой - «жизнь». Враги оклеветали одного жителя этой страны. И, чтобы у него не осталось никаких шансов спастись, сделали так, что на обороте обоих бумажек, из которых он должен выбрать одну, было написано «смерть». Друзья узнали об этом и сообщили осуждённому. Он попросил никому об этом не рассказывать. Вытащил одну из бумажек. И остался жить. Как ему это удалось?

Ответ. Осуждённый проглотил выбранную им бумажку. Чтобы установить, какой жребий ему выпал, судьи заглянули в оставшуюся бумажку. На ней было написано: «смерть». Это доказывало, что ему повезло, он вытащил бумажку, на которой было написано: «жизнь».

Как в случае, о котором рассказывает загадка, при доказательстве возможны только два случая: можно… или нельзя… Если удастся убедится, что первое невозможно (на бумажке, которая досталась судьям, написано: «смерть»), то сразу можно сделать вывод, что справедлива вторая возможность (на второй бумажке написано: «жизнь»).

Доказательство методом «от противного» осуществляется так.

1) Устанавливают, какие варианты в принципе возможны при решении задачи или доказательстве теоремы. Вариантов может быть два (например, перпендикулярны ли не перпендикулярны рассматриваемые прямые); вариантов ответа может быть три и больше (например, какой получается угол: острый, прямой или тупой).

2) Доказывают. Что не может выполняться ни один из тех вариантов, которые нам необходимо отбросит. (Например, если надо доказать, что прямые перпендикулярные, смотрим, что получается, если рассматривать не перпендикулярные прямые. Как правило, удаётся установить, что в этом случае какой-либо из выводов противоречит тому, что дано в условии, а потому невозможен.

3) На основании того, что все нежелательные выводы отброшены и только один (желательный) остался нерассмотренным, делаем вывод, что именно он верный.

Решим задачу, используя доказательство от противного.

Дано: прямые а и b такие, что любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b.

Используя метод доказательства «от противного», доказать, что а ll b.

Доказательство.

Возможны только два случая:

1) прямые а и b параллельны (жизнь);

2) прямые а и b не параллельны (смерть).

Если удастся исключить нежелательный случай, то останется сделать вывод, что имеет место второй из двух возможных. Чтобы отбросить нежелательный случай, давайте подумаем, что произойдёт, если прямые а и b пересекаются:

По условию любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b. Поэтому, если удастся найти хотя бы одну прямую, которая пересекает а, но не пересекает b, этот случай надо будет отбросить. Таких прямых можно найти сколько угодно: достаточно провести через любую точку К прямой а, кроме точки М прямую КС, параллельную b:

Поскольку отброшен один из двух возможных случаев, можно сразу сделать вывод, что а ll b.

Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Доказательство от противного – мощный и часто используемый в математике метод. Предположив, что некоторый факт (объект) является истинным (существует), и придя к противоречию, мы заключаем, что факт ложен (объект не существует). Рассмотрим несколько примеров.

Теорема Евклида о бесконечности простых чисел является классическим и самым простым рассуждением от противного:

Не существует самого большого простого числа .

: Пусть это не так, и самое большое простое число существует. Построим число . Оно не делится ни на одно , и больше чем . Мы пришли к противоречию, следовательно, самого большого простого числа (как объекта!) не существует и простых чисел бесконечно много.

Заметим, что не обязательно простое, так как его простой множитель может находится между и , но всё равно будет большим .

Теорема об иррациональности

Не существует натуральных и , таких, что .

: Пусть это не так. Сократим общие множители у , , и возведём всё в квадрат: . Отсюда следует, что является чётным числом, поэтому тоже чётно и представимо при помощи некоторого натурального , как . Подставляя в исходное соотношение, получаем , а, следовательно, и чётно. Но это противоречит тому, что мы сократили все общие множители, а значит таких и не существует.

Психологическая убедительность обоих доказательств не вызывает сомнений. Тем не менее, необходимо помнить, что получив противоречие, мы не всегда доказываем то, что хотим доказать. Противоречие не обязательно свидетельствует об ошибочности исходной посылки. Его может дать любое из утверждений использовавшихся при доказательстве. Особенно их много в теореме об иррациональности . Однако, они на столько "очевидны", что мы считаем ошибочной именно исходную посылку.

Видно, что схема доказательства приведенных теорем одинаковая. Мы показываем, что некоторый объект не существует, если предположение о его существовании приводит к противоречию.

Проблема Брадобрея . В некоторой деревне все мужчины бреются либо сами, либо у брадобрея. Брадобрей (мужчина) бреет только тех, кто сам не бреется. Сформулируем теорему:

Брадобрей бреет себя сам.

Пусть это не так, и брадобрей себя не бреет. Тогда он должен бриться у брадобрея. Значит брадобрей бреет себя.

Сделав отрицание теоремы, и получив противоречие, мы должны прийти к выводу, что теорема верна. Но совершенно ясно, что это не так, и мы можем построить не только обратное доказательство, но и прямое: "если брадобрей бреется сам, то он не может бриться у брадобрея...". В этом случае вновь получается противоречие.

Приведенное описание деревни со строгими правилами принадлежит Бертрану Расселу, как популярная формулировка проблем, возникающих в попытке определить "множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента". Мы умышленно явный парадокс представили в виде теоремы, чтобы продемонстрировать простой факт:

Получение противоречия в доказательстве от противного может свидетельствовать не об истинности теоремы, а о противоречивости объектов которые участвуют в её формулировке.

Другими словами, нельзя сказать: "возьмём множество всех множеств..." и докажем "теорему о том, что..." Сначала необходимо убедиться, что объект, о котором будет идти речь в теореме, существует. В частности, деревня, описанная Расселом, существовать не может. Конечно, возникает вопрос – "а что значит существовать или не существовать, и где не существовать?" Есть объект, определённый выше, и мы можем использовать его при построении новых объектов и теорем о них...

Дело в том, что математическое рассуждение явно или не явно исходит из некоторых аксиом. Именно аксиомы задают свойства объекта. Если в фиксированной системе аксиом поменять хотя бы одну аксиому, может получиться объект с совершенно другими свойствами. Понятно, что произвольно задавать аксиомы нельзя. Они не должны быть противоречивыми , иначе никакого объекта определять не будут. Или, другими словами, – объект определяемый при помощи противоречивых аксиом не существует.

Подробнее мы обсудим элементы формальных аксиоматических систем в следующем разделе, где снова проанализируем проблему брадобрея. Сейчас же рассмотрим ещё одну версию того же парадокса.

Проблема Библиотекаря . Существует Библиотека с книгами. Любая книга внутри своего текста может упомянуть сама себя (например, в списке литературы привести свое название). Соответственно все книги можно разделить на две группы. В первую попадают книги, которые на себя не ссылаются, а во вторую – ссылающиеся на себя книги. Кроме этого, существуют две книги, являющиеся каталогами всех книг Библиотеки. Первый каталог перечисляет все те книги, которые на себя не ссылаются, а второй, наоборот – все ссылающиеся на себя книги:

Сформулируем теперь теорему:

Первый каталог содержит

в списке книг себя.

Пусть это не так. Тогда первый каталог содержится во втором (все книги перечислены в обоих каталогах и каталог есть книга). Но во втором каталоге перечисляются только самоссылающиеся книги, и первого каталога там быть не может. Мы пришли к противоречию, следовательно теорема верна.

Если мы остановимся на этом этапе, то получим заведомо неверный вывод. Понятно, что первый каталог на себя ссылаться не может (он является каталогом не самоссылающихся книг). Как и в случае с брадобреем, мы можем провести как обратное доказательство (от противного), так и прямое. И оба раза получить противоречие.

О чём оно говорит? Понятно, что не об истинности или ложности теоремы. Веря в то, что два различных доказательства должны всегда приводить к одному и тому же, мы вынуждены сделать вывод: объект Библиотека , c заданными свойствами, существовать не может .

Любая ссылка на "естественность" или "видимую не противоречивость" исходных определений не достойна математика, так как это уже эмоции. Единственный путь – попытаться уйти от психологических формулировок и доказательств к формальным.

Парадокс лжеца . Вся математика состоит из логических утверждений. При этом логика математики бинарна. Утверждение "" или истинно или ложно. Третьего не дано. Именно эта бинарность придаёт математическому доказательству ту чудесную убедительность, ради которой всё и затевалось. Введем обозначение того, что некое логическое утверждение является истинным:

.

На самом деле обозначение излишне, так как записывая в качестве аксиомы или посылки некоторое утверждение , мы предполагаем его истинность. Однако, такое обозначение будет удобно для дальнейшего. Определим высказывание:

где "" – знак логического отрицания, а после двоеточия идёт определение утверждения . Оно является вариантом парадокса лжеца: " – истинно, если не истинно ". Сформулируем следующую теорему:

Утверждение L является истинным: L=И.

пусть L=Л => True(L)=Л => L=True(L)=И.

(Далее "" означает логический вывод; "И" – истина, "Л" – ложь). В доказательстве от противного, мы пришли к противоречию. Поэтому исходная посылка не верна и, следовательно, теорема верна. Однако понятно, что это не так. Мы можем провести доказательство и в прямом направлении.