Гипотезу плоских сечений при изгибе можно объяснить на примере: нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси) прямых линий. В результате изгиба балки продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные практически останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси балки.

Формулировка гипотезы плоских сечения : поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до , остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации.

Это обстоятельство свидетельствует: при выполняется гипотеза плоских сечений , как при и

Помимо гипотезы плоских сечений принимается допущение : продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга.

Гипотезу плоских сечений и допущение называют гипотезой Бернулли .

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, испытывающую чистый изгиб (). Выделим элемент балки длиной (рис. 7.8. а). В результате изгиба поперечные сечения балки повернутся, образовав угол . Верхние волокна испытывают сжатие, а нижние растяжение. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим .

Условно считаем, что волокна изменяют свою длину, оставаясь при этом прямыми (рис. 7.8. б). Тогда абсолютное и относительное удлинения волокна, отстоящего на расстоянии y от нейтрального волокна:

Покажем, что продольные волокна, не испытывающие при изгибе балки ни растяжения, ни сжатия, проходят через главную центральную ось x.

Поскольку длина балки при изгибе не изменяется, продольное усилие (N), возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие .

С учетом выражения :

Множитель можно вынести за знак интеграла (не зависит от переменной интегрирования).

Выражение представляет поперечного сечения балки относительно нейтральной оси x. Он равен нулю, когда нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения. Следовательно, нейтральная ось (нулевая линия) при изгибе балки проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Очевидно: изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, возникающими в точках поперечного сечения стержня. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой :

,

где – осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси x, а отношение - кривизна оси балки.

Жесткость балки при изгибе (чем больше, тем меньше радиус кривизны ).

Полученная формула представляет собой закон Гука при изгибе для стержня : изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении, пропорционален кривизне оси балки.

Выражая из формулы закона Гука для стержня при изгибе радиус кривизны () и подставляя его значение в формулу , получим формулу для нормальных напряжений () в произвольной точке поперечного сечения балки, отстоящей на расстоянии y от нейтральной оси x : .

В формулу для нормальных напряжений () в произвольной точке поперечного сечения балки следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента () и расстояния от точки до нейтральной оси (координаты y). Будет ли напряжение в данной точке растягивающим или сжимающим легко установить по характеру деформации балки или по эпюре изгибающих моментов, ординаты которой откладываются со стороны сжатых волокон балки.

Из формулы видно: нормальные напряжения () изменяются по высоте поперечного сечения балки по линейному закону. На рис. 7.8, в показана эпюра . Наибольшие напряжения при изгибе балки возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Если в поперечном сечении балки провести линию, параллельную нейтральной оси x, то во всех ее точках возникают одинаковые нормальные напряжения.

Несложный анализ эпюры нормальных напряжений показывает, при изгибе балки материал, расположенный вблизи нейтральной оси, практически не работает. Поэтому в целях снижения веса балки рекомендуется выбирать такие формы поперечного сечения, у которых большая часть материала удалена от нейтральной оси, как, например, у двутаврового профиля.

Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м.

Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб

Рис. 3.12

Решение задачи "прямой поперечный изгиб"

Определяем опорные реакции

Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.

Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:

Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.

Из первого уравнения находим момент в заделке :

Из второго уравнения – вертикальную реакцию :

Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.

В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.

Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.

Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому

кН.

Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому

кН·м.

Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому

кН; кН·м.

Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем

кН;

Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда

кН·м.

кН·м.

.

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).

Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.

Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

,

где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:

.

Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: кН·см.

Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле

см.

Принимаем мм. Тогда

кН/см2 кН/см2.

«Перенапряжение» составляет

,

что допускается.

Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле

,

где – площадь поперечного сечения.

Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно кН. Тогда

кН/см2 кН/см2,

то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.

Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2

Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб

Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м.

Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема

Рис. 3.13

Решение примера задачи на прямой изгиб

Определяем опорные реакции

Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: .

Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики:

Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины.

;

кН.

Делаем проверку: .

Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс:

то есть верно.

Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов

Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением.

Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН.

Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому

Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).

Сечение 3. Закроем правую часть. Получим

Сечение 4. Закрываем листком правую часть балки. Тогда

Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН·м.

То есть все верно.

Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь

кН;

кН·м.

Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим

кН;

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в).

Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.

Силы, действующие перпендикулярно к оси бруса и располо­женные в плос-кости, проходящей через эту ось, вызывают дефор­мацию, называемую попереч-ным изгибом . Если плоскость действия упомянутых сил – главная плоскость, то имеет место прямой (плоский) поперечный изгиб. В противном случае изгиб называет­ся косым поперечным. Брус, подверженный преимущественно из­гибу, называется балкой 1 .

По существу поперечный изгиб есть сочетание чистого изги­ба и сдвига. В связи с искривлением поперечных сечений из-за неравномерности распределе-ния сдвигов по высоте возникает вопрос о возможности применения формулы нормального напряжения σ х , выведенной для чистого изгиба на основании гипотезы плоских сечений.

1 Однопролетная балка, имеющая по концам соответственно одну цилиндрическую неподвижную опору и одну цилиндрическую подвижную в направлении оси балки, называется простой . Балка с одним защемленным и другим свободным концом называется консолью . Простая балка, имеющая одну или две части, свешивающиеся за опору, называется консольной .

Если, кроме того, сечения взяты далеко от мест приложения нагрузки (на расстоянии, не меньшем половины высоты сечения бруса), то можно, как и в случае чистого изгиба, считать, что волокна не оказывают давления друг на друга. Значит, каждое волокно испытывает одноосное растяжение или сжатие.

При действии распределенной нагрузки поперечные силы в двух смежных сечениях будут отличаться на величину, рав­ную qdx . Поэтому искривления сечений будут также несколько отличаться. Кроме того, волокна будут оказывать давление друг на друга. Тщательное исследование вопроса показывает, что если длина бруса l достаточно велика по сравнению с его высотой h (l / h > 5), то и при распределенной нагрузке указанные факторы не оказывают существенного влияния на нормальные напряжения в поперечном сечении и потому в практических расчетах могут не учитываться.

а б в

Рис. 10.5 Рис. 10.6

В сечениях под сосредоточенными грузами и вблизи них распределение σ х отклоняется от линейного закона. Это отклонение, носящее местный характер и не сопровождающееся увеличением наибольших напряжений (в крайних волокнах), на практике обычно не принимают во внимание.

Таким образом, при поперечном изгибе (в плоскости ху ) нор­мальные напряжения вычисляются по формуле

σ х = – [М z (x )/I z ]y .

Если проведем два смежных сечения на участке бруса, свободном от нагрузки, то поперечная сила в обоих сечениях будет одинакова, а значит, одинаково и искривление сечений. При этом какой-либо отрезок волокна ab (рис.10.5) переместится в новое положение a"b" , не претерпев дополнительного удлинения, и следовательно, не меняя величину нормального напряжения.

Определим касательные напряжения в поперечном сечении через парные им напряжения, действующие в продольном сечении бруса.

Выделим из бруса элемент длиной dx (рис. 10.7 а). Проведём горизонта-льное сечение на расстоянии у от нейтральной оси z , разделившее элемент на две части (рис. 10.7) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основа-

ние шириной b . В соответствии с законом парности касательных напряжений, напряжения действующие в продольном сечении равны напряжениям, действующим в поперечном сечении. С учётом этого в предположении о том, что касательные напряжения в площадке b распределены равномерно ис-пользуем условие ΣХ = 0, получим:

N * - (N * +dN *)+

где: N * - равнодействующая нормальных сил σв левом поперечном сече-нии элемента dx в пределах “отсечённой” площадки А * (рис. 10.7 г):

где: S=- статический момент “отсечённой” части поперечного сече-ния (заштрихованная площадь на рис. 10.7 в). Следовательно, можно записать:

Тогда можно записать:

Эта формула была получена в XIX веке русским ученым и инженером Д.И. Журавским и носит его имя. И хотя эта формула приближенная, так как усредняет напряжение по ширине сечения, но полученные результаты расчета по ней, неплохо согласуются с экспериментальными данными.

Для того, чтобы определить касательные напряжения в произвольной точке сечения отстоящей на расстоянии y от оси z следует:

Определить из эпюры величину поперечной силы Q, действующей в сечении;

Вычислить момент инерции I z всего сечения;

Провести через эту точку плоскость параллельную плоскости xz и определить ширину сечения b ;

Вычислить статический момент отсеченной площади Sотносительно главной центральной оси z и подставить найденные величины в формулу Жура-вского.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоуголь-ном поперечном сечении (рис. 10.6, в). Статический момент относительно оси z части сечения выше линии 1-1, на которой определяется напряжения запишем в виде:

Он изменяется по закону квадратной параболы. Ширина сечения в для прямоугольного бруса постоянна, то параболическим будет и закон изменения касательных напряжений в сечении (рис.10.6, в). При y =и у = − каса-тельные напряжения равны нулю, а на нейтральной оси z они достигают наибольшего значения.

Для балки круглого поперечного сечения на нейтральной оси имеем.

При построении эпюры изгибающих моментов М у строителей при­нято: ординаты, выражающие в определенном масштабе положительные значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. - вниз , а отрицательные - вверх от оси балки. Поэтому говорят, что строители строят эпюры на растянутых волокнах. У механиков положительные значения и поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх. Механики строят эпюры на сжатых волокнах.

Главные напряжения при изгибе. Эквивалентные напряжения .

В общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения . Эти напряжения изменяются как по длине, так и по высоте балки.

Таким образом, в случае изгиба имеет место плоское напряженное состояние.

Рассмотрим схему, где балка нагружена силой Р

Наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних, наиболее удаленных от нейтральной линии точках, а касательные напряжения в них отсутствуют. Таким образом, для крайних волокон ненулевыми главными напряжениями являются нормальные напряжения в поперечном сечении.

На уровне нейтральной линии в поперечном сечении балки возникают наибольшие касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю . значит, в волокнах нейтрального слоя главные напряжения определяются значениями касательных напряжений.

В данной расчетной схеме верхние волокна балки будут растянуты, а нижние – сжаты. Для определения главных напряжений используем известное выражение:

Полный анализ напряженного состояния представим на рисунке.

Анализ напряженного состояния при изгибе

Наибольшее главное напряжение σ 1 находится на верхних крайних волокнах и равно нулю на нижних крайних волокнах. Главное напряжение σ 3 имеет наибольшее по абсолютной величине значение на нижних волокнах.

Траектория главных напряжений зависит от типа нагрузки и способа закрепления балки.

При решении задач достаточно отдельно проверить нормальные и отдельно касательные напряжения. Однако иногда наиболее напряженными оказываются промежуточные волокна, в которых имеются и нормальные, и касательные напряжения. Это происходит в сечениях, где одновременно и изгибающий момент, и поперечная сила достигают больших значений — это может быть в заделке консольной балки, на опоре балки с консолью, в сечениях под сосредоточенной силой или в сечениях с резко меняющейся шириной. К примеру, в двутавровом сечении наиболее опасны места примыкания стенки к полке — там имеются значительные и нормальные, и касательные напряжения.

Материал находится в условиях плоского напряженного состояния и требуется проверка по эквивалентным напряжениям.

Условия прочности балок из пластичных материалов по третьей (теории наибольших касательных напряжений) и четвертой (теория энергии формоизменений) теориям прочности.

Как правило,в прокатных балках эквивалентные напряжения не превышают нормальных напряжений в крайних волокнах и специальной проверки не требуется. Другое дело - составные металлические балки, у которых стенка тоньше , чем у прокатных профилей при той же высоте. Чаще применяются сварные составные балки из стальных листов. Расчет подобных балок на прочность: а) подбор сечения — высоты, толщины, ширины и толщины поясов балки; б) проверка прочности по нормальным и касательным напряжениям; в) проверка прочности по эквивалентным напряжениям.

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении . Рассмотрим сечение двутавра. S x =96,9 см 3 ; Yх=2030 см 4 ; Q=200 кН

Для определения касательного напряжения применяется формула ,где Q — поперечная сила в сечении, S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:

Вычислим статический момент для верхней полки:

Теперь вычислим касательные напряжения:

Строим эпюру касательных напряжений:

Рассмотрим сечение стандартного профиля в виде двутавра и определим касательные напряжения , действующие параллельно поперечной силе:

Рассчитаем статические моменты простых фигур:

Эту величину можно вычислить и иначе , используя то обстоятельство, что для двутаврового и корытного сечения в дан статический момент половины сечения. Для этого необходимо вычесть из известной величины статического момента величину статического момента до линии А 1 В 1:

Касательные напряжения в месте примыкания полки к стенке изменяются скачкообразно , так как резко изменяется толщина стенки от t ст до b .

Эпюры касательных напряжений в стенках корытного, полого прямоугольного и других сечений имеют тот же вид, что и в случае двутаврового сечения. В формулу входит статический момент заштрихованной части сечения относительно оси Х, а в знаменателе ширина сечения (нетто) в том слое, где определяется касательное напряжение.

Определим касательные напряжения для круглого сечения.

Так как у контура сечения касательные напряжения должны быть направлены по касательной к контуру, то в точках А и В у концов какой-либо параллельной диаметру хорде АВ, касательные напряжения направлены перпендикулярно радиусам ОА и ОВ. Следовательно, направления касательных напряжений в точках А , В, К сходятся в некоторой точке Н на оси Y.

Статический момент отсеченной части:

То есть касательные напряжения меняются по параболическому закону и будут максимальны на уровне нейтральной линии, когда у 0 =0

Формула для определения касательных напряжений (формула )

Рассмотрим прямоугольное сечение

На расстоянии у 0 от центральной оси проведем сечение 1-1 и определим касательные напряжения. Статический момент площади отсеченной части:

Следует иметь в виду, что принципиально безразлично , брать статический момент площади заштрихованной или остальной части поперечного сечения. Оба статических момента равны и противоположны по знаку , поэтому их сумма, которая представляет статический момент площади всего сечения относительно нейтральной линии, а именно центральной оси х, будет равна нулю.

Момент инерции прямоугольного сечения:

Тогда касательные напряжения по формуле

Переменная у 0 входит в формулу во второй степени, т.е. касательные напряжения в прямоугольном сечении изменяются по закону квадратной параболы.

Касательные напряжения достигнут максимума на уровне нейтральной линии, т.е. когда у 0 =0:

, где А -площадь всего сечения.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

, где S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение,Q -поперечная сила, τ — касательное напряжение, [τ] — допускаемое касательное напряжение.

Данное условие прочности позволяет производить три вида расчета (три типа задач при расчете на прочность):

1. Проверочный расчет или проверка прочности по касательным напряжениям:

2. Подбор ширины сечения (для прямоугольного сечения):

3.Определение допускаемой поперечной силы (для прямоугольного сечения):

Для определения касательных напряжений рассмотрим балку, нагруженную силами.

Задача по определению напряжений всегда статически неопределима и требует привлечения геометрических и физических уравнений. Однако можно принять такие гипотезы о характере распределения напряжений , что задача станет статически определимой.

Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями 1-1 и 2-2 выделим элемент dz, изобразим его в крупном масштабе, затем проведем продольное сечение 3-3.

В сечениях 1–1 и 2–2 возникают нормальные σ 1 , σ 2 напряжения , которые определяются по известным формулам:

где М — изгибающий момент в поперечном сечении, dМ — приращение изгибающего момента на длине dz

Поперечная сила в сечениях 1–1 и 2–2 направлена вдоль главной центральной оси Y и, очевидно, представляет сумму вертикальных составляющих внутренних касательных напряжений, распределенных по сечению . В сопротивлении материалов обычно принимается допущение о равномерном их распределении по ширине сечения.

Для определения величины касательных напряжений в какой-либо точке поперечного сечения, расположенного на расстоянии у 0 от нейтральной оси Х, проведем через эту точку плоскость, параллельную нейтральному слою (3-3), и вынесем отсеченный элемент. Будем определять напряжение, действующее по площадке АВСД.

Спроецируем все силы на ось Z

Равнодействующая внутренних продольных сил по правой грани будет равна:

где А 0 – площадь фасадной грани, S x 0 – статический момент отсеченной части относительно оси Х . Аналогично на левой грани:

Обе равнодействующие направлены навстречу друг другу, поскольку элемент находится в сжатой зоне балки. Их разность уравновешивается касательными силами на нижней грани 3-3.

Предположим, что касательные напряжения τ распределены по ширине поперечного сечения балки b равномерно . Такое допущение тем вероятнее, чем меньше ширина по сравнению с высотой сечения. Тогда равнодействующая касательных сил dT равна значению напряжений, умноженному на площадь грани:

Составим теперь уравнение равновесия Σz=0:

или, откуда

Вспомним дифференциальные зависимости , согласно которым Тогда получаем формулу:

Эта формула получила название формулы . Эта формула получена в 1855 г. Здесь S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение, Q -поперечная сила в сечении.

— условие прочности при изгибе, где

- максимальный момент (по модулю) с эпюры изгибающих моментов; - осевой момент сопротивления сечения,геометрическая характеристика; - допускаемое напряжение (σ adm)

- максимальное нормальное напряжение.

Если расчет ведется по методу предельных состояний ,то в расчет вместо допускаемого напряжения вводится расчетное сопротивление материала R.

Типы расчетов на прочность при изгибе

1. Проверочный расчет или проверка прочности по нормальным напряжениям

2. Проектный расчет или подбор сечения

3. Определение допускаемой нагрузки (определение грузоподъемност и или эксплуатационной несущей способности)

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту , а поперечная сила оказывается равной нулю . Этот случай изгиба носит название чистого изгиба . Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков , в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза ) . Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил , возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде: (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации , а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:, где -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину . Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине,тогда:

Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Теперь перейдем к напряжениям , т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2) имеем (3), т.е. нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь как постоянную величину, тогда имеем. Но выражение - это осевой момент инерции сечения относительно оси х - I х . Его размерность см 4 , м 4

Тогда ,откуда (4) ,где - это кривизна изогнутой оси балки, а - жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5)

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение (6) называют осевым моментом сопротивления сечения . Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения: (7)

Условие прочности при изгибе: (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения ,т.к. имеется поперечная сила . Касательные напряжения усложняют картину деформирования , они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений . Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5) . Таким образом,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст или с учетом (3) . По тем же соображениям (см. выше) . В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у равен нулю , значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр прямом изгибе взаимно перпендикулярны.

Установив положение нейтральной линии , несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М<0

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1). Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б):

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. 6.1

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называетсянейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной
. До деформации сечения, ограничивающие элемент
, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол
. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется
. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна
, отстоящего на расстоянииот нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги
) равна
. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину
, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что
, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки
получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором
. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента
в поперечном сечении (6.1)

.

Вспомним, что интеграл
представляет собой момент инерции сечения относительно оси

.

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя
) с действующим в сечении моментом. Произведение
носит название жесткости сечения при изгибе, Н·м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы
и изгибающего момента

Поскольку
,

;

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось – нейтральная ось сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и- главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии

Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сеченияотносительно его центральной оси, значит

Значение для простейших поперечных сечений следующее:

Для прямоугольного поперечного сечения

, (6.8)

где - сторона сечения перпендикулярная оси;

- сторона сечения параллельная оси;

Для круглого поперечного сечения

, (6.9)

где - диаметр круглого поперечного сечения.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде

(6.10)

Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента
действует еще продольная сила
и поперечная сила, можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.