ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ С РЕШЕНИЕМ 6 КЛАСС.

Есть 10 монет, среди них ровно две фальшивые.
Детектор R7 за одну операцию исследует три монеты и указывает на одну из них.
Известно, что детектор не может указать на настоящую монету,
если среди тестируемых монет есть хотя бы одна фальшивая.
Как за шесть тестов выявить обе фальшивые монеты?

Решение к задаче:

Выберем три кучки по три монеты, протестируем каждую из них,
и возьмём те три монет, на которые указал детектор.
Среди них, очевидно есть хоть одна фальшивая.
Протестируем эти монеты и таким образом определим одну из фальшивых.
Вторая фальшивая монета может быть только среди тех четырёх монет,
с которыми тестировалась найденная фальшивая или быть той монетой, которая ещё не была задействована.
Среди этих пяти монет за два теста определить одну фальшивую уже совсем легко
(каждый тест выявляет две настоящие монеты).

На доске написано пять двузначных натуральных чисел.
Чебурашка каждую минуту прибавляет ко всем числам единицу или (тоже ко всем числам) двойку.
После того, как Чебурашка увеличивает числа, К. Гена может стереть какое-нибудь число,
делящееся на 13, или число, сумма цифр которого делится на 7 (если, конечно, такое число на доске есть).
Докажите, что при любых действиях Чебурашки,
Гена через некоторое время сумеет стереть с доски все числа.

Решение к задаче:

Гена может найти пять пар не более чем пятизначных соседних чисел,
так, чтобы в каждой паре он мог стереть любое число.
Чебурашка сможет «провести» через одну такую пару не более одного числа,
а значит все пять чисел Гена сможет стереть.

Подобных пар очень много,
например годятся пары 142 и 143, 312 и 313, 3120 и 3121, 1312 и 1313, 69999 и 70000…

Задача № 1:

Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше вычитаемого.
Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

Задача № 2:

Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
Ответ обоснуйте.

Задача № 3:

Нужно разместить 17 кроликов так, чтобы в каждой клетке было разное количество кроликов.
Какое наибольшее число клеток понадобится?

Задача № 4:

На выставку привезли 25 собак. 12 из них большие, 8 маленькие, остальные средние.
Только 10 из участников выставки породистые, остальные дворняжки.
Среди дворняжек поровну больших, маленьких и средних.
Сколько больших породистых собак привезли на выставку?

Задача № 5:

Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны.
Радиус каждой из окружностей равен 2 см.
Окружности касаются друг друга и сторон квадрата.
Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?

№ 1: Ответ: 43 – 17.

№ 2: Ответ: будет.
Представим данную сумму в виде следующих слагаемых:
(1 + 2006) + (2 + 2005) + ... + (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007,
то и вся сумма будет делиться на 2007.

№ 3: Ответ: 5 клеток.

№ 4: Ответ: 7 больших породистых собак.

№ 5: Ответ: 64 см

ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ С РЕШЕНИЕМ 8 КЛАСС.

Указать все денежные суммы, выраженные целым числом рублей,
которые могут быть представлены как чётным, так и нечётным числом денежных билетов достоинством в
1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей.

Решение 1:

Предположим сначала, что мы имеем денежную сумму в 10 рублей или больше.
Покажем, что любая такая сумма может быть представлена как чётным, так и нечётным количеством денежных билетов.
Именно, любая чётная денежная сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной стороны, чётным числом билетов достоинством в 1 рубль, а с другой одним билетом в 10 рублей и ещё чётным числом билетов по одному рублю.
Точно так же, любая нечётная денежная сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной стороны, нечётным числом билетов по одному рублю, а с другой одним билетом в 10 рублей и ещё нечётным числом билетов по одному рублю.
Рассмотрим теперь денежные суммы, меньшие 10 рублей.
Для представления этих сумм в нашем распоряжении имеются лишь билеты достоинством в 1, 3, 5 рублей все нечётные.
Понятно, что нечётное число "нечетных" билетов могут составить лишь нечётную сумму; следовательно, никакую чётную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить нечётным числом билетов.
Аналогично, чётное число "нечетных" билетов могут составить лишь чётную сумму; следовательно, никакую нечётную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить чётным числом билетов.

Решение 2:

Все суммы, не меньшие 10 руб., можно оплатить десятирублёвыми и рублёвыми купюрами, причём обязательно использовав десятирублевку.
Если при этом получится чётное число купюр, то одну десятирублёвую бумажку можно заменить двумя купюрами по 5 руб., т. е. эту сумму можно оплатить и нечётным числом купюр.
То же можно сказать, если сначала имеем нечётное число купюр.
Для выплаты сумм, меньших 10 руб., имеются купюры в нечётное число рублей.
Поэтому эти суммы можно выплатить лишь одним способом: чётную сумму чётным, а нечётную нечётным числом купюр.

Задача № 1.

Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6.
Докажите что и n делится на 6.

Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6.

Задача № 2.

Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов.
Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася.
На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков.
Куда попал каждый из них третьим выстрелом?
Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30).
Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2 + 3 + 4 = 9.
Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других вариантов набрать 27 очков тремя выстрелами нет).
Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка.
При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася - не больше, чем 4 очка.
Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася.
Единственная возможность - Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков.

Задача № 3.

Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково).
Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством.
Рассмотрите два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.

Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.
пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.
Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.

Задача № 4.

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны.
Докажите, что AD + BC = AB + CD.

Решение:

Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок. Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM || FG . Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL. Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то угол AHD = углу CGM , следовательно, AD = CM. В силу неравенства треугольника BC + CM = BC + AD . Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC + CL = DC + AB.
Следовательно, AD + BC, DL = DC + CL = DC + AB, что и требовалось доказать.

ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 9 КЛАСС.

Пример решения олимпиадной задачи

На продолжении AB, BC, CD и DA
сторон выпуклого четырёхугольника ABCD
откладываются отрезки
BB 1 =AB; CC 1 =BC; DD 1 =CD; AA 1 =AD .

Доказать, что площадь четырёхугольника A 1 B 1 C 1 D 1 в пять раз больше площади четырёхугольника ABCD .

Проведём диагональ AC
данного четырёхугольника
и соединим точку C с точкой B 1
(смотри рисунок).

В треугольнике ACB 1 отрезок BC является медианой,
поэтому она делит его на два равновеликих треугольника.

CB 1 - медиана треугольника BB 1 C 1 ,

следовательно, она также делит его на два равновеликих треугольника:

S ABC =S BCB1 =S CC1B1 .

Итак, S BB1C1 =2S ABC .

Проведя медиану AD 1 треугольника DD 1 A 1 ,
мы точно так же убедимся, что S DD1A1 =2S ACD .

Таким образом, если мы сложим площади треугольников BB 1 C 1 и A 1 D 1 D ,
то получим удвоенную площадь данного четырёхугольника.

Аналогично, проведя диагональ DB данного четырёхугольника,
увидим, что сумма площадей треугольников

D 1 CC 1 и

AA 1 B 1

равна удвоенной площади данного четырёхугольника.

Следовательно, площадь четырёхугольника

A 1 B 1 C 1 D 1

равна упятерённой площади данного четырёхугольника.

Примеры решения задач.

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999.
Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

По определению, n ! = 1 х 2 х 3 ? х............х n .
Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х............х 20! ,
чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20.

На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
Кто выиграет при правильной игре?

Решение задач:

Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда.
Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.
Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа,
т.е. это число оканчивается на 20.
Таких чисел 9: 120, 220, .........., 920.
Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20.
Таких чисел 10: 200, 201, .........., 209.
Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

Заметим, что
1! х 2! х 3! х 4! х.......х 20! = (1! х 2!) х (3! х 4!) х..........х (19! х 20!) =
= (1! х 1! х 2) х (3! х 3! х 4) х (5! х 5! х 6) х...........х (17! х 17! х 18) х (19! х 19! х 20) =
= (1!) 2 х (3!) 2 х (5!) 2 х............х (19!) 2 х (2 х 4 х 6 х 8 х...........х 18 х 20) =
= (1!) 2 х (3!) 2 х (5!) 2 х.............х (19!) 2 ?х (2 х (2 х 2) х (3 х 2) х..............х (10 х 2)) =
= (1! х 3! х............х 19!) 2 х 2 10 х (1 х 2 х 3 х...............х 2 х 10) = (1! х 3! х..............х 19!) 2 (2 5) 2 х 10!
Мы видим, что первые два множителя квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат.
Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата. Ответ: 10!

Задача имеет множество решений.
Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим треугольники АВС и NМС.
Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С.
Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С.
Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой х С.

Есть только один треугольник, в котором угол 20 град. лежит между сторонами 5 см и 6 см.
Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20 град. , а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20 град.). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника.
Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник.
Итак, мы получили всего 4 треугольника.

Опишем стратегию первого игрока.
Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.
Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 х монет (он всегда может это сделать, потому что если х четное число от 2 до 100, то (101 х) нечетное число от 1 до 99).
Так как 2005=101 19 + 85 + 1, то через 19 таких ответов после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 10 КЛАСС С РЕШЕНИЕМ.

Задача № 1:

Решите уравнение:

(x - 2)(x - 3)(x + 4)(x + 5) = 1320.

Задача № 2:

На плоскости дан отрезок АВ.
Где может быть расположена точка С, чтобы угол АВС был остроугольным?

Задача № 3:

Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2006,
которые после зачеркивания последних четырех цифр уменьшаются в целое число раз.

Задача № 4:

Вычислить сумму a 2006 + 1/a 2006 , если a 2 – a + 1 = 0.

Задача № 5:

Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д.
Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?

Решение задач:

Задача № 1:

Ответ: -8; 6.

Задача № 2:

Построим на АВ как на диаметр окружность и проведем через А и В две прямые, перпендикулярные отрезку АВ.
Точка С может находится между этими прямыми вне круга.

Задача № 3:

Пусть натуральные числа имеют вид x 10000 + 2006, где x € N. После вычеркивания последних цифр получим число x.
По условию, где n € N. Отсюда имеем, что должно быть натуральным числом, т. е. x - делитель числа 2006.
Число 2006 имеет делители: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006.
Следовательно, имеются числа, отвечающие условию задачи: 12006; 22006; 172006; 342006; 592006; 1182006; 20062006.

Задача № 4:

Так как a0, то, разделив обе части исходного уравнения на a , получим a + 1/a = 1.
Заметим, что a 3 + 1 = 0, т. к. a 3 + 1 = (a + 1)(a 2 – a + 1).
Таким образом, a 3 = -1. Тогда a 2006 + 1/a 2006 = (a 3) 6682 = a 2 + 1/a 2 = - 1.

Задача № 5:

Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков увеличивается на 4.
Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4n , где n € N,
т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1.
Но 2006 = 4 501 + 2. Следовательно, 2006 листков получиться не может.

ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 11 КЛАСС.

Решите уравнение:

(x 3 – 2)(2 sin x – 1) + (2 x 3 – 4) sin x = 0.

Из того, что функция y = 2 t возрастает, следует:

1) Если sin x 0 , то 2 sin x - 1 0 ;
если sin x 0 , то 2 sin x - 1 0 .

2) Если x 3 - 2 0 , то 2 x3 - 4 0 ;
если x 3 - 2 0 , то 2 x3 - 4 0 ;

Следовательно, если
(x 3 - 2)(2 sin x - 1) 0 , то (2 x3 - 4) sin x 0 ;
если (x 3 - 2)(2 sin x - 1) 0 , то (2 x3 - 4) sin x 0 ;

то есть знаки выражений

(x 3 - 2)(2 sin x - 1) и (2 x3 - 4) sin x совпадают.

Поэтому, каждое слагаемое в левой части уравнения должно обращаться в нуль,
то есть данное уравнение равносильно совокупности:

x 3 = 2 или sin x = 0 .

{ } U {πn | n Z.}.

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Решите уравнение sin 4 4x + cos 2 x = 2sin4x х cos 4 x.

Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Решение задач:

Задача 1:

Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) + 1 = (n 2 + 3n + 1) 2 .

Перенесем в левую часть 2sin4x · cos 4 x и прибавим и вычтем по cos 8 x.
В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду
(sin4x – cos 4 x) 2 + cos 2 x(1 – cos 6 x) = 0,
которое равносильно следующей системе:

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате получим решение исходного уравнения x = π /2 + π k .

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2+ … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к. (1/x)" = -1/(x 2), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х 0 2)(x - х 0) + 1/х 0 .

Касательная с уравнением пересекает ось абсцисс в точке (х 1 ;0);
х 1 можно определить из уравнения -1/(х 0 2)(x - х 0) + 1/х 0 = 0.
Решая данное уравнение, получим х 1 = 2х 0 .
Точка (0; y 1) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение значения х = 0.
В итоге получим y 2 = 2/х 0 .
Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длины а = 2|х 0 | и b = 2 / |х 0 |. Площадь данного треугольника равна 2.

Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек.
Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений,
в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1.
А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50).
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1,
т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число.
А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.

Свежий цементный раствор , как известно, не прилипает, не ложится на старый бетон, и качественный ремонт бетонных изделий , казалось бы, осуществить невозможно. Но выход есть. В решении этой проблемы помогут специальные составы растворов (все — в массовых частях).
1. Карбинольный сироп -100, портландцемент 300-400, перекись бензоила 2-3.
Карбинольный сироп в продаже называется «бальзамин» или «бальзам Нестерова «.

2. Эпоксидный клей -100, портландцемент -100, отвердитель 7-8.

3. Клей ПВА 0,4-0,6, эпоксидная смола ЭД-20 -0,04, полиэтиленполиамин (отвердитель) — 0,04, портландцемент марки М 400 — 1, песок мелкий — 3, воду добавляют до консистенции жидкого теста.

4. Цемент марки М 400 -1, песок мелкий — 2-3, смесь затворяют 2-3% раствором глютамата натрия до нужной консистенции. (Работать в резиновых перчатках.)

При приготовлении растворов нужно учесть, что замешивания одновременно большого количества смеси может вызвать разогрев ее и мгновенное затвердевание. Охлаждение смеси при замешивании практически полностью снимает мгновенное затвердевание.

Добавление к эпоксидного клея 25% по массе ацетона тоже значительно снижает возможность мгновенного отверждения и не влияет на качество склеивания.

В рецептах 1, 2, 3 отвердитель вводят перед использованием состава.

Предупреждение: составы, рецептура которых приводилась выше, нельзя ремонтировать бетонные кольца колодцев и другие детали, соприкасающиеся с питьевой водой и водой для мытья.

5. Клей «Бустилат» -1, цемент марки М 400 и выше -2.

6. Клей «Бустилат» — 0,4 — 0,6, портландцемент марки М 400 — 2-3, воду добавляют до густоты жидкого теста!

7. Клей «Бустилат» — 100, казеинат аммония — 2, мелкий кварцевый песок- 150-200, все перемешивают и применяют.

8. Клей ПВА — 1, цемент марки М 400 и выше — 2.

9. Клей ПВА — 0,4-0,6, портландцемент марки М 400 — 1, песок мелкий — 2-3, воду добавляют до консистенции жидкого теста.

10. Цемент марки М 500 и выше — 97, хлористый кальций — 3. Все замешивают на воде до консистенции сметаны.

Ремонт железобетонных (бетонных) деталей заключается в намазывании обеих деталей, склеиваются, одним из составов (предварительно очищенных и обезжиренных ацетоном) и, по возможности, стянуть их между собой.

При ремонте сколов, вмятин и т.п. в состав (рецепты 5, 8) вводят 30-50% по массе мелкого сухого песка. Песок перемешивают с сухим цементом, а затем затворяют клеем с небольшим количеством воды. Скол, вмятину или просто старую поверхность бетона очищают, обезжиривают и промазывают соответствующим клеем, затем затирают приготовленным составом, как обычным бетонным раствором.

Рецепты 3, 4, 6, 7, 9 используются скорее как замазки для склеивания и ремонта бетонных изделий.

Довольно давно в качестве полезной добавки к цементному раствору стали применять ПВА. Главная цель – повысить качество цементно-песчаного раствора. Это клейкое вещество позволяет получить более пластичный бетон, который моментально схватывается на поверхности.

ПВА и его свойства

ПВА – это белая клейкая эмульсия на основе полимера поливинилацетата с консистенцией сметаны. Клей практически не имеем запаха, не токсичен, экологичен, может храниться длительное время без потери свойств. Существует канцелярский, мебельный и строительный тип.

Клеевой состав не влагостойкий. Он легко растворяется в воде в жидком виде. Однако в процессе застывания поливинилацетат полимеризуется, теряет цвет и приобретает стойкость к воздействию воды. После склеивания поверхность приобретает усилие на разрыв до 1300 г/см², что свидетельствует о высокой прочности застывшего полимера.

Поливинилацетат выдерживает воздействие низких температур с сохранением свойств даже при -20°С. Полимер может проходить до трех циклов заморозки и оттаивания. Сам поливинилацетат не стоек в УФ-лучам, но в бетонной смеси он приобретает это свойство, поэтому его можно применять для возведения сооружений, стяжек для уличного использования.

Особенности применения

• повышает пластичность;
• снижает твердость готового изделия путем увеличения прочности на изгиб;
• повышает адгезию бетонного раствора к поверхности.

Канцелярский клей ПВА не подходит для использования в бетонной смеси.

Это достигается за счет соблюдения четких пропорций смешения бетона и ПВА. При этом количество воды не должно превышать 5%. Не каждый тип клеевого состава можно использовать. Канцелярский ПВА содержит много крахмала, а в клее для дерева есть ненужные химические наполнители, которые ухудшают свойства цементной смеси.

В зависимости от предназначения готовящейся смеси определяются пропорции цемента к поливинилацетату. Например, для стяжки и кладки нужны разные свойства раствора.

Важным критерием выбора типа клеевого вещества для цемента является конечная влажность, в которой будет эксплуатироваться готовая конструкция. Несмотря на полимеризацию, при застывании и приобретении влагостойкости клей лучше не добавлять в бетонные смеси для отделки ванн, душевых, .

В качестве перестраховки состав клей-цемент лучше использовать для обустройства территории, где температура эксплуатации будет выше 7°С.

Одним из способов улучшения свойств цементных смесей является добавление поливинилацетата – клеевой эмульсии, растворимой в воде. К этой практике часто обращаются при приготовлении штукатурных, выравнивающих и соединительных растворов и даже бетонов. Пропорции и последовательность ввода зависят от целевого назначения составов, в большинстве случаев ПВА предварительно разбавляют водой. К ограничениям применения относят эксплуатацию обработанных поверхностей в условиях повышенной влажности.

Эффект от добавления клея в цементный раствор

Материал представляет собой разновидность полимеров и используется в качестве пластификатора. ПВА не имеет четко выраженного запаха, он растворяется в воде (только до окончания процесса застывания ЦПС или бетона), отсутствуют токсичные вещества. Стандартная пропорция варьируется от 5 до 10 %, введение в цементно-песчаный состав позволяет:

• Повысить его пластичность.
• Увеличить его прочность на изгиб после застывания. Опыты показывают, что обработанная ПВА поверхность выдерживает усилие на разрыв от 1300 г/см2.
• Улучшить качество сцепления смесей на основе цемента. Величина адгезии в данном случае зависит от используемых соотношений, при желании получения надежного клея для плитки его доля достигает 20 % от общего объема.
• Упростить процессы работы.

К ограничениям применения относят эксплуатацию в условиях воздействия горячего и влажного пара, это обусловлено ускорением гидролиза поливинилацетата и щелочных сред и превращением его в спирт даже в связанном виде. По этой причине клей не вводят в растворы для ванных комнат, саун, бассейнов и для облицовки участков, подверженных частым влажностным нагрузкам. Признается явное улучшение эластичности и адгезии, к минусам относят отсутствие контроля за набором прочности (процесс гидратации цементного камня комбинируется с высыханием дисперсии полимера и в целом усложняется).

В цементный состав добавляют ПВА определенной марки – а именно для строительных целей. Канцелярские или обойные содержат избыточный крахмал, клеи для дерева – посторонние добавки и примеси, плохо сочетаемые с портландцементом. Нужными для улучшения строительных растворов свойствами обладает водная дисперсия, содержащая не менее 50% полимеров. Она продается в фасованных пластмассовых емкостях от 1 до 30 кг и имеет ограниченный 6 месяцами срок годности.

Пропорции ввода и особенности приготовления строительных смесей

Существует два способа соединения раствора цемента и клея: в первом добавку разводят водой (эмульсию наливают в емкость с жидкостью и тщательно размешивают до достижения полной прозрачности), во втором его вводят в неразбавленном виде. Нарушать стандартные соотношения В/Ц не рекомендуется в любом случае. Добавление неразбавленного ПВА требуется при замесе соединительных составов, хорошо размешанного – при приготовлении бетонов или с целью улучшения пластичности. выбираются исходя из целевого назначения:

1. Доля стандартной добавки в разбавленном состояния для повышения пластичности и прочности на изгиб – 5-10%. В перерасчете это означает 0,5 л ПВА на 2-3 ведра (или 1 мешок) вяжущего.

2. При изготовлении цементного раствора для заливки основной стяжки пола рекомендуется смешать 100 кг портландцемента, 200 – песка, до 300 – мелкофракционного щебня, 5 – устойчивого к щелочному воздействию пигмента и 20 – непосредственно ПВА. Воду добавляют до достижения нужной подвижности, стандартное соотношение В/Ц варьируется от 0,45 до 0,55, превышать его не советуется.

3. При приготовлении цементной смеси для кладки плитки доля клея достигает 20% от общей массы. В этом случае его соединяют со смешанными в соотношении 1:5 сухими цементом и песком (марка прочности вяжущего – не ниже М400) без добавления воды. Полученный состав характеризуется высокой адгезией и подходит для крепления изделий на вертикальные стены. Некоторые специалисты советуют использовать жидкий раствор цемента, клея ПВА и воды для подготовки сложных поверхностей (на гладких бетонных плитах, к примеру, он заменяет насечки).

4. При необходимости ремонта старых бетонных стяжек рекомендуется смешать цемент, песок и эмульсию поливинилацетата в пропорциях 1:3:0,5 соответственно и добавить к ним по 4% от общей доли вяжущего эпоксидной смолы и отвердителя. Вода вводится до достижения нужной консистенции – жидкого теста. Полученный состав обладает хорошим качеством сцепления и держится даже на старом и высохшем бетоне.

5. При замесе штукатурок используются стандартные пропорции портландцемента и песка – 1:3. На 10 л готовой (уже затворенной водой) смеси добавляется 50-70 г строительного клея ПВА.