В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике : Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание репетитора по математике : Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Подсказка репетитора по математике : нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
:

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
:

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике : Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математкие : Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам . Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста...

Инструкция

Самый простой и распространенный способ лист - это при помощи ножниц. Однако следует учесть, что при помощи ножниц очень трудно будет получить прямую линию среза, если вы предварительно не прочертили ее на бумаге при помощи линейки. Но и в этом случае идеально ровная линия у вас вряд ли получится. Нужно вырезать кривую или фигурную линию? Тогда этот способ подойдет в самый раз.

Чтобы разрезать лист бумаги на две ровные и одинаковые половинки, следует согнуть его на две части. Затем линию сгиба следует аккуратно, но сильно пригладить мягкой резинкой или гладилкой. Далее нужно вложить в сгиб лезвие ножа и резким движением разрезать лист. Этот способ также имеет некоторые недостатки, которые отображаются в виде слегка ворсистых краев разрезанной бумаги.

Третий способ разрезать лист бумаги ровно и точно будет наиболее эффективен по сравнению с двумя предыдущими. Теперь вам понадобится металлическая линейка и остро заточенный нож. Прикладываем одной рукой металлическую линейку к поверхности бумаги в том месте, где ее необходимо разрезать, крепко нажав на нее, чтобы линейка не скользила по поверхности. Далее резким и отточенным движением другой руки, в которой у нас нож, разрезаем лист бумаги, ведя нож по краю металлической линейки.

Видео по теме

Обратите внимание

Работа с острым ножом, да и с другими острыми предметами, требует особой внимательности и аккуратности. Всегда старайтесь соблюдать элементарные правила техники безопасности.

Полезный совет

Желательно также иметь под рукой аптечку первой помощи (йод, бинт, вату), необходимую для того, если вы вдруг поранитесь.

Источники:

• резинки на сапогах как разрезать

При работе с переплетными материалами необходимо уметь ровно и качественно нарезать бумагу, чтобы готовая пачка была аккуратной и симметричной. Для нарезания бумаги, которая впоследствии будет переплетена, используйте специальную металлическую линейку или уголок, а также остро заточенный на станке переплетный нож. Нарезайте бумагу только на ровной поверхности, а также следите за тем, чтобы не травмировать себя острым ножом.

Инструкция

Уложите пачку бумаги на гладкую поверхность – например, на лист шлифованной фанеры, а затем по линейке начертите очень острым линию, по которой вы будете разрезать бумагу. Совместите с этой линией металлический уголок и прижмите его широко разведенными пальцами левой руки к бумаге как можно сильнее.

Возьмите нож в правую руку, четырьмя пальцами обхватите рукоять, а указательный палец положите на верхний край лезвия. Поставьте нож под углом в 30-40 градусов по отношению к поверхности стола, а затем сдвиньте его по направлению к себе так, чтобы левый край лезвия был прижат к полке уголка и не сдвигался в сторону.

Для того чтобы разрезать толстую пачку бумаги, нужно несколько раз проводить ножом по краю линейки, при этом продолжая удерживать ее плотно на том месте, на котором она была изначально, чтобы все листы были разрезаны на одном уровне.

Делая одно движение ножом, вы разрезаете несколько листов. Чем тоньше бумага, тем больше листов вы сможете разрезать за один раз. Разрезая бумагу, не давите слишком сильно на нож – это ухудшает качество готовой работы и тратит ваши силы.

Режьте бумагу краем ножа, который находится в 15-20 мм от кончика лезвия. Для того чтобы наработать технику правильного разрезания бумаги, начинайте учиться на небольшой стопке, толщина которой не превышает 4-5 мм.

Затем добавляйте к стопке бумагу, чтобы ее толщина достигала 12-15 мм. Постепенно вы научитесь ровно и аккуратно нарезать и более толстые стопки бумаги.

Видео по теме

Прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1.

Найдите стороны прямоугольника.

Подсказка

Можно, конечно, просто взять линейку и измерить длины отрезков на рисунке, но этот способ не очень хороший по двум причинам. Во-первых, точность таких измерений не слишком высока и ответ получится лишь приближенный. Во-вторых, если бы в нашем распоряжении оказалась картинка «под углом», то истинные длины сторон на ней были бы искажены, и тогда пришлось бы еще думать, что делать с измерениями. Но можно найти стороны прямоугольника абсолютно точно, и знать для этого необходимо только схему разрезания. Для этого нужно составить систему уравнений, приняв за неизвестные длины сторон квадратов и прямоугольника.

Решение

Как уже было отмечено в подсказке, эта задача вовсе не по геометрии (как могло бы показаться), а по линейной алгебре. Причем, решается она довольно просто. Нужно лишь не побояться сначала ввести много обозначений.

Итак, пусть x и y - ширина и высота большого прямоугольника, которые мы ищем. Пронумеруем квадраты, как показано на рисунке 1, и обозначим сторону квадрата с номером i через z i . Переменные уже есть. А откуда взять уравнения? Посмотрим внимательно на рисунок 1: видно, что некоторые стороны квадратов «хорошо» примыкают друг к другу. Например, белый квадратик дополняет сторону красного квадрата до стороны оранжевого. Еще пример: белый вместе с желтым по высоте занимают столько же, сколько голубой с пурпурным. Эти условия стыковки и позволяют написать уравнения. Получится система линейных уравнений, которую запишем в два приема. Сначала выпишем уравнения, которые отвечают вертикальным стыкам:

Последнее уравнение описывает примыкание третьего и восьмого квадратов к правой стороне прямоугольника. Но оно следует из предыдущих уравнений (проверьте это), поэтому далее его не учитываем. Теперь выпишем уравнения на горизонтальные стыки (условие для нижней стороны пропускаем по той же причине):

Объединим всё в одну систему, из которой нам и нужно найти x и y :

Для решения систем линейных уравнений давно придумано множество методов. Но в нашем случае можно обойтись и без привлечения мощных теорий, а просто последовательно выражать одни переменные через другие и делать соответствующие подстановки, постепенно упрощая систему. Удобно выражать переменные через z 5: z 2 = 1 + z 5 , значит z 1 = 2 + z 5 , значит z 4 = 3 + z 5 . Уже можно явно вычислить сторону голубого квадрата: z 6 = 1 + z 4 – z 5 = 4. Продолжая в том же духе, несложно найти стороны остальных квадратов, а вместе с ними и стороны прямоугольника: x = 32, а y = 33.

Послесловие

Возможно, решение этой задачи поможет вам сделать что-нибудь вроде такого шкафа:

Или еще что-нибудь не менее прекрасное.

Вообще, вопросы о разрезаниях разных фигур на специфические части обычно бывают интересными и красивыми. Причем рассчитаны они могут быть на самую разную аудиторию: задачки такого рода часто дают на математических кружках, но, как мы только что убедились, бывают и не очень «кружковские» задачи.

Про разрезания именно прямоугольников известно многое. Вполне очевидно, что если отношение сторон прямоугольника рационально , то его можно разрезать на одинаковые квадраты. А если можно резать на необязательно одинаковые квадраты, то что тогда? В 1903 году Макс Ден (Max Dehn) доказал, что и в этом случае отношение сторон прямоугольника должно быть рационально (кстати, имя этого немецкого математика уже встречалось ранее в одной из задач на «Элементах»). Его доказательство было сложным, но позднее был придуман более простой способ. Вкратце его суть такова. Оказывается, по любому разрезанию прямоугольника можно построить специальную электрическую цепь, и это сопоставление настолько удачно, что условия состыкования сторон квадратов идентичны правилам Кирхгофа для этой цепи. Поскольку эти правила позволяют полностью рассчитать электрическую цепь, то это позволяет найти и размеры квадратов. Подробнее об этом можно прочитать в статье М. Скопенкова, М. Прасолова и С. Дориченко «Разрезания металлического прямоугольника» («Квант» №3, 2011), на основе которой был подготовлен этот материал.

Есть еще одна похожая по формулировке задача про разрезание прямоугольников: прямоугольник как-то разрезан на прямоугольники, причем известно, что хотя бы одна из сторон каждого из них имеет целую длину; требуется доказать, что тогда и у большого прямоугольника будет целая сторона . А вот решение у нее довольно далекое от рассмотренных выше идей. Если у вас не получится решить эту задачу, то прочитать ее решение можно, например, .