Кристаллография это наука о кристаллах: об их форме, происхождении, структуре, химическом составе и физических особенностях. Она является одной из научных дисциплин геологического цикла, наиболее тесно связанная с минералогией , находящаяся на стыке их и химии, математики, физики, биологии и т. д. Имеет и теоретическое, и прикладное значение.

История

Развитие кристаллографии подразделяют на три этапа: эмпирический (собирательный), теоретический (объяснительный), современный (прогностический).

Первые кристаллографические наблюдения относятся к античным временам. В древней Греции были предприняты первые попытки описания кристаллов с акцентом на их форму. Этому способствовало создание геометрии, пяти платоновых тел и множества многогранников.

В дальнейшем кристаллография развивалась в рамках минералогии в составе единого геологического научного направления. При этом она являлась исключительно прикладной дисциплиной, так как, по утверждению Р.Ж. Гаюи 1974 г., была наукой о законах огранения кристаллов.

И. Кеплера, создавшего в 1611 г. трактат «О шестиугольных снежинках», считают предшественником структурной кристаллографии.

В 1669 г. Я. Стеноп вывел принцип роста кристаллов, в соответствии с которым данный процесс происходит не изнутри, а путем наложения на поверхность приносимых жидкостью извне частиц. Также он отметил отклонение реальных кристаллов от идеальных многогранников.

В том же году Н. Стенсеном был сформулирован «закон постоянства углов кристаллов». В дальнейшем его же выводили многие независимые исследователи.

Термин «кристаллография» для обозначения науки о кристаллах впервые предложил в 1723 г. М. Капеллер. Таким образом, накопление знаний происходило до XIX в.

В качестве самостоятельной дисциплины кристаллография была описана в 1772 г. Ж. Б. Луи Роме-де-Лилем. К тому же, благодаря его трудам, в 1783 г. был окончательно утвержден закон постоянства углов. Так, он отметил, что возможно изменение граней кристаллов по форме и размерам, однако углы их взаимного наклона постоянны для каждого вида.

В начале существования кристаллографии в качестве отдельной научной напдисциплины наиболее интенсивно развивалось ее геометрическое направление.

Для измерения углов кристаллов М. Караижо создал специализированный прибор — прикладной гониометр, на основе чего зародился первый кристаллографический метод — гониометрия.

К.С. Вейссом был выведен закон зон (зависимость между положением ребер и граней), а Рэнэ-Жюст Гаюи сформулировал закон рациональности разрезов по осям, а также открыл плоскости спайности. В то же время последнее открытие было совершено Т. Бергманом.

В 1830 г. И. Гессель и в 1869 г. А. Гадолин определили наличие 32 видов симметрии и подразделили их на 6 сингоний.

В 1855 г. О. Браве вывел 14 типов пространственных решеток, а также ввел два элемента симметрии (центр и плоскость симметрии) и сформулировал определение симметричной фигуры.

П. Кюри определил семь предельных групп симметрии и зеркальные оси симметрии. На основе этого был сделан вывод о том, что симметрия определяет внешнюю форму кристалла, и всего существует девять ее элементов.

В 1855 г. Е.С. Федоров также вывел 32 класса симметрии и занялся нахождением определяющих расположение атомов, ионов, молекул в кристаллах геометрических законов.

В XX в. началось интенсивное развитие физического (кристаллофизики) и химического (кристаллохимии) направлений, благодаря открытию дифракции рентгеновских лучей в кристаллах У.Л. Брэггом и Г.В. Вульфом, созданию метода рентгеноструктурного анализа и первым расшифровкам кристаллических структур в 1913 г. У.Г. и У.Л. Брэггами.

Таким образом, на втором этапе развития кристаллографии происходило исследование форм кристаллов и выяснение законов их строения.

Современная наука

В настоящее время кристаллография наиболее интенсивно развивается в экспериментальном и прикладном направлениях.

Данная дисциплина включает следующие разделы:

• кристаллофизику - исследует физические особенности кристаллов: оптические, тепловые, механические, электрические,
• геометрическую - рассматривает их формы, метрические параметры кристаллической решетки, углы и периоды повторяемости элементарной ячейки, устанавливает законы огранения и разрабатывает методы описания,
• кристаллогенез - изучает формирование и рост кристаллов,
• кристаллохимию - исследует связь физических особенностей с химическим составом, закономерности расположения атомов в кристаллах, химические связи между ними, атомную структуру,
• структурную - изучает атомно-молекулярное строение кристаллов,
• обощенную - использование структурных и симметрийных закономерностей кристаллографии в рассмотрении свойств и строения конденсированного вещества: жидкостей, аморфных тел, полимеров, надмолекулярных структур, биологических макромолекул.

В кристаллографии существует система понятий для дифференциации многогранников и кристаллических решеток. Она включает в иерархическом порядке категории симметрии, сингонии, кристаллографические (кристаллические) системы, решетки Браво, классы (виды) симметрии, пространственные группы.

Основным среди них считают сингонии . Это кристаллографические категории, в которые объединяют кристаллы на основе наличия определенного набора элементов симметрии. Нужно отметить, что существует путаница между терминами «сингония», «система решетки» и «кристаллическая система», в связи с чем часто их применяют как синонимы. Всего существует семь сингоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, тригональная, тетрагональная, гексагональная, кубическая. Первые три относятся к низшей категории, вторые три к средней и последняя к высшей. Категории выделяют на основе равенства трансляций либо количества осей высшего порядка.

Теоретическую основу кристаллографии составляет учение о симметрии кристаллов . Изучение процессов их образования, таких как зарождение, молекулярная кинетика движения фазовой границы, массо- и теплоперенос при кристаллизации, формы роста, дефектообразование, осуществляется с позиций физико-химической кинетики, статистической и макроскопической термодинамики.

К прикладным вопросам относят изучение структуры реальных кристаллов, их дефектов, условий формирования, влияния на их свойства, синтеза.

Кристаллографию считают промежуточной дисциплиной. Наиболее тесно она связана с минералогией, так как зародилась в качестве ее раздела. Помимо этого, она связана с петрологией и прочими геологическими дисциплинами . Кристаллография расположена на пересечении геологических наук, органической химии, математики, физики, радиотехники, химии полимеров, акустики, электроники и связана с молекулярной биологией, металловедением, прикладным искусством, материаловедением и т. д. Связь со многими из данных наук обусловлена общностью подхода к атомному строению вещества и близостью дифракционных методик.

Предмет, задачи, методы

Предметом данной науки являются кристаллы. Ее задачи состоят в исследовании их происхождения, структуры, химических и физических особенностей, происходящих в них процессов, взаимодействия с окружающей средой, изменений в результате различных воздействий.

Кроме того, сфера исследования кристаллографии включает анизотропные среды или вещества с близкой к кристаллической атомной упорядоченностью: жидкие кристаллы, кристаллические текстуры и т. д., а также агрегаты из микрокристаллов (поликристаллы, керамики, текстуры). К тому же она занимается внедрением теоретических достижений в практическую сферу.

Одним из специфических методов кристаллографии является гониометрия. Он состоит в применении для описания, объяснения и предсказания особенностей кристаллов и происходящих в них процессов углов между гранями. Также это позволяет идентифицировать кристаллы путем определения симметрии. Особо высоким значением гониометрия обладала до открытия дифракции рентгеновских лучей, так как являлась основным методом кристаллографии.

Помимо этого, к кристаллографическим методам относятся черчение и расчет кристаллов, их выращивание и измерение, оптическое исследование, рентгеноструктурный, кристаллохимический, электронографический анализы, нейтронографию, электронографию, оптическую спектроскопию, электронную микроскопию, электронный парамагнитный резонанс, ядерный магнитный резонанс и др.

Образование и работа

Кристаллографии обучают в рамках минералогии на геологических специальностях. Кроме того, существует отдельная специальность, которая ввиду узкоспецилизированности встречается крайне редко.

Кристаллографы работают в научно-исследовательской сфере в НИИ и лабораториях.

Заключение

Кристаллография изначально являлась исключительно прикладной дисциплиной, достижения которой использовались в ювелирном деле. Самостоятельной наукой она стала в XIX в. В настоящее время сфера исследования кристаллографии включает происхождение, свойства, состав, связь с окружающей средой кристаллов и кристаллоподобных веществ и происходящих в них процессов. Ввиду узкоспециализированности данная специальность встречается крайне редко, а профессия востребована в научно-исследовательской сфере.

Лекция 1.11 Основы кристаллографии и кристаллохимии

Введение

Кристаллохимия – наука, изучающая зависимость внутренней структуры и физических свойств кристаллов от химического состава. Кристаллохимия – наука о кристаллических структурах, базирующаяся главным образом на данных рентгеноструктурного анализа, а также нейтронографии и электронографии. Рентгеноструктурные исследования позволяют судить о мотиве расположения частиц в кристаллической структуре, с большой точностью измерять расстояния между атомами, ионами и молекулами. С помощью этих методов можно идентифицировать вещества, различать кристаллические и аморфные тела, определять размеры малых кристаллов, соединенных в агрегаты, ориентировать монокристаллы, исследовать деформации и напряжения кристаллов, изучать фазовые превращения, а также строение частично упорядоченных образований.

Физические свойства зависят не только от геометрии кристаллической структуры, но и от сил химического взаимодействия. Исследование природы связей в кристаллах развивались параллельно с изучением характера сил, действующих в газах и жидкостях между частицами (межмолекулярные силы) и в пределах молекул (внутримолекулярные силы). Исходя из кристаллохимических данных, можно рассчитать некоторые физические величины кристаллов (например, показатель преломления света, термическое расширение, сопротивление разрыву). Далеко не всегда экспериментальные данные находятся в согласии с теоретическими расчетами. Это связано с наличием дефектов в кристаллических структурах. Знание размеров частиц, из которых состоит кристаллическое тело, даже в некоторых случаях и без проведения эксперимента, при известном химическом составе позволяет предположить тип структуры.

Кристаллохимия – одна из тех пограничных наук, которые возникли в начале нашего века на пересечениях больших областей классического естествознания. Она связала между собой кристаллографию, науку по существу физическую, и химию. Как и другие пограничные науки (биохимия , геохимия , биофизика и т. п.), она обязана своим рождением той научной революции, которая последовала за открытиями строения атома, дифракции рентгеновских лучей кристаллами и созданием квантовой механики.

Кристаллохимия завершает исторический ряд естественнонаучных дисциплин: минералогия– кристаллография– химическая кристаллография – кристаллохимия.

Группы симметрии и структурные классы

Представления о симметрии очень важны как в связи с теоретическим, так и экспериментальным изучением строения атомов и молекул. Основные принципы симметрии применяются в квантовой механике, спектроскопии и для определения структуры при помощи дифракции нейтронов, электронов и рентгеновских лучей. Природа дает множество примеров симметрии, и это особенно очевидно, когда молекулы исследуются в равновесных конфигурациях. Для равновесной конфигурации атомы считаются фиксированными в их средних положениях. Когда существует симметрия, некоторые расчеты упрощаются, если ее принимать во внимание. Симметрией определяется также, может ли молекула быть оптически активной или иметь дипольный момент. Отдельные молекулы в отличие от кристаллических твердых тел не ограничены симметрией, которой они могут обладать.

Существует много способов описания симметрии системы. Химики обычно имеют дело с молекулами и при выяснении их симметрии прежде всего выбирают отправную точку в молекуле, затем рассматривают симметрию линий и плоскостей относительно этой точки (точечная симметрия). Точечную симметрию можно использовать и для описания симметрии кристаллов, но для них большое значение имеют также элементы симметрии бесконечных фигур (трансляционная симметрия). Точечная симметрия не должна нарушать требований трансляционной симметрии. Признание симметрии, присущей какому-либо объекту, есть следствие нашего повседневного опыта. Для описания симметрии молекул используются пять типов элементов симметрии: центр симметрии, ось собственного вращения, зеркальная плоскость, ось несобственного вращения и тождественный элемент. Каждый из этих элементов имеет связанную с ним операцию симметрии. Элементы имеют свои обозначения. Наряду с международной символикой в литературе по строению вещества, квантовой химии, спектроскопии широко используется символика Шенфлиса. В течение долгого времени для обозначения симметрии кристаллов использовалась формула симметрии (табл.1). После применения операции симметрии к молекуле ее положение может измениться. Но если это не так, то принято говорить, что молекула обладает операцией симметрии и соответствующим элементом симметрии. Набор элементов симметрии не может быть произвольным. Он подчиняется ряду теорем, знание которых существенно облегчает анализ симметрии фигуры.

Таблица 1

Пример плоскостей симметричности

Пример осей симметричности

https://pandia.ru/text/80/247/images/image005_8.jpg" width="321" height="197 id=">

Пространственная кристаллическая решетка

Таблица 2

Сингонии и типы решеток

Обозначения: Р – примитивная; А, В, С – базоцентрированные; I – объёмноцентрированная, F – гранецентрированная решётки; R – ромбоэдрическая решётка в гексагональной системе координат (дважды центрированная гексагональная). Четыре типа решёток Бравэ существуют только в ромбической сингонии, так как центрирование в других системах не всегда приводит к появлению нового типа решёток. Например, центрирование верхней и нижней граней тетрагональной Р-ячейки приводит к появлению новой Р - решётки с другой величиной отношения ребер а/с. если же в этой решетке занять центры всех граней, то получим объёмноцентрированную тетрагональную I-ячейку. В моноклинных решётках типа F или I можно несколько иным способом выбрать элементарную ячейку, что позволяет рассматривать их как решётки типа С. Центрирование элементарной ячейки в триклинных решётках не изменяет существа дела, так как тогда можно выбрать меньшую примитивную элементарную ячейку. Для описания решётки один из её узлов выбирается за начало координат. Все узлы решётки нумеруются по порядку вдоль координатных осей. Каждый узел характеризуется, следовательно, набором трех целых чисел ·mnp·, называемых индексами узла. Если заменить шесть скалярных параметров решётки тремя векторами: → → → c b a, то любую трансляцию можно записать с помощью вектора, проведённого из начала координат в соответствующий узел ·mnp· .

shortcodes">

Все книги и пособия вы можете скачать абсолютно бесплатно и без регистрации.

NEW. Грот П. Физическая кристаллография и введение к изучению кристаллографических свойств важнейших соединений. В 3-х частях. 1897 год, 854 стр. DJVU. 16.4 Мб.
Раритетное издание.
Физические свойства кристаллов.
Геометрические свойства кристаллов.
Кристаллографические вычисления. Приборы. Методы кристаллографических и кристаллофизических исследований.

Скачать

NEW. Г.М. Кузмичева. Основные разделы кристаллографии. Учебное пособие. 2002 год, 95 стр. pdf. 2.1 Мб.
В учебном пособии рассмотрены основы геометрической кристаллографии: формы и строение кристаллов, учение о симметрии.
Учебное пособие предназначено для занятий студентов по курсу “Кристаллография”, “Кристаллохимия современных материалов”, выполнения бакалаврских и магистерских работ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Блистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики. Уч. потобие. 2000 год. 432 стр. djvu. 5.3 Мб.
Рассмотрены особенности получения, структура, ее дефекты и свойства кристаллов, используемых в лазерной, нелинейной и акустооптике. Кратко изложена физика явлений, лежащих в основе применения кристаллов, что позволяет обосновать критерий их качества. Теория явлений изложена на уровне, доступном для студентов-материаловедов и в то же время позволяющем оценивать свойства и качество кристаллов. Вопросы получения тонких кристаллических слоев весьма актуальны в связи с развитием интегральной оптики.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Блинов Ю.Ф., Серба П.В., Московченко Н.Н. Пособие по практическим занятиям по курсу "Кристаллография". 2005 год. 51 стр. pdf. 1.2 Мб.
В пособии приведены краткий теоретический конспект и практические задания к следующим вопросам курса "Кристаллография" или "Физика твердого тела": геометрия кристаллической решётки, кристаллографические индексы, кристаллографические проекции, преобразования симметрии, матричное описание операций симметрии, предельные группы, пространственные группы симметрии, дифракция рентгеновских лучей в кристаллах. К задачам приведены ответы. Разместил за теор. введения к разделам.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Огюст Браве. Кристаллографические этюды 1974 год. 419 стр. djvu. 5.8 Мб.
Огюст Браве является общепризнанным классиком в области теоретической кристаллографии. Ему мы обязаны созданием теории решетчатого строения кристаллов. Выведенные им 14 решеток представляют и сейчас математическую основу современной науки о кристаллах.
Перевод "Кристаллографических этюдов" дает полный текст всех кристаллографических работ О. Браве.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Багдасаров X. С. Высокотемпературная кристаллизация из расплава. 2004 год. 160 стр. djvu. 4.9 Мб.
В книге в ясной и сжатой форме обобщается теоретический и экспериментальный материал в области высокотемпературной кристаллизации из расплава. Рассматриваются физико-химические процессы, сопровождающие плавление и кристаллизацию вещества, а также методы и технологии выращивания тугоплавких кристаллов.
Книга адресована специалистам в области кристаллографии и смежных областях.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. В 2-х томах.
Монография известного американского физика-теоретика Дж. Бирмана посвящена применению теории пространственных групп к анализу оптических свойств кристаллической решетки. Монография содержит последовательное изложение теории пространственных трупп и ее применения для исследования динамических и оптических свойств кристаллической решетки. Большое количество разобранных конкретных примеров делает книгу хорошим руководством по изучению практических приемов использования пространственной симметрии.
Том 1. 388 стр. 4.5 Мб. Первый том содержит изложение теории пространственных групп, методов их приведения, а также вопросов динамики кристаллической решетки.
Том. 350 стр. 4.5 Мб. Второй том посвящен теории колебаний кристаллической решетки и ее оптическим свойствам - инфракрасному поглощению и комбинационному рассеянию. С позиций теории симметрии рассматривается вопрос о критических точках функции распределения частот, определяющих особенности оптических спектров. Описывается применение всех результатов к кристаллам со структурой каменной соли и алмаза, представляющим собой важные примеры симморфной и несимморфиой пространственных групп. В конце книги дан краткий анализ роли эффектов, обусловленных нарушением симметрии дефектами или внешними полями.
Книга представляет интерес для широкого круга научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в области физики твердого тела.

Скачать T. 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать T. 2.

Вайнштейн, Чернов, Шувалов. Современная кристаллография. в 4-х томах. 1979-1981 годы. djvu.
Том 1. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии. 395 стр. 7.5 Мб.
Том 2. Структура кристаллов. 367 стр. 8.2 Мб.
Том 3. Образование кристаллов. 411 стр. 8.4 Мб.
Том 4. Физические свойства кристаллов. 507 стр. 9.3 Mб.
В первом томе дана общая характеристика кристаллического вещества, рассмотрена теоретическая основа кристаллографии - учение о симметрии, изложены методы исследования структуры кристаллов. Второй том посвящен строению кристаллов - их атомной, электронной и реальной микроскопической структуре. В третьем томе систематически изложены современные представления о механизме зарождения и роста кристаллов. Отражены как теоретические, так и экспериментальные аспекты проблемы.В четвертом томе изложены физические свойства кристаллов, причем рассмотрение их ведется с точки зрения кристаллофизики, что отличает это рассмотрение от традиционного подхода к физическим свойствам кристаллов на основе физики твердого тела. Основное внимание обращено на анизотропию свойств кристаллов, их связь с точечной и пространственной симметрией, с атомной и реальной структурой кристаллов. Описание физических свойств кристаллов ведется с помощью тензорного аппарата кристаллофизики.

. . . . . . . . . .Скачать 1 . . . . . . . . . .Скачать 2 . . . . . . . . . .Скачать 3 . . . . . . . . . .Скачать 4

Васильев Д.М. Физическая кристаллография. 2-е изд. 1981 год. 256 стр. djvu. 2.5 Мб.
Приведены некоторые данные из курса математики, включая абстрактную теорию групп, знание которых необходимо для изучения современной кристаллографии, а также указаны приемы работы с кристаллографическими проекциями. Точечная и трансляционная симметрия кристаллической среды излагается с теоретико-групповых позиций. Изложена теория представлений кристаллографических групп. Тензорное описание физических свойств кристаллов дается в бескоординатной и координатной форме. Рассмотрены происхождение сил связи в молекулах и кристаллах, а также основные принципы строения идеальных и реальных кристаллов с дефектами.
Учебное пособие предназначено для студентов вузов металлургических специальностей. Может быть использовано для самостоятельного изучения основ кристаллографии аспирантами и инженерами-физиками, работающими в области физики твердого тела и физического материаловедения.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Пауль Грот. Физическая кристаллография и введение к изучению кристаллографических свойств важнейших соединений. 1897 год. 311+248+276 стр. 3 файла djvu в одном архиве 16.4 Мб.
Фундаментальный труд одного из крупнейших учёных-кристаллографов конца XIX - начала XX века.
Под редакцией и с дополнениями Ф. Левинсона-Лессинга

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Егоров -Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия Учебник. 2005 год. 589 стр. PDF. 32.2 Мб.
Книга М. Борна и Хуана Куня, посвященная теории кристаллических решеток, лежащей в основе современной физики твердого тела, содержит систематическое изложение методов математического описания кристаллических решеток и многочисленных применений теории к объяснению физических свойств кристаллов (упругие, тепловые, оптические, электрические и др.). По глубине и полноте изложения книга является лучшей из имеющихся в настоящее время монографий по указанным вопросам. Книга рассчитана на широкий круг физиков, химиков и инженеров, работающих в различных областях физики твердого тела (кристаллофизика, физика полупроводников, свойства диэлектриков и.металлов и т. д.). Для М. Борна нет срока давности.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Карпов С.В. Физика фононов. 2006 год. 139 стр. doc в архиве 4.1 Мб.
1. АТОМНЫЕ СИЛЫ В КРИСТАЛЛАХ И УПРУГИЕ СВОЙСТВА. 2. УПРУГИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ. 3. КОЛЕБАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЦЕПОЧЕК. 4. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ. 5. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ. 6. АНГАРМОНИЗМ КОЛЕБАНИЙ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Келли, Гровс. Кристаллография и дефекты в кристаллах. 1979 год. 496 стр. djv. 7.1 Мб.
Книга написана очень просто. Для ее понимания достаточно знания основ математики. Чрезвычайно полезна для студентов, аспирантов, преподавателей, работников исследовательских лабораторий и институтов, а также инженеров практиков.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Ф. Китайгородский. Кристаллы. 1950 год. fb2. 703 Kб.
Книгу, которая написана на школьном уровне, стоит предварительно прочитать при изучении физики твердого тела (темы строение кристаллов). Например, симметрия кристаллов объяснена так, что ее не понять невозможно.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Дж. Най. Физические свойства кристаллов. 1967 год. 386 стр. djvu. . 3.3 Мб.
Книга, написанная известным английским кристаллографом Дж. Наем, посвящена вопросам связи физических свойств кристаллов с их симметрией. Изложены основы геометрической кристаллографии, теория электрических, магнитных, тепловых, упругих и оптических свойств кристаллов; имеются полезные задачи и упражнения. Эта книга является единственным в мировой литературе учебным пособием по современной тензорной кристаллофизике, широко используемым при изучении физики твердого тела, кристаллофизики и отдельных их разделов в ряде университетов и физико-технических вузов. Кроме того, она стала необходимым справочным руководством для специалистов по кристаллофизике и физике твердого тела. В настоящем втором издании учтены изменения, внесенные автором при переизданиях книги в Англии.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Пинскер 3.Г. Рентгеновская кристаллооптика. 1982 год, 390 стр. djvu. 4.7 Мб.
Книга посвящена изложению динамического рассеяния рентгеновских лучей в идеальных кристаллах и кристаллах с постоянным градиентом деформации. Она является 2-м, переработанным и дополненным изданием книги «Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в идеальных кристаллах» (М.: Наука, 1974). С возможной полнотой изложена теория рассеяния в прозрачных и поглощающих кристаллах, включая муар и другие интерференционные эффекты, в приближении падения как плоской монохроматической волны, так и волнового пакета. При атом используется также современная обобщенная форма теории. Многоволновое рассеяние рассмотрено с общих принципов, позволяющих вычислить основные параметры при любом числе отраженных волн.
Книга содержит также изложение и классических и современных экспериментальных методов и результатов, опубликованных до 1978-1980 гг.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Г.М. Попов. И.И. Шафрановский. Кристаллография. 1972 год. 352 стр. djvu. 5.0 Мб.
Учебник содержит краткое изложение основ науки о кристаллах: общие понятия о свойствах и строении твердого кристаллического вещества, основы геометрии, физики и химии кристаллов. Описан ряд кристаллографических методов. При подготовке учебника к переизданию в него были внесены исправления и существенные дополнения с учетом последних достижений науки.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Проблемы современной уристаллографии. Сборнмк статей. 1975 год. 406 стр. djvu. 5.9 Мб.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Дж. Рейсленд. Физика фононов. 1975 год. 368 стр. djvu. . 4.2 Мб.
Автор книги Дж. Рейсленд - сотрудник физического факультета университета в Эссексе (Англия) - известен своими работами в области динамики решетки. Автору удалось в доступной форме изложить принципиальные основы, методы и применения динамики решетки к широкому кругу вопросов физики кристаллов. Данная книга выгодно отличается от других, посвященных фононам, «физичностыо» изложения даже в главах, наиболее насыщенных математическим формализмом.
Книга доступна не только теоретикам, но и экспериментаторам. Она будет полезна учащимся (студентам и аспирантам) и специалистам, уже работающим в различных областях физики твердого тела и ее приложений.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Сонин А.С. Курс макроскопической кристаллофизики: Учеб. пособ. 2006 год. 256 стр. djvu. 3.1 Мб.
Излагаются современные основы макроскопической кристаллофизики. Книга написана в соответствии с концепцией об определяющей роли симметрии в изучении физических свойств кристаллов, разработанной академиком А.В. Шубниковым. Первая часть книги посвящена симметрии как специфическому методу кристаллофизики. Рассмотрена симметрия пространственных геометрических и материальных фигур, морфологическая симметрия кристаллов и текстур, симметрия математических величин. Заканчивается эта часть рассмотрением симметрии физических явлений и основных законов кристаллофизики. Во второй части с помощью метода симметрии рассмотрены электрические, оптические, магнитные, механические и пьезоэлектрические свойства кристаллов. Отдельно рассмотрена термодинамика кристаллов, позволяющая устанавливать связь между различными физическими эффектами в кристаллах. Заключение посвящено практической важности кристаллофизики. Для студентов физических специальностей университетов и инженеров, работающих с кристаллами.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Татарский В.Б. Кристаллооптика и иммерсионный метод исследования минералов.1965, 306 стр. djvu. 4.1 Мб.
Книга Виталия Борисовича Татарского "Кристаллооптика и иммерсионный метод исследования минералов" относится к жемчужинам учебной литературы. Она написана удивительно четко и логично, простым и емким языком, каким владели классики геологии XX века.
Книга состоит из двух частей. Первая часть посвящена изложению основ кристаллооптики и методам определения диагностических свойств минералов в прозрачных шлифах. Кроме стандартных методов определения углов погасания, углов спайности, знака удлинения, максимальной интерференционной окраски, определения осности, угла между оптическими осями (угол 2V), плеохроизма и дисперсии в книге приведено множество нестандартных методов и приемов. Краткость изложения этого раздела не в ущерб полноте и ясности понимания. Во второй части книги изложены основы иммерсионного метода. Сегодня, он все реже применяется в минералогической практике, будучи практически вытесненным методами локального анализа. Однако, для целого ряда задач минералогии иммерсионный метод остается незаменимым.
После прочтения книги В.Б.Татарского возникает понимание, целостная картина.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Я.С. Уманский и др. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия. 1982 год. 632 стр. djv. 6.7 Мб.
Приведены необходимые для применения дифракционных методов сведения по кристаллографии. Рассмотрены теоретические основы и практическое использование дифракции рентгеновских лучей, электронов и нейтронов для изучения структуры кристаллов и металлических материалов. Изложены принципы и применение просвечивающей, дифракционной и растровой электронной микроскопии. Описаны методы локального элементного анализа, основанные на различных видах взаимодействия быстрых электронов с веществом.
Учебник предназначен для студентов металлургических и политехнических вузов, специализирующихся в области металлофизики, металловедения и физико-химических исследований материалов. Может быть полезен инженерам-исследователям, работающим в области физического металловедения и физико-химических ислледований, технологии производства и обработки металлических материалов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

В.С. Урусов. Теоретическая кристаллхимия. 1987 год. 275 стр. PDF. 14.2 Мб.
В учебнике, подготовленном в соответствии с программой, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР, на временном уровне систематически изложены основы теоретической кристаллохимии. Впервые дается исторический очерк развития химической кристаллографии и кристаллохимии После описания важнейших для кристаллохимии свойств атомов и их связей в кристаллической структуре излагаются приемы описания атомного строения кристалла. Отдельные главы посвящены основным категориям кристаллохимии: морфотропии и структурной гомологии, полиморфизму и политипизму, изоморфизму.
Книга по существу о физике, а не о химии.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Е.С.Федоров. Начала учения о фигурах. 1953 год. 420 стр. djvu. 5.0 Мб.
Публикуемый в настоящем издании первый крупный труд тениального русского ученого Евграфа Степановича Федорова „Начала учения о фигурах" занимает исключительное положение в его научном наследии. В этом труде заложены основания большинства его главнейших достижений по геометрической кристаллографии и теории структуры кристаллов. Первые два отдела книги содержат изложение учения об открытых и сомкнутых фигурах, которое послужило основанием для последующего развития учения о формах кристаллов; третий отдел, посвященный изложению учения о симметрии фигур, явился основой развития Е. С. Федоровым учения о симметрии кристаллического строения, и, наконец, четвертый отдел, в котором излагается федоровское учение о выполнении плоскости и пространства, положен Е. С. Федоровым как фундамент при разработке им теории структуры кристаллов. Появление в конце прошлого века „Начал" Е. С. Федорова по праву признается крупнейшими авторитетами русской и мировой науки как переломный момент в развитии кристаллографии, когда она из описательной науки („служанки минералогии") превратилась в строгую и самостоятельную науку ю кристаллическом веществе, его строении, свойствах и условиях образования. Все последующее бурное развитие кристаллографии в XX в., связанное с открытием точных методов определения структуры кристаллов путем изучения диффракции рентгеновых лучей, явилось триумфом созданной Е. С. Федоровым теории структуры кристаллов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Е.С.Федоров. Симметрия и структура кристаллов. 1949 год. 646 стр. djvu. 12.6 Мб.
Несмотря на то, что вопросы симметрии как чисто геометрические входят в область математики вообще и аналитической геометрии в частности, чистые математики почти не коснулись этой области, и громадный успех ее почти целиком есть результат труда минералогов и физиков. Но и последние до сего времени не пытались пользоваться для решения вопросов симметрии аналитическим методом, а мне, решившемуся на это, пришлось натолкнуться на ошибку в самых основах современной аналитической геометрии, состоящую в том, что геометрическое построение, определяющее величину одной из независимых косоугольных координат, производится в зависимости от положения двух других осей этой системы координат. Для решения задач, которыми до сих пор занимается общая теория аналитической геометрии, ошибка эта имеет не столько практический, сколько философский характер; она состоит в сущности лишь в усложнении понятия о независимой координате, так как независимая переменная заменяется функцией от нее же самой и двух других независимых переменных. Ниже в моем изложении выведен и вид этой функции. Таким образом существовавшая до сих пор в изложении начал аналитической геометрии ошибка (ошибка только по отношению к самым началам; для специальных целей зависимое построение координат может быть даже полезным, как это указано ниже) не могла быть причиною каких-либо ошибочных выводов, но является задержкою при решении вопросов, не предвиденных чистыми математиками.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Е.С.Федоров. Правильное деление плоскости и пространства. 1979 год. 272 стр. djvu. 5.1 Мб.
Монография академика Е.С.Федорова (1853-1919) «Правильное деление плоскости и пространства» была издана в 1899 г. на немецком языке и в русском переводе появляется впервые. Она в наиболее полном виде содержит изложение классических исследований гениального русского кристаллографа и геометра в области разбиения плоскости и пространства, которые разрабатывались им в качестве основы теории структуры кристаллов.
Появление в самом конце прошлого века этой монографии Е.С.Федорова признается крупнейшими авторитетами русской и мировой науки как важнейший этап в развитии геометрической теории пространства, в создании учения о параллелоэдрах, как основы строения кристаллов.
Книга сопровождается примечаниями, а также статьями И.И.Шафрановского и В.А.Франк-Каменецкого «Учение о параллелоэдрах и теория правильных систем фигур в творчестве Е.С.Федорова», Б.Н.Делоне, Р.В.Галиулина и М.И.Штогрина «Современная теория правильных разбиений евклидова пространства», освещающих роль и место учения Е.С.Федорова о разбиении пространства в современной кристаллографии и математике. Завершается она статьей И.И.Шафрановского и В.А.Франк-Каменецкого «Е.С.Федоров и его научное наследие», а также полной библиографией трудов о Е.С.Федорове.
Вместе с двумя вышедшими ранее в этой же серии классическими трудами Е.С.Федорова («Начала учения о фигурах», 1953 г., и «Симметрия и структура кристаллов», 1949 г.) эта книга составит трехтомник избранных трудов Е.С.Федорова по геометрии пространства, симметрии и структуре кристаллов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Шаскольская М.П. Кристаллография. Учебное пособие. 2-ое изд. доп. перераб. 1984 год. 376 стр. djv. 7.1 Мб.
В книге излагаются вопросы классической кристаллограйфии, кристаллохимии, кристаллофизтки. Подробно рассматриваются вопросы применения кристаллов в технике.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

А.В. Шубников. Образование кристаллов. 1947 год. 49 стр. djvu. 6.8 Мб.
В книге нет сложных формул. Но все основные понятия хорошо и очень понятно объяснены физически с помощью каотинок и графиков.

Рис. 1. Совершенная спайность каменной соли

При знакомстве с минералами невольно бросается в глаза присущая многим из них способность принимать правильные наружные очертания - образовывать кристаллы, т. е. тела, ограниченные рядом плоскостей. В связи с этим постоянно пользуется кристаллографическими терминами и понятиями. Поэтому краткие сведения по кристаллографии должны предшествовать систематическому знакомству с минералогией.

СВОЙСТВА КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ВЕЩЕСТВА

Все однородные тела по характеру распределения в них физических свойств могут быть разделены на две большие группы: тела аморфные и кристаллические.

В аморфных телах все физические свойства статистически одинаковы во всевозможных направлениях.

Такие тела носят название изотропных (равносвойственных).

К аморфным телам относятся жидкости, газы, а из твердых тел - стекла, стекловидные сплавы, а также затвердевшие коллоиды (гели).

В телах кристаллических многие физические свойства связаны с определенным направлением: они одинаковы в направлениях параллельных и неодинаковы, вообще говоря, в направлениях не параллельных.

Такой характер свойств называется анизотропией, а , обладающие подобными свойствами, анизотропными (неравносвойственными).

К телам кристаллическим принадлежит большинство твердых тел и, в частности, громадное большинство минералов.

К числу физических свойств всякого твердого тела относится и сила сцепления между отдельными частицами, слагающими тело. Это физическое свойство в кристаллической среде изменяется с изменением направления. Например, в кристаллах каменной соли (рис. 1), встречающихся в форме более или менее правильных кубов, это сцепление будет наименьшим перпендикулярно к граням куба. Поэтому кусок каменной соли при ударе будет раскалываться с наибольшей легкостью по определенному направлению -параллельно грани куба, а кусок аморфного вещества, например стекла, такой же формы будет раскалыватьсяодинаково легко но любому направлению.

Свойство минерала раскалываться по определенному, заранее известному направлению, с образованием поверхности раскола в виде гладкой, блестящей плоскости, называется спайностью (см. ниже «Физические свойства минералов»). Оно присуще в различной степени многим минералам.

При выделении из пересыщенного раствора та же сила междучастичного притяжения вызывает отложение из раствора в определенных направлениях; перпендикулярно к каждому из этих направлений образуется плоскость, которая по мере оседания на нее новых порций будет отодвигаться от центра растущего кристалла параллельно самой себе. Рис 1. Совершенная спайность купность таких плоскостей при каменной соли даёт кристаллу свойственную ему правильную многогранную форму.

Если приток вещества к растущему кристаллу будет происходить неравномерно с разных сторон, что обычно и наблюдается в естественных условиях, в частности, если кристалл в своем росте будет стеснен присутствием соседних кристаллов, отложение вещества будет происходить также неравномерно, и кристалл получит сплющенную или удлиненную форму, или займет только свободное пространство, которое находится между ранее образовавшимися кристаллами. Нужно сказать, что чаше всего так и бывает, и правильные, равномерно образованные кристаллы для многих минералов являются редкостью.

При всем этом, однако, направления плоскостей каждого кристалла остаются неизменными, а следовательно, двугранные углы между соответственными (равнозначными) плоскостями на различных кристаллах одного вещества и одного строения должны представлять величины постоянные (рис.2).

Это - первый основной закон кристаллографии, известный под названием закона постоянства двугранных углов, был впервые подмечен Кеплером и высказан в общей форме датским ученым Н. Стено в 1669 г. В 1749 г. М. В. впервые связал закон постоянства углов с внутренним строением кристалла на примере селитры.

Наконец, еще 30 лет спустя французский кристаллограф Ж. Ромэ-Делиль, после двадцатилетней работы по измерению углов в кристаллах, подтвердил общность этого закона и впервые сформулировал его.

Рис. 2. Кристаллы кварца

Эта закономерность, выведенная Стено-Ломоносовым-Ромэ-Делилем, легла в основу всего научного исследования кристаллов того времени и послужила отправным пунктом для дальнейшего развития науки о кристаллах. Если представить себе грани кристалла передвинутыми параллельно самим себе так, чтобы равно значные грани передвинулись на одинаковое расстояние от центра, полученные многогранники примут ту идеальную форму, которая была бы достигнута растущим кристаллом в случае идеальных, т. е. не усложненных внешними воздействиями, условий.

ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ

Симметрия. При кажущейся простоте и обыденности понятие симметрии довольно сложно. В наиболее простом определении симметрия есть правильность (закономерность) в расположении одинаковых частей фигуры. Эта правильность выражается: 1) в закономерной повторяемости частей при вращении фигуры, причем последняя при поворотах как бы совмещается сама с собою; 2) в зеркальном равенстве частей фигуры, когда одни части ее представляются как бы зеркальным отражением других.

Все эти закономерности сделаются значительно понятнее после ознакомления с элементами симметрии.

Рассматривая хорошо образованные кристаллы или кристаллографические модели, легко установить те закономерности, которые наблюдаются в распределении в кристаллах одинаковых плоскостей и равных углов. Эти закономерности сводятся к присутствию в кристаллах следующих элементов симметрии (по отдельности или в определенных сочетаниях): 1) плоскостей симметрии, 2) осей симметрии и 3) центра симметрии.

Рис. 3. Плоскость симметрии

1. Воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две равные части, относящиеся друг к другу, как предмет к своему изображению в зеркале (или как правая рука к левой), называется плоскостью симметрии и обозначается буквой Р (рис. 3 - плоскость) АВ).

2. Направление, при повороте вокруг которого всегда на один и тот же угол все части кристалла симметрично повторяются п раз, называется простой или поворотной осью симметрии (рис. 4 и 5). Число п, показывающее сколько раз наблюдается повторение частей при полном (на 360°) обороте кристалла вокруг оси, называется порядком или значностью оси симметрии.

На основании теоретических соображений легко доказать, что п - всегда число целое и что в кристаллах могут существовать только оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го порядка.

Рис. 4. Ось симметрии 3-го порядка

Ось симметрии обозначается буквою L или G, а порядок оси симметрии - показателем, поставленным справа вверху. Так L 3 обозначает ось симметрии 3-го порядка; L 6 - ось симметрии 6-го порядка и т. д. Если в кристалле присутствует несколько осей или плоскостей симметрии, то число их обозначается коэффициентом, который ставится перед соответствующей буквой. Так, 4L 3 3L 2 6Р обозначает, что в кристалле присутствует четыре оси симметрии 3-го порядка, три оси симметрии 2-го порядка и 6 плоскостей симметрии.

Кроме простых осей симметрии, возможны и сложные оси. В случае так называемой зеркально-поворотной оси, совмещение многогранника всеми его частями с исходным положением происходит не в результате только одного вращения на какой-то угол а, но и одновременного с этим отражения в воображаемой перпендикулярной плоскости. Ось сложной симметрии обозначается также буквой L, но только показатель оси ставится внизу, например, L4. Исследование показывает, что кристаллические многогранники могут иметь сложные оси 2, 4 и 6 наименований или порядков, т. е. L 2 , L 4 и L 6 .

Рис. 5. Многогранник с осью симметрии 2-го порядка

Такого же характера симметрию можно осуществить при помощи инверсионной оси. В этом случае симметрическая операция заключается в сочетании поворота вокруг оси на угол в 90 или 60° и повторения через центр симметрии.

Процесс указанной симметрической операции можно иллюстрировать следующим примером: пусть имеется четырехгранник (тетраэдр), у которого ребра АВ и CD взаимно перпендикулярны (рис. 6). При повороте тетраэдра на 180° вокруг оси L i4 , вся фигура совмещается с первоначальным положением, т. е. ось L i4 , есть ось симметрии второго порядка (L 2). На самом деле фигура более симметрична, так как поворот, около той же оси на 90°

и последующее перемещение точки А согласно центру симметрии переведет ее в точку D . Таким же образом, точка В совместится с Точкой С. Вся фигура окажется совмещенной со своим первоначальным положением. Такую операцию совмещения каждый раз можно проводить при повороте фигуры вокруг оси L i4 на 90°, но при обязательном повторении через центр симметрии. Избранное направление оси L i4 и будет направлением инверсионной оси 4-го порядка (L i4 = G i4 ).

Рис. 6. Многогранник с четверной инверсионной осью симметрии (Li4)

Применение инверсионных осей в некоторых случаях более удобно и наглядно, чем пользование зеркально-поворотными осями. Их можно обозначать и как G i3 ; G i4 ; G i6 ; или как L i3 ;L i4 ; L i6

Точка внутри кристалла, на равном расстоянии от которой в противоположных направлениях находятся равные, параллельные и в общем обратно расположенные грани, называется центром симметрии или центром обратного равенства и обозначается буквой с (рис. 7). Очень легко доказывается, что с =L i2

т. е., что центр обратного равенства появляется в кристаллах, ко торые имеют ось сложной симметрии 2 -го порядка. Следует так-же заметить, что оси сложной симметрии в то же время являются осями простой симметрии вдвое меньшего наименования, т.е. возможны обозначения L 2 i4 ;L 3 i6 . Однако обратного заключения делать нельзя, так как не каждая ось простой симметрии обязательно будет являться осью сложной симметрии вдвое большего наименования.

Русский ученый А. В. Гадолин в 1869 г. доказал, что в кристаллах могут существовать только 32 комбинации (сочетания) вышеперечисленных элементов симметрии, называемые кристал лографическими классами или видами симметрии. Все они констатированы в природных или искусственных кристаллах.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ОСИ. ПАРАМЕТРЫ И ИНДЕКСЫ

При описании кристалла, кроме указания элементов симметрии, приходится определять положение в пространстве отдельных его граней. Для этого пользуются обычными приемами аналитической геометрии, учитывая в то же время и особенности природных кристаллических многогранников.

Рис. 7. Кристалл, имеющий центр симметрии

Внутри кристалла проводят кристаллографические оси, пересекающиеся в центре и в большинстве случаев совпадающие с элементами симметрии (осями, плоскостями кристалла или перпендикулярами к ним). При рациональном выборе кристаллографических осей грани кристалла, имеющие один и тот же вид и физические свойства, получают одинаковое численное значение, а самые оси будут идти параллельно наблюдаемым или возможным ребрам кристалла. В большинстве случаев ограничиваются тремя осями I, II и III, реже приходится проводить четыре оси - I, II, III и IV.

В случае трех осей одна ось направлена к наблюдателю и обозначается знаком I (рис. 8), другая ось направлена слева направо и обозначается знаком II и, наконец, третья ось направляется вертикально и обозначается знаком III.

В некоторых руководствах I ось называется X, II ось - Y, а III ось - Z. При наличии четырех осей I ось соответствует оси А II ось -оси Y, III ось -оси U и IV ось -оси Z.

Концы осей, направленные к наблюдателю, вправо и вверх, положительны, а направленные от наблюдателя влево и вниз - отрицательны.

Рис. 8. Грани кристалла на координатных осях

Пусть плоскость Р (рис. 8) отсекает на кристаллографических осях отрезки a, b и с. Так как кристаллические многогранники определяются только гранными углами и наклоном каждой плоскости, а не размерами плоскостей, то можно, перемешая любую плоскость параллельно самой себе, увеличивать и уменьшать размеры многогранника (что и происходит при росте кристаллов). Поэтому для обозначения положения плоскости Р не требуется знать абсолютные величины отрезков a, b и с, а только их отношение а: b: с. Всякая другая плоскость того же кристалла обозначится в общем случае а’ : b’: с’ или а»: b»: с».

Положим, что а’-та; b’ = nb; с’ = рс; а» = т’a; b» = п’b; с» = р’с, т. е. длины отрезков по кристаллографическим осям для этих плоскостей выразим в числах, кратных длинам отрезков но кристаллографическим осям плоскости Р, называемой исходной или единичной. Величины т, п, р, т’,п’, р’ называются числовыми параметрами соответствующей плоскости.

В кристаллических многогранниках числовые параметры представляют собой числа простые и рациональные.

Это свойство кристаллов было открыто в 1784 г. французским ученым Аюи и носит название «Закон рациональности параметров».

Рис. 9. Элементарный параллелепипед и единичная грань

Обычно параметры равны 1, 2, 3, 4; чем больше числа, которыми выражаются параметры, тем реже встречаются соответствующие грани.

Если выбрать кристаллографические оси так, чтобы они проходили элементарный па раллельно ребрам кристалла, то отрезки погрань этим осям, которые отсекает исходная грань кристалла (грань Р) , определяют основную ячейку данного кристаллического вещества.

При этом надо иметь в виду, что для кристаллов с низкой симметрией нередко приходится принимать косоугольную систему кристаллографических осей. В этом случае необходимо указывать величины углов между кристаллографическими осями, обозначая их через а (альфа), р (бета) и у (гамма). При этом я называется угол между III и II осями, р -угол между III и I (так называемый угол моноклинности), ат - угол между I иII осями (рис.9).

На рис. 8 исходная плоскость Р отсекает на соответствующих осях отрезки а,b и с или им кратные.

Всякая другая плоскость должна отсечь по I оси отрезок, кратный а, по II оси - кратный b и по III оси - кратный с.

Так плоскость Р будет отсекать отрезки а, 2b и 2с, а плоскость Р» - отрезки 2а, 4b и Зс и т. д. Коэффициенты при а, 6 и с, представляющие собой параметры, могут быть только рациональными величинами.

Величины а, b и с или их отношения являются характерными константами для данного кристалла и называются осевыми единицами.

Обозначения плоскостей по отрезкам на кристаллографических осях в общем виде господствовали в науке до последней четверти XIX в., но затем уступили место другим.

В настоящее время для обозначения положения граней кристалла пользуются способом Миллера, как представляющим наибольшие удобства при кристаллографических вычислениях, хотя на первый взгляд он кажется несколько сложным и искусственным.

Как указано выше, исходная или «единичная» плоскость определит собой осевые единицы, а, зная параметры т:n:р всякой другой плоскости, можно определить и положение этой последней. Для кристаллографических вычислений выгоднее характеризовать положение какой-либо грани не прямым отношением отрезков, сделанных ею на кристаллографических осях кристалла к отрезкам «единичной» грани, а обратным отношением, т. е. делить величину отрезка, делаемого единичной гранью, на отрезок, делаемый определяемой гранью.

Очевидно, что полученные отношения также будут выражаться целыми числами, обозначаемыми в общем случае через буквы h, k и l . Таким образом, положение всякой грани может быть выражено однозначно через три величины h, k и l , отношение между которыми обратно отношениям длин отрезков, делаемых гранью на трех кристаллографических осях, причем по каждой оси, в общем случае, должны быть взяты те отрезки (единичные отрезки), которые делает единичная грань на соответствующих осях. Если взять за кристаллографические оси направления, которые совпадают с осями симметрии или нормалями к плоскостям симметрии или, если нет таких элементов симметрии, - с ребрами кристалла, то характеристики граней могут быть выражены простыми и целыми числами, при этом все грани одной формы будут выражены сходным образом.

Величины h, к и l называются индексами грани, а совокупности их - символом грани. Символ грани принято обозначать написанными подряд индексами без всяких знаков препинания и заключать их в круглые скобки (hbl). При этом индекс h относится к I оси, индекс k ко II и индекс l к III. Очевидно, что величины индекса обратны величине отрезка, делаемого гранью на оси. Если грань параллельна кристаллографической оси, то соответствующий индекс равен нулю. Если все три индекса могут быть сокращены на одну и ту же величину,

то такое сокращение необходимо сделать, помня, что индексы всегда простые и целые числа.

Символ грани, если он выражен числами, например (210) читается: два, один, нуль. Если грань делает отрезок на отрицательном направлении оси, то над соответствующим индексом ставится знак минус, например (010). Читается этот символ так: нуль, минус один, нуль.

Материалы
электронной техники
Лекция 2
к.т.н., доц. Марончук И.И.

Основы кристаллографии

ВВЕДЕНИЕ
Большинство современных конструкционных материалов, в том числе
и композиционных - это кристаллические вещества. Кристалл
представляет собой совокупность правильно расположенных атомов,
образующих закономерную структуру, возникшую самопроизвольно из
окружающей его неупорядоченной среды.
Причиной, вызывающей симметричное расположение атомов является
стремление кристалла к минимуму свободной энергии.
Кристаллизация (возникновение порядка из хаоса, то есть из раствора,
пара) происходит с такой же неизбежностью, как, например, процесс
падения тел. В свою очередь минимум свободной энергии достигается
при наименьшей доле поверхностных атомов в структуре, поэтому
внешним проявлением правильного внутреннего атомного строения
кристаллических тел является огранение кристаллов.
В 1669 г. датский ученый Н. Стенон обнаружил закон постоянства углов:
углы между соответствующими гранями кристалла постоянны и
характерны для данного вещества. Любое твердое тело состоит из
взаимодействующих частиц. Этими частицами, в зависимости от
природы вещества, могут быть отдельные атомы, группы атомов,
молекулы, ионы и т.п. Соответственно связь между ними бывает:
атомная (ковалентная), молекулярная (связь Ван – дер – Вальса), ионная
(полярная) и металлическая.

В современной кристаллографии можно выделить четыре
направления, которые в известной мере связаны одно с
другим:
- геометрическую кристаллографию, изучающую различные
формы кристаллов и законы их симметрии;
- структурную кристаллографию и кристаллохимию,
которые изучают пространственное расположение атомов в
кристаллах и зависимость его от химического состава и
условий образования кристаллов;
- кристаллофизику, изучающую влияние внутреннего
строения кристаллов на их физические свойства;
- физико-химическую кристаллографию, которая изучает
вопросы образования искусственных кристаллов.

АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТОК
Понятие о пространственной решетке и элементарной
ячейке
При изучении вопроса кристаллического строения тел
прежде всего необходимо иметь четкое представление о
терминах: «пространственная решетка» и «элементарная
ячейка». Эти понятия используются не только в
кристаллографии, но и в целом ряде смежных наук для
описания того, как расположены в пространстве
материальные частицы в кристаллических телах.
Как известно, в кристаллических телах, в отличие oт
аморфных, материальные частицы (атомы, молекулы,
ионы) располагаются в определенном порядке, на
определенном расстоянии друг от друга.

Пространственная решетка - это схема, которая показывает
расположение материальных частиц в пространстве.
Пространственная решетка (рис.) фактически состоит из
множества
одинаковых
параллелепипедов,
которые
целиком, без промежутков, заполняют пространство.
Материальные частицы обычно располагаются в узлах
решетки - точках пересечения ее ребер.
Пространственная решетка

Элементарная ячейка - это
наименьший
параллелепипед, с
помощью которого можно
построить всю
пространственную решетку
путем непрерывных
параллельных переносов
(трансляций) в трех
направлениях пространства.
Вид элементарной ячейки
представлен на рис.
Три вектора a, b, c являющиеся ребрами элементарной ячейки,
называют векторами трансляции. Их абсолютная величина (a,
b, c) - это периоды решетки, или осевые единицы. Вводят в
рассмотрение и углы между векторами трансляций - α (между
векторами b, c), β (между a, c) и γ (между a, b). Таким
образом, элементарную ячейку определяют шесть величин: три
значения периодов (а, в, c) и три значения углов между ними
(α, β, γ).

Правила выбора элементарной ячейки
При изучении представлений об элементарной ячейке следует
обратить внимание на то, что величину и направление
трансляций в пространственной решетке можно выбрать поразному, поэтому форма и размеры элементарной ячейки
будут различны.
На рис. рассмотрен двумерный случай. Показана плоская
сетка решетки и разные способы выбора плоской
элементарной ячейки.
Способы выбора
элементарной ячейки

В середине XIX в. французский кристаллограф О. Браве
предложил следующие условия выбора элементарной
ячейки:
1) симметрия элементарной ячейки должна соответствовать
симметрии пространственной решетки;
2) число равных ребер и равных углов между ребрами
должно быть максимальным;
3) при наличии прямых углов между ребрами их число
должно быть максимальным;
4) при соблюдении этих трех условий объем
элементарной ячейки должен быть минимальным.
На основании этих правил Браве доказал, что существует
только 14 типов элементарных ячеек, которые получили
название трансляционных, поскольку строятся они путем
трансляции - переноса. Эти решетки отличаются друг от
друга величиной и направлением трансляций, а отсюда
вытекает различие в форме элементарной ячейки и в числе
узлов с материальными частицами.

Примитивные и сложные элементарные ячейки
По числу узлов с материальными частицами элементарные
ячейки подразделяется на примитивные и сложные. В
примитивных ячейках Браве материальные частицы находятся
только в вершинах, в сложных - в вершинах и дополнительно
внутри или на поверхности ячейки.
К числу сложных ячеек относятся объемноцентрированная I ,
гранецентрированная F и базоцентрированная С. На рис.
показаны элементарные ячейки Браве.
Элементарные ячейки Браве: а – примитивная, б –
базоцентрированная, в – объемноцентрированная, г –
гранецентрированная

В объемноцентрированной ячейке имеется дополнительный узел в
центре ячейки, принадлежащий только данной ячейке, поэтому
здесь имеется два узла (1/8х8+1 = 2).
В гранецентрированной ячейке узлы с материальными частицами
находятся, кроме вершин ячейки, еще в центрах всех шести граней.
Такие узлы принадлежат одновременно двум ячейкам: данной и
другой, смежной с ней. На долю данной ячейки каждый из таких
узлов принадлежит 1/2 часть. Поэтому в гранецентрированной
ячейке будет четыре узла (1/8х8+1/2х6 = 4).
Аналогично в базоцентрированной ячейке находятся 2 узла
(1/8х8+1/2х2 = 2) с материальными частицами. Основные сведения
об элементарных ячейках Браве приведены ниже в табл. 1.1.
Примитивная ячейка Браве содержит трансляции a,b,c только
вдоль координатных осей. В объемноцентрированной ячейке
добавляется еще трансляция вдоль пространственной диагонали -
к узлу, расположенному в центре ячейки. В гранецентрированной,
кроме осевых трансляций a,b,c имеются дополнительная
трансляция вдоль диагоналей граней, а в базоцентрированной -
вдоль диагонали грани, перпендикулярной оси Z.

Таблица 1.1
Основные сведения о примитивных и сложных ячейках Браве
Базис
Тип решетки Браве
Число Основные
узлов трансляции
Примитивная Р
1
a,b,c
Объемноцентрированн 2
ая I
a,b,c,(a+b+c)/2
[]
Гранецентрированная
F
a,b,c,(a+b)/2,(a+c)/2,
(b+c)/2
[]
a,b,c,(a+b)/2
[]
4
Базоцентрированная С 2
Под базисом понимают совокупность координат
минимального числа узлов, выраженную в осевых
единицах, трансляцией которых можно получить всю
пространственную решетку. Базис записывается в сдвоенных
квадратных скобках. Координаты базиса для различных
типов ячеек Браве приведены в табл.1.1.

Элементарные ячейки Браве
В зависимости от формы все ячейки Браве распределяются между
семью кристаллическими системами (сингониями). Слово
«сингонИя» означает сходноугольность (от греч. σύν - «согласно,
вместе, рядом», и γωνία - «угол»). Каждой сингонии соответствуют
определенные элементы симметрии. В табл. указаны соотношения
между периодами решетки а, в, с и осевыми углами α, β, γ для
каждой сингонии
Сингонии
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тетрагональная
Гексагональная
Соотношения между
периодами решетки и углами
а ≠ в ≠ с, α ≠ β ≠ γ ≠ 90º
а ≠ в ≠ с, α = γ =90º ≠ β
а ≠ в ≠ с, α = β = γ =90º
а = в ≠ с, α = β = γ =90º
а = в ≠ с, α = β =90º, γ =120º
Ромбоэдрическая
Кубическая
а =в = с,
а = в = с,
α = β =γ ≠ 90º
α = β = γ = 90º

На рис. представлены все
четырнадцать типов
элементарных ячеек Браве,
распределенные по сингониям.
Гексагональная ячейка Браве
представляет собой
базоцентрированную
шестигранную призму. Однако
очень часто ее изображают
иначе - в виде четырехгранной
призмы с ромбом в основании,
которая представляет одну из
трех призм, составляющих
шестигранную (на рис. она
представлена сплошными
линиями). Такое изображение
проще и удобнее, хотя связано с
нарушением принципа
соответствия симметрии
(первый принцип выбора
элементарной ячейки по Браве).

Для ромбоэдрической сингонии
элементарной ячейкой,
удовлетворяющим условиям
Браве, является примитивный
ромбоэдр R, у которого а=в=с и
α=β=γ≠ 90º. Наряду с R- ячейкой
для описания ромбоэдрических
структур пользуются и
гексагональной ячейкой,
поскольку ромбоэдрическую
ячейку всегда можно свести к
гексагональной (рис.) и
представить ее как три
примитивные гексагональные
ячейки. В связи с этим в
литературе ромбоэдрическую
сингонию иногда отдельно не
Три примитивные
рассматривают, представляя, ее
гексагональные ячейки,
как разновидность
эквивалентные ромбоэдрической
гексагональной.

Принято сингонии с одинаковыми соотношениями между
осевыми единицами объединять в одну категории. Поэтому
триклинную, моноклинную и ромбическую сингонии
объединяют в низшую категорию (а≠в≠с), тетрагональную,
гексагональную (и производную от нее ромбоэдрическую) – в
среднюю (а=в≠с), к высшей категории (а=в=с) относится
кубическая сингония.
Понятие о координационном числе
В сложных ячейках материальные частицы уложены более
плотно, чем в примитивных, более полно заполняют объем
ячейки, больше связаны друг с другом. Для характеристики
этого вводят понятие о координационном числе.
Под координационным числом данного атома понимают число
ближайших соседних атомов. Если речь идет о
координационном числе иона, то подразумевается число
ближайших к нему ионов противоположного знака. Чем больше
координационное число, тем с большим числом атомов или
ионов связан данный, тем больше места занято частицами, тем
компактнее решетка.

Пространственные решетки металлов
Наиболее распространенные среди металлов пространственные
решетки относительно просты. Они большей частью совпадают
с трансляционными решетками Браве: кубической
объемноцентрированной и гранецентрированной. В узлах этих
решеток располагаются атомы металлов. В решетке
объемноцентрированного куба (ОЦК - решетки) каждый атом
окружен восемью ближайшими соседями, и координационное
число КЧ = 8. Решетку ОЦК имеют металлы: -Fe, Li, Na, K, V,
Cr, Ta, W, Mo, Nb и др.
В решетке гранецентрированного куба (ГЦК - решетки) КЧ = 12:
любой атом, расположенный в вершине ячейки имеет
двенадцать ближайших соседей, которыми является атомы,
находящиеся в центрах граней. Решетку ГЦК имеют металлы:
Al, Ni, Cu, Pd, Ag, Ir, Pt, Pb и др.
Наряду с этими двумя, среди металлов (Be, Mg, Sc, -Ti, -Co,
Zn, Y, Zr, Re, Os, Tl, Cd и др.) встречается еще гексагональная
компактная. Эта решетка не является трансляционной решеткой
Браве, так как простыми трансляциями ее нельзя описать.

На рис. представлена элементарная ячейка гексагональной
компактной решетки. Элементарная ячейка гексагональной
компактной решетки представляет собой шестигранную
призму, однако чаще всего ее изображают в виде
четырехгранной призмы, основанием которой является ромб
(a=b) c углом γ = 120°. Атомы (рис.б) расположены в вершинах
и в центре одной из двух трехгранных призм, образующих
элементарную ячейку. Ячейке принадлежат два атома: 1/8х8 + 1
=2, ее базис [].
Отношение высоты элементарной ячейки c к расстоянию a, т.е.
c/a, равно 1,633; сами же периоды c и a для разных веществ
различны.
Гексагональная
компактная решетка:
а – шестигранная
призма, б –
четырехгранная
призма.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ
Кристаллографические индексы плоскости
В кристаллографии часто приходится описывать взаимное
расположение отдельных плоскостей кристалла, его
направлений, для чего удобно пользоваться
кристаллографическими индексами. Кристаллографические
индексы дают представление о расположении плоскости
или направления относительно системы координат. При
этом не имеет значения, прямоугольная или косоугольная
система координат, одинаковые или разные масштабные
отрезки по координатным осям. Представим себе ряд
параллельных плоскостей, проходящих через одинаковые
узлы пространственной решетки. Эти плоскости
расположены на одинаковом расстоянии друг от друга и
составляют семейство параллельных плоскостей. Они
одинаково ориентированы в пространстве и потому
характеризуются одинаковыми индексами.

Выберем из этого семейства какую-либо плоскость и
введем в рассмотрение отрезки, которые плоскость
отсекает по координатным осям (координатные оси x,
y, z обычно совмещают с ребрами элементарной
ячейки, масштаб по каждой оси равняется
соответствующей осевой единице - периоду a, или b,
или c). Величины отрезков выражают в осевых
единицах.
Кристаллографические индексы плоскости (индексы
Миллера) - это три наименьших целых числа,
которые обратно пропорциональны числу осевых
единиц, отсекаемых плоскостью на координатных
осях.
Индексы плоскости обозначаются буквами h, k, l,
записываются подряд и заключаются в круглые
скобки-(hkl).

Индексами (hkl) характеризуются все плоскости семейства
параллельных плоскостей. Этот символ означает, что
семейство параллельных плоскостей рассекает осевую
единицу вдоль оси x на h частей, вдоль оси y на k
частей и вдоль оси z на l частей.
При этом плоскость ближайшая к началу координат,
отсекает на координатных осях отрезки 1/h (по оси x),
1/k (по оси y), 1/l (по оси z).
Порядок нахождения кристаллографических индексов
плоскости.
1.Находим отрезки, отсекаемые плоскостью на
координатных осях, измеряя их в осевых единицах.
2. Берем обратные значения этих величин.
3. Приводим отношение полученных чисел к отношению
трех наименьших целых чисел.
4. Полученные три числа заключаем в круглые скобки.

Пример. Найти индексы плоскости, которая отсекает на
координатных осях следующие отрезки: 1/2; 1/4; 1/4.
Поскольку длины отрезков выражены в осевых единицах,
имеем 1/h=1/2; 1/k=1/4; 1/l=1/4.
Находим обратные значения и берем их отношение
h: k: l = 2: 4: 4.
Сократив на два, приведем отношение полученных величин
к отношению трех целых наименьших чисел: h: k: l = 1: 2:
2. Индексы плоскости записываем в круглых скобках
подряд, без запятых - (122). Они читаются порознь -
"один, два, два".
Если плоскость пересекает кристаллографическую ось в
отрицательном направлении, над соответствующим
индексом сверху ставится знак "минус". Если плоскость
параллельна какой-либо координатной оси, то в символе
плоскости индекс, соответствующий этой оси, равен нулю.
Например, символ (hko) означает, что плоскость
пересекается с осью z в бесконечности и индекс плоскости
по этой оси будет 1/∞ = 0.

Плоскости, отсекающие на каждой оси по равному числу
осевых единиц, обозначаются как (111). В кубической
сингонии их называют плоскостями октаэдра, т. к. система
этих плоскостей, равноотстоящих от начала координат,
образует восьмигранник – октаэдр рис.
Октаэдр

Плоскости, отсекающие по двум осям равное число осевых
единиц и параллельные третьей оси (например, оси z)
обозначаются (110). В кубической сингонии подобные
плоскости называют плоскостями ромбического додекаэдра,
так
как
система
плоскостей
типа
(110)
образует
двенадцатигранник (додека – двенадцать), каждая грань
которого – ромб рис.
Ромбический
додекаэдр

Плоскости, пересекающие одну ось и параллельные двум
другим (например, осям y и z), обозначают - (100) и
называют в кубической сингонии плоскостями куба, то есть
система подобных плоскостей образует куб.
При решений различных задач, связанных с построением в
элементарной ячейке плоскостей, систему координат
целесообразно выбрать так, чтобы искомая плоскость
располагалась в заданной элементарной ячейке. Например,
при построении плоскости (211) в кубической ячейке начало
координат удобно перенести из узла О в узел О’ .
Плоскость куба (211)

Иногда индексы плоскости записывают в фигурных скобках
{hkl}.Эта запись означает символ совокупности идентичных
плоскостей. Такие плоскости проходят через одинаковые узлы
в пространственной решетке, симметрично расположены в
пространстве
и
характеризуются
одинаковым
межплоскостным расстоянием.
Плоскости октаэдра в кубической сингонии принадлежат к
одной совокупности {111}, они представляют грани октаэдра и
имеют следующие индексы: {111} →(111), (111), (111), (111),
(111), (111), (111), (111).
Символы всех плоскостей совокупности находят путем
перестановки местами и изменения знаков отдельных
индексов.
Для плоскостей ромбического додекаэдра обозначение
совокупности: {110} → (110), (110), (110),
(110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011).

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ УЗЛА
Кристаллографические индексы узла - это его
координаты, взятые в долях осевых единиц и записанные в
сдвоенных квадратных скобках. При этом координата,
соответствующая оси x, обозначается в общем виде буквой
u, для оси y – v, для оси z - w. Символ узла имеет вид
[]. Символы некоторых узлов в элементарной ячейке
показаны на рис.
Некоторые узлы в
элементарной ячейке
(Иногда узел обозначают
как [])

Кристаллографические индексы направления
В кристалле, где все параллельные направления
идентичны друг другу, направление, проходящее через
начало координат, характеризует все данное семейство
параллельных направлений.
Положение
в
пространстве
направления,
проходящего через начало координат, определяется
координатами любого узла, лежащего на этом
направлении.
Координаты
любого
узла,
принадлежащего
направлению, выраженные в долях осевых единиц и
приведенные к отношению трех целых наименьших
чисел,
и
есть
кристаллографические
индексы
направления. Они обозначаются целыми числам u, v, w
и записываются слитно в квадратных скобках .

Порядок нахождения индексов направления
1. Из семейства параллельных направлений выбрать
такое, которое проходит через начало координат, или
перенести данное направление параллельно самому
себе в начало координат, или перенести начало
координат в узел, лежащий на данном направлении.
2. Найти координаты любого узла, принадлежащего
данному направлению, выразив их в осевых единицах.
3. Взять отношение координат узла и привести его к
отношению трех целых наименьших чисел.
4. Полученные три числа заключить в квадратные
скобки.
Важнейшие направления в кубической решетке и их
индексы представлены на рис.

Некоторые направления в кубической решетке

ПОНЯТИЕ О КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ И ПОЛЯРНОМ
КОМПЛЕКСЕ
Метод кристаллографических проекций основан на
одной из характерных особенностей кристаллов - законе
постоянства углов: углы между определенными гранями и
ребрами кристалла всегда постоянны.
Так, когда кристалл растет, меняются размеры граней, их
форма, но углы остаются неизменными. Поэтому в
кристалле можно перенести все ребра и грани параллельно
самим себе в одну точку пространства; угловые
соотношения при этом сохраняется.
Такая
совокупность
плоскостей
и
направлений,
параллельных плоскостям и направлениям в кристалле и
проходящая через одну точку, получила название
кристаллического комплекса, а сама точка называется
центром
комплекса.
При
построении
кристаллографических проекций кристалл всегда заменяют
кристаллическим комплексом.

Чаще рассматривают не кристаллический комплекс, а
полярный (обратный).
Полярный комплекс, получают из кристаллического
(прямого) путем замены плоскостей нормалями к ним, а
направлений - перпендикулярными к ним плоскостями.
а
б
Куб (а), его кристаллический (б) и
полярный комплекс (в)
в

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ
(СИММЕТРИЯ КОНТИНУУМА)
ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИИ
Кристаллы существуют в природе в виде кристаллических
многогранников. Кристаллы разных веществ отличаются друг
от друга по своим формам. Каменная соль - это кубики;
горный хрусталь - шестигранные призмы, заостренные на
концах; алмаз - чаще всего правильные восьмигранники
(октаэдры); кристаллы граната - двенадцатигранники (рис.).
Такие кристаллы обладают симметрией.

Характерной
особенностью
кристаллов
является
анизотропия их свойств: в различных направлениях они
разные, но в параллельных направлениях одинаковы, а
также одинаковы и в симметричных направлениях.
Не всегда кристаллы имеют форму правильных
многогранников.
В реальных условиях роста, при
затруднении в свободном росте симметричные грани могут
развиваться неравномерно и правильная внешняя форма
может не получиться, однако правильное внутреннее
строение при этом полностью сохраняется, а также
сохраняется симметрия физических свойств.
Греческое слово "симметрия" означает соразмерность.
Симметричная фигура состоит из равных, одинаковых
частей. Под симметрией понимают свойство тел или
геометрических фигур совмещать отдельные части друг с
другом при некоторых симметрических преобразованиях.
Геометрические образы, с помощью которых задаются и
осуществляются симметрические преобразования, называют
элементами симметрии.

Рассматривая симметрию внешней огранки кристалла,
кристаллическую
среду
представляют
себе
как
непрерывную, сплошную, так называемый континуум (в
переводе с латинского на русский - означает непрерывный,
сплошной). Все точки такой среде совершенно одинаковы.
Элементы симметрии континуума описывают внешнюю
форму кристаллического многогранника, поэтому их еще
называют макроскопическими элементами симметрии.
Фактически
же
кристаллическая
среда
является
дискретной. Кристаллы состоят из отдельных частиц
(атомов, ионов, молекул), которые расположены в
пространстве
в
виде
бесконечно
простирающихся
пространственных решеток. Симметрия в расположении
этих частиц сложнее и богаче, чем симметрия внешних
форм кристаллических многогранников. Поэтому наряду с
континуумом
рассматривается
и
дисконтинуум
-
дискретная, реальная структура материальных частиц со
своими элементами симметрии, получившими название
микроскопических элементов симметрии.

Элементы симметрии
В
кристаллических
многогранниках
встречаются
простые
элементы
симметрии
(центр
симметрии,
плоскость симметрии, поворотная ось) и сложный элемент
симметрии (инверсионная ось).
Центр симметрии (или центр инверсии) - особая точка
внутри фигуры, при отражении в которой любая точка
фигуры имеет эквивалентную себе, то есть обе точки
(например, пара вершин) расположены на одной прямой,
проходящей через центр симметрии, и равноудалены от
него. При наличии центра симметрии каждая грань
пространственной
фигуры
имеет
параллельную
и
противоположно направленную грань, каждому ребру
соответствует равноудаленное, равное, параллельное, но
противоположно направленное ребро. Поэтому центр
симметрии представляет собой как бы зеркальную точку.

Плоскость симметрии - это такая плоскость, которая
делит фигуру на две части, расположенные друг
относительно друга как предмет и его зеркальное отражение,
то есть на две зеркально равные части Обозначения
плоскости симметрии – Р (старое) и m (международное).
Графически плоскость симметрии обозначается сплошной
линией. У фигуры может быть одна или несколько
плоскостей симметрии, и все они пересекаются друг с
другом. В кубе имеется девять плоскостей симметрии.

Поворотная ось - это такая прямая, при повороте вокруг
которой на некоторый определенный угол фигура
совмещается сама с собой. Величина угла поворота
определяет порядок поворотной оси n, который
показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой
при полном обороте вокруг этой оси (на 360°):
В изолированных геометрических фигурах возможны
оси симметрии любых порядков, но в кристаллических
многогранниках порядок оси ограничен, он может иметь
только следующие значения: n= 1, 2, 3, 4, 6. В
кристаллических
многогранниках
невозможны
оси
симметрии пятого и выше шестого порядков. Это вытекает
из принципа непрерывности кристаллической среды.
Обозначения осей симметрии: старые - Ln (L1, L2, L3, L4, L6)
и
международные
арабскими
цифрами,
соответствующими порядку поворотной оси (1, 2, 3, 4, 6).

Графически
поворотные
многоугольниками:
оси
изображаются

Понятие о классе симметрии
Каждый кристаллический многогранник обладает набором
элементов симметрии. Сочетаясь друг с другом, элементы
симметрии кристалла обязательно пересекаются, и при этом
возможно появление новых элементов симметрии.
В кристаллографии доказываются следующие теоремы
сложения элементов симметрии:
1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии есть ось
симметрии, для которой угол поворота вдвое больше угла
между плоскостями.
2. Через точку пересечения двух осей симметрии проходит
третья ось симметрии.
3. В
точке
пересечения
плоскости
симметрии
с
перпендикулярной к ней осью симметрии четного порядка
возникает центр симметрии.
4. Число осей второго порядка, перпендикулярных главной
оси симметрии высшего порядка (третьего, четвертого,
шестого), равно порядку главной оси.

5. Число плоскостей симметрии, пересекающихся по
главной оси высшего порядка, равно порядку этой оси.
Число сочетаний элементов симметрии друг с другом
в кристаллах строго ограничено. Все возможные
сочетания элементов симметрии в кристаллах выводятся
строго математически, принимая во внимание теоремы
сложения элементов симметрии.
Полный набор элементов симметрии, присущих
данному кристаллу, называется его классом симметрии.
Строгий математический вывод показывает, что все
возможные
для
кристаллических
многогранников
сочетания
элементов
симметрии
исчерпываются
тридцатью двумя классами симметрии.

Связь между пространственной решеткой и элементами
симметрии
Наличие тех или иных элементов симметрии определяет
геометрию
пространственной
решетки,
накладывая
определенные
условия
на
взаимное
расположение
координатных осей и равенство осевых единиц.
Существуют общие правила выбора координатных осей,
учитывающие набор элементов симметрии кристалла.
1. Координатные оси совмещают с особыми или единичными
направлениями,
неповторяющимися
в
кристалле
поворотными или инверсионными осями, для которых
порядок оси больше единицы, и нормалями к плоскости
симметрии.
2. Если в кристалле только одно особое направление, с ним
совмещают одну из координатных осей, обычно ось Z. Две
другие оси располагают в плоскости, перпендикулярной
особому направлению параллельно ребрам кристалла.
3. При отсутствии особых направлений координатные оси
выбирают параллельно трем не лежащим в одной плоскости
ребрам кристалла.

Исходя из этих правил, можно получить все семь
кристаллических систем, или сингоний. Они отличаются
друг от друга соотношением масштабных единиц а, b, c и
осевыми углами, . Три возможности: а b c, а=b c, а=b=c
позволяют
распределить
все
кристаллографические
координатные системы (сингонии) по трем категориям низшей, средней и высшей.
Каждая категория характеризуется наличием определенных
элементов симметрии. Так, у кристаллов низшей категории
нет осей высшего порядка, то есть осей 3, 4 и 6, а могут быть
оси второго порядка, плоскости и центр симметрии.
У кристаллов средней категории имеется ось высшего
порядка, а также могут быть оси второго порядка, плоскости
симметрии, центр симметрии.
Самые симметричные кристаллы относятся к высшей
категории. У них имеется несколько осей высшего порядка
(третьего и четвертого), могут быть оси второго порядка,
плоскости и центр симметрии. Однако отсутствуют оси
шестого порядка.

Понятие о симметрии дисконтинуума и пространственной
группе
Наличие
32
классов
симметрии
кристаллических
многогранников показывает, что все многообразие внешних
форм кристалла подчиняется законам симметрии.
Симметрия внутренней структуру кристаллов, расположения
частиц (атомов, ионов, молекул) внутри кристаллов должна
быть сложнее, поскольку внешняя форма кристаллов
ограничена, а кристаллическая решетка простирается
бесконечно во все стороны пространства.
Законы расположения частиц в кристаллах были
установлены великим русским кристаллографом Е. С.
Федоровым в 1891 г. Им было найдено 230 способов
расположения частиц в пространственной решетке - 230
пространственных групп симметрии.

Элементы симметрии пространственных решеток
Помимо описанных выше элементов симметрии (центр
симметрии,
плоскость
симметрии,
поворотные
и
инверсионные оси), в дискретной среде возможны и другие
элементы
симметрии,
связанные
с
бесконечностью
пространственной решетки и периодической повторяемостью
в расположении частиц.
Рассмотрим новые виды симметрии, присущие только
дисконтинууму. Их три: трансляция, плоскость скользящего
отражения и винтовая ось.
Трансляция - это перенос всех частиц по параллельным
направлениям в одну и ту же сторону на одинаковую
величину.
Трансляция является простым элементом симметрии,
присущим каждой пространственной решетке.

Комбинация трансляции с плоскостью симметрии
приводит к появлению плоскости скользящего отражения,
сочетание трансляции с поворотной осью создает
винтовую ось.
Плоскость скользящего отражения, или плоскость
скольжения - это такая плоскость, при отражении в
которой как в зеркале с последующей трансляцией вдоль
направления, лежащего в данной плоскости, на величину,
равную половине периода идентичности для данного
направления, совмещаются все точки тела. Под периодом
идентичности, как и ранее, будем понимать расстояние
между точками вдоль какого-то направления (например,
периоды а, b, с в элементарной ячейке - это периоды
идентичности вдоль координатных осей X, Y, Z).

Винтовая ось - это прямая, поворот вокруг которой на
некоторый
угол,
соответствующий
порядку
оси,
с
последующей трансляцией вдоль оси на величину, кратную
периоду идентичности t, совмещает точки тела.
Обозначение винтовой оси в общем виде nS ,где n
характеризует порядок поворотной оси (n=1, 2, 3, 4, 6), а
St/n- величину трансляции вдоль оси. При этом S S=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Итак, для винтовой оси второго порядка
трансляция составляет t/2, для винтовой оси третьего
порядка наименьший перенос t/3.
Обозначение винтовой оси второго порядка будет 21.
Совмещение частиц произойдет после поворота вокруг оси
на 180° с последующей трансляцией вдоль направления,
параллельного оси, на t/2.
Обозначение винтовой оси третьего порядка будет 31.
Однако возможны оси с переносом, кратным наименьшему.
Поэтому возможна винтовая ось 32 с трансляцией 2t/3.

Оси 31 и 32 означают поворот вокруг оси на 120° по
часовой стрелке с последующим переносом. Эти винтовые
оси называются правыми. Если же поворот производить
против часовой стрелки, то центровые оси симметрии
называются левыми. При этом действие оси 31 правой
тождественно действию оси 32 левой и 32 правой - 31
левой.
Так же могут рассматриваться винтовые оси симметрии
четвертого и шестого порядков: оси 41 и 43 оси 61 и 65, 62
и 64. могут быть правам и левыми. Действие осей 21, 42 и
63 не зависит от выбора направления вращения вокруг оси.
Поэтому
они
являются
нейтральными.
Условные
обозначения винтовых осей симметрии:

Обозначение пространственной группы симметрии
Символ пространственной группы содержит полную
информацию о симметрии кристаллической структуры. На
первом месте в символе пространственной группы ставится
буква, характеризующая тип решетки Браве: Р примитивная,
С
базоцентрированная,
I
обьемноцентрированная, F - гранецентрированная. В
ромбоэдрической сингонии на первом месте ставят букву R.
Далее следуют одно, два или три числа или буквы,
указывающие
элементы
симметрии
в
главных
направлениях, аналогично тому, как это делается при
составлении обозначения класса симметрии.
Если в структуре в каком-нибудь из главных направлений
одновременно располагаются и плоскости симметрии и
оси симметрии, предпочтение отдается плоскостям
симметрии, и в символ пространственной группы
записываются плоскости симметрии.

При наличии нескольких осей предпочтение отдается
простым осям - поворотным и инверсионным, поскольку их
симметрия является более высокой, чем симметрия
винтовых осей.
Имея символ пространственной группы, легко можно
определить тип решетки Браве, сингонию ячейки, элементы
симметрии в главных направлениях. Так, пространственная
группа P42/mnm (Федоровские группы дитетрагональнодипирамидального
вида
симметрии,
135
группа)
характеризует примитивную ячейку Браве в тетрагональной
сингонии (винтовая ось четвертого порядка 42 определяет
тетрагональную сингонию).
В главных направлениях расположены следующие
элементы симметрии. С направлением - оси Z
совпадает винтовая ось 42 ,которая перпендикулярна
симметрии m. В направлениях и (оси Х и Y)
расположена плоскость скользящего отражения типа n, в
направлении проходит плоскость симметрии m.

Дефекты в строении кристаллических тел
Дефекты тел делят на динамические
(временные) и статические (постоянные).
1. Динамические дефекты возникают при
механических, тепловых, электромагнитных
воздействиях на кристалл.
К ним относятся фононы – временные искажения
регулярности решетки, вызванные тепловым
движением атомов.
2. Статические дефекты
Различают точечные и протяженные несовершенства
структуры тел.

Точечные дефекты: незанятые узлы решетки
(вакансии); смещения атома из узла в междоузлие;
внедрения в решетку чужеродного атома или иона.
Протяженные дефекты: дислокации (краевая и
винтовая), поры, трещины, границы зерен,
микровключения другой фазы. Часть дефектов показана
на рисунке.

Основные свойства
материалов

К основным свойствам относятся: механические, тепловые,
электрические, магнитные и технологические, а также их
сопротивление коррозии.
Механические свойства материалов характеризуют возможность их
использования в изделиях, эксплуатируемых при воздействии
механи-ческих нагрузок. Основными показателями таких свойств
служат параметры прочности и твердость. Они зависят не только от
природы мате-риалов, но и от формы, размеров и состояния
поверхности образцов, а также режимов испытаний, прежде всего,
от скорости нагружения, температуры, воздействия сред и других
факторов.
Прочность – свойство материалов сопротивляться разрушению, а
также необратимому изменению формы образца под действием
внешних нагрузок.
Предел прочности – напряжение, соответствующее максимальному
(в момент разрушения образца) значению нагрузки. Отношение
наибольшей силы, действующей на образец, к исходной площади
его поперечного сечения называют разрушающим напряжением и
обозначают σв.

Деформирование – изменение относительного расположения частиц в
материале. Наиболее простые его виды – растяжение, сжатие, изгиб,
кручение, сдвиг. Деформация – изменение формы и размеров образца в
результате деформирования.
Параметры деформирования – относительное удлинение ε = (l– l0)/l0 (где
l0 и l – длина образца исходная и после деформирования), угол сдвига –
изменение прямого угла между лучами, исходящими из одной точки в
образце, при его деформировании. Деформацию называют упругой, если
она исчезает после снятия нагрузки, или пластической, если она не
исчезает (необратима). Пластическими свойствами материалов при
малых деформациях часто пренебрегают.
Предел упругости – напряжение, при котором остаточные деформации (т.
е. деформации, обнаруживаемые при разгрузке образца) достигают
значения, установленного техническими условиями. Обычно допуск на
остаточную деформацию составляет 10–3 ÷10–2 %. Предел упругости σу
ограничивает область упругих деформаций материала.
Понятие о модуле как о характеристике упругости материалов возникло
при рассмотрении идеально упругих тел, деформация которых линейно
зависит от напряжения. При простом растяжении (сжатии)
σ = Еε
где Е – модуль Юнга, или модуль продольной упругости, который
характеризует сопротивление материалов упругой деформации (растяжению, сжатию); ε − относительная деформация.

При сдвиге в материале по направлению сдвига и по нормали к нему
действуют только касательные напряжения
где G – модуль сдвига, характеризующий упругость материала при
изменении формы образца, объем которого остается постоянным; γ − угол
сдвига.
При всестороннем сжатии в материале по всем направлениям действует
нормальное напряжение
где К − модуль объемной упругости, который характеризует
сопротивление материала изменению объема образца, не
сопровождающемуся изменением его формы; ∆ – относительное
объемное сжатие.
Постоянной величиной, характеризующей упругость материалов при
одноосном растяжении, является коэффициент Пуассона:
где ε′ – относительное поперечное сжатие; ε – относительное
продольное удлинение образца.

Твердость является механической характеристикой материалов,
комплексно отражающей их прочность, пластичность, а также
свойства поверхностного слоя образцов. Она выражается
сопротивлением материала местному пластическому
деформированию, возникающему при внедрении в образец более
твердого тела – индентора. Вдавливание индентора в образец с
последующим измерением размеров отпечатка является основным
технологическим приемом при оценке твердости материалов. В
зависимости от особенностей приложения нагрузки, конструкции
инденторов и определения чисел твердости различают методы
Бринелля, Роквелла, Виккерса, Шора. При измерении
микротвердости по ГОСТ 9450–76 на поверхности образца
остаются отпечатки незначительной глубины, поэтому такой
метод используют, когда образцы выполнены в виде фольги,
пленок, покрытий малой толщины. Метод определения
пластической твердости заключается во вдавливании в образец
сферического наконечника путем последовательного приложения
различных нагрузок.

Коррозия – физико-химический процесс изменения свойств, повреждения
структуры и разрушения материалов вследствие перехода их компонентов в
химические соединения с компонентами окружающей среды. Под
коррозионным повреждением понимают любой дефект структуры
материала, возникший в результате коррозии. Если механические
воздействия ускоряют коррозию материалов, а коррозия облегчает их
механическое разрушение, имеет место коррозионно-механическое
повреждение материалов. Потери материалов из-за коррозии и затраты на
защиту от нее машин и оборудования непрерывно увеличиваются
вследствие активизации производственной деятельности человека и
загрязнения окружающей среды отходами производства.
Наиболее часто сопротивление материалов коррозии характеризуют с
помощью параметра коррозионной стойкости – величины, обратной
технической скорости коррозии материала в данной коррозионной системе.
Условность этой характеристики заключается в том, что она относится не к
материалу, а к коррозионной системе. Коррозионную стойкость материала
нельзя изменить, не изменив других параметров коррозионной системы.
Противокоррозионная защита – это модифицирование коррозионной
системы, ведущее к снижению скорости коррозии материала.

Температурные характеристики.
Жаростойкость – свойство материалов сохранять или незначительно
изменять механические параметры при высоких температурах. Свойство
металлов противостоять коррозионному воздействию газов при высоких
температурах называют жароупорностью. В качестве характеристики
жаростойкости легкоплавких материалов используют температуру
размягчения.
Жаропрочность – свойство материалов длительное время сопротивляться
деформированию и разрушению при высоких температурах. Это
важнейшая характеристика материалов, эксплуатируемых при
температурах Т > 0,3 Тпл. Такие условия имеют место в двигателях
внутреннего сгорания, паросиловых установках, газовых турбинах,
металлургических печах и др.
При низких температурах (в технике – от 0 до –269 °С) увеличивается
статическая и циклическая прочность материалов, снижаются их
пластичность и вязкость, повышается склонность к хрупкому разрушению.
Хладноломкость – возрастание хрупкости материалов при понижении
температуры. Склонность материала к хрупкому разрушению определяют
по результатам ударных испытаний образцов с надрезом при понижении
температуры.

Тепловое расширение материалов регистрируют по изменению размеров
и формы образцов при изменении температуры. У газов оно обусловлено
увеличением кинетической энергии частиц при нагревании, у жидкостей
и твердых материалов связано с несимметричностью тепловых
колебаний атомов, благодаря чему межатомные расстояния с ростом
температуры увеличиваются.
Количественно тепловое расширение материалов характеризуют
температурным коэффициентом объемного расширения:
а твердых материалов – и температурным коэффициентом линейного
расширения (ТКЛР):
– изменения линейного размера, объема образцов и
температуры (соответственно).
Индекс ξ служит для обозначения условий теплового расширения (обычно –
при постоянном давлении).
Экспериментально αV и αl определяют методами дилатометрии, изучающей
зависимость изменения размеров тел при воздействии внешних факторов.
Специальные измерительные приборы – дилатометры – различаются
устройством датчиков и чувствительностью систем регистрации размеров
образцов.

Теплоемкость – отношение количества теплоты, полученной телом при
бесконечно малом изменении его состояния в каком-либо процессе, к
вызванному последним приращению температуры:
По признакам термодинамического процесса, в котором определяют
теплоемкость материала, различают теплоемкость при постоянном объеме
и при постоянном давлении. В процессе нагревания при постоянном
давлении (изобарный процесс) часть теплоты расходуется на расширение
образца, а часть – на увеличение внутренней энергии материала. Теплота,
сообщенная тому же образцу при постоянном объеме (изохорный процесс),
расходуется только на увеличение внутренней энергии материала.
Удельная теплоемкость, Дж/(кг·К)], – отношение теплоемкости к массе
тела. Различают удельную теплоемкость при постоянном давлении (ср) и
при постоянном объеме (сv). Отношение теплоемкости к количеству
вещества называют молярной теплоемкостью (сm), Дж/(моль⋅К). Для всех
веществ ср > сv, для разреженных (близких к идеальным) газов сmp – сmv =
R (где R = 8,314 Дж/(моль⋅К) – универсальная газовая постоянная).

Теплопроводность – перенос энергии от более нагретых участков тела к
менее нагретым в результате теплового движения и взаимодействия
микрочастиц. Эта величина характеризует самопроизвольное
выравнивание температуры твердых тел.
Для изотропных материалов справедлив закон Фурье, согласно которому
вектор плотности теплового потока q пропорционален и противоположен
по направлению градиенту температуры Т:
где λ – коэффициент теплопроводности [Вт/(м·К)], зависящий от
агрегатного состояния, атомно-молекулярного строения, структуры,
температуры и других параметров материала.
Коэффициент температуропроводности (м2/с) является мерой
теплоизоляционных свойств материала:
где ρ – плотность; ср – удельная теплоемкость материала при
постоянном давлении.

Технологические свойства материалов характеризуют податливость
материалов технологическим воздействиям при переработке в изделия. Знание
этих свойств позволяет обоснованно и рационально проектировать и
осуществлять технологические процессы изготовления изделий. Основными
технологическими характеристиками материалов являются обрабатываемость
резанием и давлением, литейные параметры, свариваемость, склонность к
деформации и короблению при тепловой обработке и др.
Обрабатываемость резанием характеризуют следующими показателями:
качеством обработки материалов − шероховатостью обработанной поверхности
и точностью размеров образца, стойкостью инструмента, сопротивлением
резанию − скоростью и силой резания, видом стружко-образования. Значения
показателей определяют при обтачивании образцов и сравнивают с
параметрами материала, принятого за эталон.
Обрабатываемость давлением определяют в процессе технологических
испытаний материалов на пластическую деформацию. Методы оценки
обрабатываемости давлением зависят от вида материалов и технологии их
переработки. Например, технологические испытания металлов на изгиб
проводят, изгибая образцы до заданного угла. Считают, что образец выдержал
испытания, если в нем не появилось излома, расслоений, надрывов, трещин.
Листы и ленты испытывают на выдавливание с помощью специального
пресса. В образце формируют сферическую лунку, прекращая вытяжку в момент
достижения текучести материала. Результат определяют по наибольшей
глубине лунки в неразрушенных образцах.

Обрабатываемость давлением порошковых материалов характеризуют их
текучестью, уплотняемостью и формуемостью. Метод определения
текучести основан на регистрации времени истечения навески порошка в
процессе его самопроизвольного просыпания через калиброванное
отверстие воронки. От этого параметра зависит скорость заполнения
порошковыми материалами форм для обработки давлением.
Уплотняемость порошка характеризуют зависимостью объема навески
порошка от давления − диаграммой прессования. Формуемость − свойство
порошкового материала сохранять форму, полученную в процессе
прессования.
Литейные характеристики материалов − совокупность технологических
показателей, характеризующих формирование отливок путем заливки
расплавленных материалов в литейную форму. Жидкотекучесть −
свойство расплавленного материала заполнять литейную форму, зависит
от вязкости расплава, температур расплава и литейной формы, степени
смачивания расплавом стенок формы и т. д. Ее оценивают по длине
заполнения расплавом прямолинейного или спирального канала в
специальной литейной форме. Усадка литейная − уменьшение объема
расплава при переходе из жидкого состояния в твердое. Практически
усадку определяют как отношение соответствующих линейных размеров
формы и отливки в виде безразмерного коэффициента усадки,
индивидуального для каждого материала.

Свариваемость − свойство материала образовывать
сварное соединение, работоспособность которого
соответствует качеству основного материала,
подвергнутого сварке. О свариваемости судят по
результатам испытания сварных образцов и
характеристикам основного материала в зоне сварного
шва. Установлены правила определения следующих
показателей свариваемости металлов: механических
свойств сварных соединений, допускаемых режимов
дуговой сварки и наплавки, качества сварных
соединений и сварных швов, длительной прочности
сварных соединений.