ФОРМЫ ЗАДАНИЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ФОРМЫ ЗАДАНИЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1). Таблица (ряд)распределения - простейшая форма задания закона распределения дискретных случайных величин.

Так как в таблице перечислены все возможные значения случайной величины.

2). Многоугольник распределения . При графическом изображении ряда распределения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие им вероятности. Затем наносят точки и соединяют их прямолинейными отрезками. Полученная фигура -многоугольник распределения - также является формой задания закона распределения дискретной случайной величины.

3). Функция распределения - вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее некоторого заданного х , т.е

.

С геометрической точки зрения можно рассматривать как вероятность попадания случайной точки Х на участок числовой оси, расположенный левее фиксированной точки х.

2) ; ;

Задача 2.1. Случайная величина Х - число попаданий в мишень при 3‑х выстрелах (см. задачу 1.5). Построить ряд распределения, многоугольник распределения, вычислить значения функции распределения и построить её график.

Решение :

1) Ряд распределения случайной величины Х представлен в таблице

При	,
При	,
При	,
При
при	.

Откладывая по оси абсцисс значения х, а по оси ординат - значения и выбрав определённый масштаб, получим график функции распределения (рис. 2.2). Функция распределения дискретной случайной величины имеет скачки (разрывы) в тех точках, в которых случайная величина Х принимает конкретные значения, указанные в таблице распределения. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Рис. 2.2 - Функция распределения дискретной величины

1). Функция распределения .

Для непрерывной случайной величины график функции распределения (рис. 2.3) имеет форму плавной кривой.

Свойства функции распределения:

в) , если .

Рис. 2.3 - Функция распределения непрерывной величины

2). Плотность распределения определяется как производная от функции распределения, т.е.

.

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины , называется кривой распределения (рис. 2.4).

Свойства плотности:

а) , т.е. плотность есть неотрицательная функция;

б) , т.е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1.

Если все возможные значения случайной величины Х заключены в пределах от a до b , то второе свойство плотности примет вид:

Рис. 2.4 - Кривая распределения

На практике часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в некоторых пределах, например, от a до b. Искомая вероятность для дискретной случайной величины Х определяется по формуле

так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю: .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на интервал (a,b) определяется также выражением:

Задача 2.3. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность , а также вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Решение :

2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяем по формуле. Принимая и , находим

В научном цветоведении для оценки светлотных качеств поверхности пользуются также термином «белизна», который, на наш взгляд, имеет особо важное значение для практики и теории живописи. Термин «белизна» по своему содержанию близок понятиям «яркость» и «светлота», однако, в отличие от последних, он содержит оттенок качественной характеристики и даже в какой-то мере эстетической.

Что же такое белизна? Р. Ивенс объясняет это понятие следующим образом: «Если светлота характеризует восприятие яркости, то белизна характеризует восприятие отражательной способности». Чем больше поверхность отражает падающего на нее света, тем она будет белее, и теоретически идеально белой поверхностью следует считать поверхность, отражающую все падающие на нее лучи; однако практически таких поверхностей не существует, так же как и не существует поверхностей, которые полностью поглощали бы падающий на них свет. Практически мы называем белыми поверхности, отражающие различную долю света. Например, меловой грунт мы оцениваем как белый грунт, но стоит на нем выкрасить квадрат цинковыми белилами, как он утратит свою белизну. Если же внутри затем закрасить квадрат белилами, имеющими еще большую отражательную способность, например баритовыми, то первый квадрат также частично утратит свою белизну, хотя все три поверхности мы практически будем считать белыми. Выходит, что понятие «белизна» относительно, но в то же время имеется какой-то рубеж, с которого воспринимаемую поверхность мы начинаем считать уже не белой.

Понятие белизны можно выразить математически. Отношение светового потока, отраженного поверхностью, к потоку, падающему на нее (в процентах), носит название «альбедо» (от лат. albus — белый). Это отношение для данной поверхности в основном сохраняется при различных условиях освещенности, и поэтому белизна является более постоянным качеством поверхности, нежели светлота. Для белых поверхностей альбедо будет равняться 80-95%. Белизна различных белых веществ, таким образом, может быть выражена через их отражательную способность. В. Оствальд дает следующую таблицу белизны различных белых материалов:

• Сернокислый барий (баритовые белила) — 99%
• Цинковые белила — 94%
• Свинцовые белила — 93%
• Гипс — 90%
• Свежий снег — 90%
• Бумага — 86%
• Мел — 84%

Тело, которое совершенно не отражает света, в физике называется абсолютно черным телом. Но самая черная видимая нами поверхность не будет с физической точки зрения абсолютно черной. Поскольку она видима, то отражает хоть какую-то долю света и, таким образом, содержит хотя бы ничтожный процент белизны — так же как поверхность, приближающаяся к идеально белой, можно сказать, содержит хотя бы ничтожный процент черноты. Практически черной мы считаем такую поверхность, при восприятии которой неразличимы детали из-за недостаточности физического стимула. Белое и серое в натуре обладает поверхностными качествами, причем серое, чем оно темнее — в меньшей степени. Черное лишено этих качеств. Ивенс следующим образом определяет различие между белым, серым и черным: «Белое — это феномен, относящийся полностью к восприятию поверхности; серое — восприятие относительной светлоты поверхности, а черное — положительное восприятие недостаточности стимула для обеспечения должного уровня зрения».

В практике живописи понятие черного цвета также весьма относительно. Самое черное пятно в живописи обладает некоторой белизной и цветовым тоном. Различные черные краски, которые можно принять за предельную черноту, оказываются такими только при изолированном восприятии — при сопоставлении же их друг с другом они, кроме того, всегда обнаруживают различные цветовые оттенки. Ван Гог, например, насчитывал у Франса Хальса до 27 различных черных цветов. С чисто ахроматическим черным мы почти никогда не встречаемся. Цвет черной краски и является для художника эталоном черного, а опыт, приобретенный им в восприятии, дает возможность с этой чернотой соотносить все прочие тона.

Сетчатка состоит из двух видов светочувствительных клеток - палочек и колбочек. Днем, при ярком освещении, мы воспринимаем зрительную картину и различаем цвета с помощью колбочек. При слабом же освещении в действие вступают палочки, которые более чувствительны к свету, но не воспринимают цвета. Поэтому-то в сумерках мы видим все в сером цвете, и даже существует пословица "Ночью все кошки серые

Потому что в глазу есть два типа светочувствительных элементов: колбочки и палочки. Колбочки различают цвета, а палочки различают только интенсивность света, то есть видят всё в черно-белом изображении. Колбочки менее светочувствительны, чем палочки, так что при слабой освещенности они вообще ничего не видят. Палочки же очень чувствительны и реагируют даже на очень слабый свет. Вот поэтому в полутьме мы не различаем цветов, хотя и видим контуры. Кстати, колбочки в основном сконцентрированы в центре поля зрения, а палочки по краям. Этим объясняется то, что наше боковое зрение тоже не очень-то цветное, даже при дневном свете. Кроме того, по этой же самой причине астрономы прошлых веков старались при наблюдениях использовать боковое зрение: в темноте оно острее прямого.

35. Бывает ли 100% белизна и 100% чернота? В каких единицах измеряется белизна ?

В научном цветоведении для оценки светлотных качеств поверхности пользуются также термином «белизна», который имеет особо значение для практики и теории живописи. Термин «белизна» по своему содержанию близок к понятиям «яркость» и «светлота», однако, в отличие от последних, она содержит оттенок качественной характеристики и даже в какой-то мере эстетической.

Что же такое белизна? Белизна характеризует восприятие отражательной способности. Чем больше поверхность отражает падающего на неё света, тем она будет белее, и теоретически идеально белой поверхностью следует считать поверхность, отражающую все падающие на неё лучи, однако практически таких поверхностей не существует, так же как не существует поверхностей, которые полностью поглощали бы падающий на них свет.

Начнём с вопроса, какого цвета бумага в школьных тетрадях, альбомах, книгах?

Вы, наверно, подумали, что за пустой вопрос? Конечно белого. Правильно – белого! Ну, а рама, подоконник, покрашены какой краской? Тоже белой. Всё правильно! А теперь возьмите тетрадный лист, газету, несколько листов из разных альбомов для рисования и черчения, положите их на подоконник и внимательно рассмотрите какого они цвета. Оказывается, будучи белыми, они все разного цвета (правильнее было бы сказать – разного оттенка). Один бело-серый, другой бело-розовый, третий бело-голубой и т.д. Так какой же из них «чисто белый»?

Практически мы называем белыми поверхности, отражающие различную долю света. Например, меловой грунт мы оцениваем как белый грунт. Но стоит на нём выкрасить квадрат цинковыми белилами, как он утратит свою белизну, если же внутри затем закрасить квадрат белилами, имеющими ещё большую отражательную способность, например баритовыми, то первый квадрат также частично утратит свою белизну, хотя все три поверхности мы практически будем считать белыми.

Выходит, что понятие «белизна относительно, но в то же время имеется какой-то рубеж, с которого воспринимаемую поверхность мы начнём считать уже не белой.

Понятие белизны можно выразить математически.

Отношение светового потока, отражённого поверхностью, к потоку, падающему на неё (в процентах) носит название «АЛЬБЕДО» (от лат. albus – белый)

АЛЬБЕДО (от позднелат. albedo – белизна), величина, характеризующая способность поверхности отражать падающий на неё поток электромагнитного излучения или частиц. Альбедо равно отношению отраженного потока к падающему.

Это отношение для данной поверхности в основном сохраняется при различных условиях освещённости, и поэтому белизна является более постоянным качеством поверхности, нежели светлота.

Для белых поверхностей альбедо будет равняться 80 – 95%. Белизна различных белых веществ, таким образом, может быть выражена через отражательную способность.

В.Оствальд даёт следующую таблицу белизны различных белых материалов.

Сернокислый барий (баритовые белила)	99%
Цинковые белила	94%
Свинцовые белила	93%
Гипс	90%
Свежий снег	90%
Бумага	86%
Мел	84%

Тело, которое совершенно не отражает света, в физике называется абсолютно чёрным. Но самая чёрная видимая нами поверхность не будет с физической точки зрения абсолютно чёрной. Поскольку она видима, то отражает хоть какую-то долю света и, таким образом, содержит хотя бы ничтожный процент белизны – так же как поверхность, приближающаяся к идеально белой, можно сказать, содержит хотя бы ничтожный процент черноты.