КОЭФФИЦИЕНТ

КОЭФФИЦИЕНТ

в алгебре: постоянная величина, показывающая, сколько раз взято слагаемым стоящее рядом с нею выражение; в физике: число, которым измеряется сила к.-н. явления, нпр., упругости.

Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке.- Попов М. , 1907 .

КОЭФФИЦИЕНТ

в математике постоянное количество, на котор. умножается неизвестная или переменная величина; напр. в выражений 2х - число 2 есть к. Если при переменной величине нет коэффициента, то подразумеется коэффициент 1. В физике к. называется число, которым измеряют различные определенные действия какого-либо вещества и которое постоянно для одних и тех же веществ; напр. к. расширения тел - отношение приращения длины или объема тела от увеличения температуры на 1°, к первоначальной длине или объему тела.

Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- Павленков Ф. , 1907 .

КОЭФФИЦИЕНТ

новолатинск. coefficiens , от cum , с, и efficere , содействовать. В алгебре, величина, стоящая перед количеством и показывающая, сколько раз это количество взято.

Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней.- Михельсон А.Д. , 1865 .

КОЭФФИЦИЕНТ или ПРЕДСТОЯЩЕЕ

(ново-лат. coefficiens , от cum - с, и efficere - содействовать). В алгебре, величина, стоящая пред количеством и показывающая, сколько раз это количество взято.

Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- Чудинов А.Н. , 1910 .

Коэффицие́нт

(лат. coefficiens (coelfi-cientis) содействующий) мат. обычно постоянная или известная величина, являющаяся множителем при другой, обычно переменной или неизвестной величине; к. пропорциональности - постоянное число, которое, будучи помножено на любое значение одной величины, дает произведение, равное соответствующему значению другой величины, пропорциональной первой; к. полезного действия - величина, показывающая, какая часть затрачиваемой энергии превращается в полезную работу; обычно выражается в процентах.

Новый словарь иностранных слов.- by EdwART, , 2009 .

Коэффициент

коэффициента, м. [ново-латин. coefficiens – содействующий ]. 1. Числовой множитель в алгебраическом выражении (мат.). || Число, на которое нужно помножить какую-н. величину (цену, размер и т. п.), чтобы получить требуемую при данных условиях (спец.). Установить коэффициент для перевода старых цен на новые. 2. Число, количественно определяющее какое-н. свойство физического тела (физ.). Коэффициент полезного действия (отношение количества полезной работы, произведенной каким-н. механизмом, к количеству поглощаемой им энергии).

Большой словарь иностранных слов.- Издательство «ИДДК» , 2007 .

Коэффициент

(иэн ), а, м. (нем. Koeffizient лат. coeffîciens (coefficiēntis) содействующий).
1. мат. Числовой множитель в алгебраическом выражении.
2. физ. Величина, определяющая какое-н. свойство физического тела, механизма. К . полезного действия (КПД).
3. Число, на которое нужно помножить какую-н. величину, чтобы получить искомую. Величину вашей зарплаты вы можете вычислить, умножив сумму минимального заработка на к . , соответствующий вашему разряду .
4. разг. Надбавка к заработной плате, компенсирующая тяжелые или ненормальные условия труда. Им платят северный к .
Коэффициентный - относящийся к коэффициенту 1-4, коэффициентам.

Толковый словарь иностранных слов Л. П. Крысина.- М: Русский язык , 1998 .

Синонимы :

Смотреть что такое "КОЭФФИЦИЕНТ" в других словарях:

В статистике показатель, выраженный относительными величинами. Отражает: скорость развития какого либо явления (т. н. коэффициент динамики), частоту возникновения явления (напр., коэффициент рождаемости), взаимосвязь качественно различных явлений …

КОЭФФИЦИЕНТ, число, на которое умножается некоторая неизвестная величина в алгебраическом выражении. В выражении 1 + 5х + 2х2 числа 5 и 2 являются коэффициентами х и х2 соответственно. В физике коэффициент это число, характеризующее определенное… … Научно-технический энциклопедический словарь

Компонента, составляющая, член, множитель, фактор, отношение, пропорция, соотношение, степень, процент, показатель, индекс, параметр, характеристика; кпд Словарь русских синонимов. коэффициент сущ., кол во синонимов: 9 брутто коэффици … Словарь синонимов

коэффициент - а, м. coefficient <, н. лат. coefficiens, ntis. 1. Мат. Множитель (числовой или буквенный) в алгебраическом выражении. Сл. 18. Надлежит же неоставить учинять делать примечании юношам при умножении алгебраическом возышение степеней. Как члены… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

- (от лат. co совместно и efficiens производящий) множитель, обычно выражаемый цифрами. Если произведение содержит одну или несколько переменных (или неизвестных) величин, то коэффициентом при них называют также произведение всех постоянных, в т. ч … Большой Энциклопедический словарь

Коэффициент К1, предложенный В. С. Ивлевым (1938) трофический коэффициент, определяемый по уравнению: , где Q1 энергия вновь образованного в организме вещества (энергия прироста); Q энергия потреблённой пищи. Экологический энциклопедический… … Экологический словарь

коэффициент J - коэффициент креновой девиации Изменение в девиации компаса на каждый градус крена судна на правый борт, если судно идет по компасу курсом на север. [ГОСТ Р 52682 2006] Тематики средства навигации, наблюдения, управления Синонимы коэффициент… … Справочник технического переводчика

- (от латинского co совместно и efficiens производящий), множитель, обычно выражаемый цифрами. Если произведение содержит одну или несколько переменных (или неизвестных) величин, то коэффициент при них называют также произведение всех постоянных, в … Современная энциклопедия

- (coefficient) Числа или алгебраические выражения, определяющие структуру математического выражения или уравнения. Например, в уравнении y = ax2+bx+c, a является коэффициентом x2, b – коэффициентом х, а с – постоянным членом. Экономика. Толковый… … Экономический словарь

См. Коэффициент эффективности промышленных открытий. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

Книги

• , Вильсон Гленн, Гриллз Диана. В книге, написанной известными британскими учеными, содержится подборка оригинальных тестов для детей 5-11 лет, включающая тесты на понимание значений слов, наблюдательность, логическое…

В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.

В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c - произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.

Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d - действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 36x - 18y = 108

Решение: Преобразуем исходное уравнение.

Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.

В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.

Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.

Геометрический смысл

Для лучшего понимания обратимся к картинке:

На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО - это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.

Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.

Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.

Угловой коэффициент касательной

Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная - это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.

Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке - это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x 0 , нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f"(x 0). Рассмотрим на примере:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, касательной к функции y = 12x 2 + 2xe x при х = 0,1.

Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде

y"(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831

Уравнением реакции в химии называется запись химического процесса с помощью химических формул и математических знаков.

Такая запись является схемой химической реакции. Когда возникает знак «=», то это называется «уравнение». Попробуем его решить .

Пример разбора простых реакций

В кальции один атом, так как коэффициент не стоит. Индекс здесь тоже не написан, значит, единица. С правой стороны уравнения Са тоже один. По кальцию нам не надо работать.

Смотрим следующий элемент - кислород. Индекс 2 говорит о том, что здесь 2 иона кислорода. С правой стороны нет индексов, то есть одна частица кислорода, а с левой – 2 частицы. Что мы делаем? Никаких дополнительных индексов или исправлений в химическую формулу вносить нельзя, так как она написана правильно.

Коэффициенты – это то, что написано перед наименьшей частью. Они имеют право меняться. Для удобства саму формулу не переписываем. С правой части один умножаем на 2, чтобы получить и там 2 иона кислорода.

После того как мы поставили коэффициент, получилось 2 атома кальция. С левой стороны только один. Значит, теперь перед кальцием мы должны поставить 2.

Теперь проверяем итог. Если количество атомов элементов равно с обеих сторон, то можем поставить знак «равно».

Другой наглядный пример: два водорода слева, и после стрелочки у нас тоже два водорода.

• Два кислорода до стрелочки, а после стрелочки индексов нет, значит, один.
• Слева больше, а справа меньше.
• Ставим коэффициент 2 перед водой.

Умножили всю формулу на 2, и теперь у нас изменилось количество водорода. Умножаем индекс на коэффициент, и получается 4. А с левой стороны осталось два атома водорода. И чтобы получить 4, мы должны водород умножить на два.

Вот тот случай, когда элемент в одной и в другой формуле с одной стороны, до стрелочки.

Один ион серы слева, и один ион - справа. Две частицы кислорода, плюс еще две частицы кислорода. Значит, что с левой стороны 4 кислорода. Справа же находится 3 кислорода. То есть с одной стороны получается четное число атомов, а с другой – нечетное. Если же мы умножим нечетное в два раза, то получим четное число. Доводим сначала до четного значения. Для этого умножаем на два всю формулу после стрелочки. После умножения получаем шесть ионов кислорода, да еще и 2 атома серы. Слева же имеем одну микрочастицу серы. Теперь уравняем ее. Ставим слева уравнения перед серой 2.

Уравняли .

Сложные реакции

Этот пример более сложный, так как здесь больше элементов вещества.

Это называется реакцией нейтрализации. Что здесь нужно уравнивать в первую очередь:

• С левой стороны один атом натрия.
• С правой стороны индекс говорит о том, что здесь 2 натрия.

Напрашивается вывод, что надо умножить всю формулу на два.

Теперь смотрим, сколько серы. С левой и правой стороны по одной. Обращаем внимание на кислород. С левой стороны мы имеем 6 атомов кислорода. С другой стороны – 5 . Меньше справа, больше слева. Нечетное количество надо довести до четного значения. Для этого формулу воды умножаем на 2, то есть из одного атома кислорода делаем 2.

Теперь с правой стороны уже 6 атомов кислорода. С левой стороны также 6 атомов. Проверяем водород. Два атома водорода и еще 2 атома водорода. То есть будет четыре атома водорода с левой стороны. И с другой стороны также четыре атома водорода. Все элементы уравнены. Ставим знак «равно».

Следующий пример.

Здесь пример интересен тем, что появились скобки. Они говорят о том, что если множитель стоит за скобкой, то каждый элемент, стоящий в скобках, умножается на него. Начать необходимо с азота, так как его меньше, чем кислорода и водорода. Слева азот один, а справа, с учетом скобок, его два.

Справа два атома водорода, а нужно четыре. Мы выходим из положения, просто умножая воду на два, в результате чего получили четыре водорода. Отлично, водород уравняли. Остался кислород. До реакции присутствует 8 атомов, после – тоже 8.

Отлично, все элементы уравнены, можем ставить «равно».

Последний пример .

На очереди у нас барий. Он уравнен, его трогать не нужно. До реакции присутствует два хлора, после нее – всего один. Что же нужно сделать? Поставить 2 перед хлором после реакции.

Теперь за счет коэффициента, который только что поставлен, после реакции получилось два натрия, и до реакции тоже два. Отлично, все остальное уравнено.

Также уравнивать реакции можно методом электронного баланса. Этот метод имеет ряд правил, по которым его можно осуществлять. Следующим действием мы должны расставить степени окисления всех элементов в каждом веществе для того, чтобы понять где произошло окисление, а где восстановление.

На данном уроке мы узнаем о таком понятии, как коэффициент. Также мы рассмотрим несколько задач, на примере которых сможем без труда находить коэффициенты различных выражений.

Это произведение: число 2 умножается на букву .

В таком произведении договорились число называть коэффициентом .

Коэффициент - это числовой множитель в произведении, где есть буква.

Например:

Поэтому коэффициент равен 4.

Поэтому коэффициент 1.

Поэтому коэффициент -1.

Поэтому коэффициент равен 5.

В математике договорились писать коэффициент в начале, поэтому:

Букв может быть несколько, но это не влияет на коэффициент. Например:

Коэффициент -17.

Коэффициент 46.

Если в произведении несколько числовых множителей, то такое выражение может быть упрощено:

Коэффициент в данном выражении - 100.

Числовой множитель в произведении, где есть хотя бы одна буква, называется коэффициентом.

Если чисел несколько, нужно их перемножить, упростить выражение и таким образом будет получен коэффициент.

В одном произведении есть только один коэффициент.

Если есть сумма, например, такая:

То у каждого слагаемого есть коэффициенты: и .

Если числа нет, то можно поставить единицу. Это и есть коэффициент.

, коэффициент 1.

Найти коэффициент: а) ; б) .

а) , коэффициент -50.

б) ,коэффициент .

Итак, коэффициент - это число, которое стоит в произведении с одной или несколькими переменными. Оно может быть целым или дробным, положительным или отрицательным.

При посадке картошки урожай получается в 10 раз больше, чем количество посаженной картошки. Каков будет урожай, если посадили 65 кг?

Решение

А если посажено 90 кг картошки?

А если неизвестно, сколько посажено? Как тогда решать в таком случае?

Если посадили кг, то урожай будет кг.

Итак, 10 - здесь коэффициент (назовем его урожайность), а - переменная. может принимать любые значения, а формула будет рассчитывать величину урожая.

Если урожайность другая, например 9, то формула выглядит так: .

Коэффициент в формуле изменился.

Если рассматривать разные урожайности, то формула по виду будет оставаться такой же, меняться будет только коэффициент.

Значит, можно записать общий вид всех таких формул.

Где - коэффициент; - переменная.

Это урожайность, она может быть равна, например, 10 или 9, как раньше, или другому числу.

Итак, как ответить на вопрос «какой коэффициент в записи ?»?

Если ничего не известно про эту запись, то и являются просто буквами, переменными. Коэффициент единица.

Если же известно, что это часть формулы для расчета урожая картофеля, тогда - это и есть коэффициент.

Иными словами, часто коэффициент может обозначаться буквой.

В математике, физике, других науках много формул, где одна из букв является коэффициентом.

Пример

Плотность вещества в физике обозначается буквой .

Чем больше плотность, тем больше весит один и тот же объем вещества.

Если знать объем вещества и его плотность, то найти массу легко по формуле:

Любой человек, который знаком с этой формулой, на вопрос «какой здесь коэффициент?» ответит «».

Коэффициент - это число в произведении, где есть одна или несколько переменных.

Есть договоренность писать коэффициент перед переменными.

Если числа в произведении нет, то можно поставить множитель 1, он и будет коэффициентом.

Если перед нами известная нам формула, то одна из букв вполне может быть коэффициентом.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.

1. Интернет портал «Uchportal.ru» ()
2. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» ()
3. Интернет портал «School-assistant.ru» ()

Домашнее задание

Коэффициент пропорциональности (линейный коэффициент пропорциональности) равен отношению двух соответствующих сторон подобных фигур. Подобные фигуры – это фигуры одинаковой формы, но разных размеров. Коэффициент пропорциональности используется для решения основных геометрических задач. Коэффициент пропорциональности можно использовать для вычисления длин неизвестных сторон. С другой стороны, по соответствующим сторонам можно вычислить коэффициент пропорциональности. Такие вычисления связаны с операцией умножения или с упрощением дробей.

Шаги

Вычисление коэффициента пропорциональности подобных фигур

Убедитесь, что фигуры подобны. У таких фигур все углы равны, а стороны соотносятся в некой пропорции. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но одна фигура больше другой.

• В задаче должно быть сказано, что фигуры подобны, или что у них равные углы, или что стороны пропорциональны, или что одна фигура пропорциональна другой.

1. Найдите соответствующие стороны обеих фигур. Возможно, понадобится повернуть или зеркально отразить одну из фигур, чтобы выровнять обе фигуры и определить соответствующие стороны. Как правило, в задачах даются длины соответствующих сторон; в противном случае измерьте их. Если не знать значений хотя бы пары соответствующих сторон, нельзя найти коэффициент пропорциональности.

   • Например, дан треугольник, основание которого равно 15 см, и подобный треугольник с основанием, равным 10 см.

2. Запишите отношение. У каждой пары подобных фигур есть два коэффициента пропорциональности: один используется при увеличении размера, а другой – при уменьшении. Если размер меньшей фигуры увеличивается до размера большей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона большей фигуры)/(сторона меньшей фигуры). Если размер большей фигуры уменьшается до размера меньшей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).

   • Например, если треугольник с основанием 15 см уменьшается до треугольника с основанием 10 см, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).
     Подставив соответствующие значения, вы получите: коэффициент пропорциональности = .

3. Упростите отношение. Упрощенное отношение (дробь) является коэффициентом пропорциональности. При уменьшении размера коэффициент пропорциональности представляет собой правильную дробь. При увеличении размера коэффициент пропорциональности представляет собой целое число или неправильную дробь, которую можно преобразовать в десятичную дробь.

   • Например, отношение 10 15 {\displaystyle {\frac {10}{15}}} упрощается до . Таким образом, коэффициент пропорциональности двух треугольников с основаниями 15 см и 10 см равен 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} .

   Вычисление сторон по коэффициенту пропорциональности

   1. Найдите значения сторон фигуры. Значения сторон одной из подобных фигур будут даны; в противном случае измерьте их. Если стороны одной из подобных фигур неизвестны, нельзя вычислить стороны второй фигуры.

      • Например, дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 4 см и 3 см, а гипотенуза равна 5 см.

   2. Выясните, будет ли подобная фигура больше или меньше данной. Если больше, стороны будут больше, а коэффициент пропорциональности представляет собой целое число, неправильную или десятичную дробь. Если подобная фигура меньше данной, стороны будут меньше, а коэффициент пропорциональности представляет собой правильную дробь.

      • Например, если коэффициент пропорциональности равен 2, подобная фигура больше данной.

   3. Умножьте значение одной стороны на коэффициент пропорциональности. Коэффициент пропорциональности должен быть дан. Если умножить сторону на коэффициент пропорциональности, можно найти значение соответствующей стороны подобной фигуры.

      • Например, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, гипотенуза подобного треугольника вычисляется так: 5 × 2 = 10 {\displaystyle 5\times 2=10} . Таким образом, гипотенуза подобного треугольника равна 10 см.

   4. Найдите значения остальных сторон подобной фигуры. Для этого умножьте известные значения сторон на коэффициент пропорциональности. Вы получите значения соответствующих сторон подобной фигуры.

      • Например, если основание прямоугольного треугольника равно 4 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, основание подобного треугольника вычисляется так: 4 × 2 = 8 {\displaystyle 4\times 2=8} . Таким образом, основание подобного треугольника равно 8 см. Если катет прямоугольного треугольника равен 3 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, катет подобного треугольника вычисляется так: 3 × 2 = 6 {\displaystyle 3\times 2=6} . Таким образом, катет подобного треугольника равен 6 см.

   Примеры решения задач

   1. Задача 1. Найдите коэффициент пропорциональности следующих подобных фигур: прямоугольник с шириной 6 см и прямоугольник с шириной 54 см.

      • Запишите отношение на основе двух значений ширины. При увеличении размера отношение запишется так: коэффициент пропорциональности = . При уменьшении размера отношение запишется так: коэффициент пропорциональности = .
      • Упростите отношение. Отношение 54 6 {\displaystyle {\frac {54}{6}}} упрощается до 9 1 = 9 {\displaystyle {\frac {9}{1}}=9} . Отношение 6 54 {\displaystyle {\frac {6}{54}}} упрощается до . Таким образом, коэффициент пропорциональности двух прямоугольников равен 9 {\displaystyle 9} или 1 9 {\displaystyle {\frac {1}{9}}} .

   2. Задача 2. Сторона неправильного многоугольника равна 14 см. Сторона подобного многоугольника равна 8 см. Найдите коэффициент пропорциональности.